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| Aufgabe | | Man beweise, dass der Raum der auf dem Intervall [a,b] stetigen Funktion [mm] CL^{1} [/mm] mit der Norm [mm] \parallel x\parallel_1:=\integral_{a}^{b}{|x(t)| dt} [/mm] nicht vollständig ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich soll laut Aufgabenstellung also beweisen, dass CL[a,b] kein Banachraum ist. Dass es keiner ist weiß ich bereits, da der Lebesgue Raum [mm] L^{p} [/mm] die Vervollständigung von [mm] CL^{p} [/mm] darstellt.
Den Lebesgue Raum selbst haben wir noch nicht behandelt. Ich erkenne auch kaum den Unterschied zwischen den beiden Räumen. Wie ich gelesen habe liegt der Unterschied wohl darin, dass der Lebesgue Raum sich auf eine "meßbare Menge" bezieht. Aber da wir dies noch nicht behandelt haben möchte ich nicht weiter darauf eingehen.
Es geht also nur darum zu zeigen, dass CL[a,b] nicht vollständig ist, d.h. laut Definition, dass nicht jede Cauchy Folge konvergiert. Ich muss also eine Cauchy Folge finden, die in dem Raum nicht konvergiert. Allerdings fehlt mir dazu jeglicher Ansatz. Ich habe keine Idee, wie die passende Folge aussehen muss.
Ehrlich gesagt fällt es mir auch schwer den Unterschied zwischen metrischen Räumen und normierten Räumen auszumachen. So wie ich das verstanden habe existieren in normierten Räumen lineare Strukturen, so dass man in normierten Räumen "rechnen" kann. Stimmt das so? Wäre nett, wenn mir jemand den Unterschied kurz erläutern könnte.
Und zu allerletzt: Ist CL[a,b] überhaupt eine Norm? Denn ich glaube aus [mm] \parallel f\parallel=0 [/mm] kann man nicht f=0 folgern, oder?
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Hiho,
fangen wir mit dem Ende mal zuerst an:
> Und zu allerletzt: Ist CL[a,b] überhaupt eine Norm? Denn
> ich glaube aus [mm]\parallel f\parallel=0[/mm] kann man nicht f=0 folgern, oder?
Bedenke, dass die f stetig sind. Zeige: Ist f nicht die Nullfunktion, so folgt aus der Stetigkeit von f und der Monotonie des Integrals sofort $||f||>0$.
> Es geht also nur darum zu zeigen, dass CL[a,b] nicht
> vollständig ist, d.h. laut Definition, dass nicht jede
> Cauchy Folge konvergiert. Ich muss also eine Cauchy Folge
> finden, die in dem Raum nicht konvergiert. Allerdings fehlt
> mir dazu jeglicher Ansatz. Ich habe keine Idee, wie die
> passende Folge aussehen muss.
Überlegen wir uns mal, was dafür gelten muss:
1.) Du hast eine Folge von stetigen Funktionen
2.) Dein Grenzwert ist keine stetige Funktion.
Ein guter Kandidat wäre also eine Funktionenfolge, deren Elemente zwar stetig sind, deren Grenzfunktion aber "zerreißt".
Schaffst du es denn die Signum- aka Vorzeichenfunktion durch eine stetige Funktionenfolge zu approximieren, in dem du -1 und +1 in einem kleiner werdenden Intervall um Null durch eine lineare Funktion verbindest?
Da könnte man sich mal [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f_m||_1$ [/mm] anschauen....
> Ehrlich gesagt fällt es mir auch schwer den Unterschied
> zwischen metrischen Räumen und normierten Räumen
> auszumachen. So wie ich das verstanden habe existieren in
> normierten Räumen lineare Strukturen, so dass man in
> normierten Räumen "rechnen" kann. Stimmt das so? Wäre
> nett, wenn mir jemand den Unterschied kurz erläutern
> könnte.
Ist dir klar, dass man jeden normierten Raum zu einem metrischen Raum erweitern kann? Und zwar durch die von der Norm induzierten Metrix $d(x,y) := ||x-y||$.
Das Voraussetzen einer Norm ist also stärker als das einer Metrik.
Gruß,
Gono
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Danke für die Hilfe.
Wenn ich das richtig verstanden habe muss ich zuerst zeigen, dass [mm] \parallel x\parallel>0 [/mm] für [mm] f\not=0 [/mm] gilt. Anschließend bastel ich mir eine Funktion zurecht, die dieses Widerlegt.
Wie von dir vorgeschlagen, versuche die sgn-Funktion mit einer linearen Fkt zu verbinden. Dadurch würde ich folgendes erhalten:
[mm] f(x)=\begin{cases} sgn(x), & \mbox{für } |x|>\bruch{1}{n} \\ n, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{n} \end{cases}
[/mm]
Als nächstes müsste ich zeigen, dass f(x) eine Cauchy Folge ist [mm] (\parallel f_{n}-f_{m} \parallel<\varepsilon)
[/mm]
Anschließend darf sie für die nicht Vollständigkeit aber nicht konvergieren [mm] (\parallel f_{n}_{k}-f \parallel<\varepsilon [/mm] für [mm] k\ge k_{0} [/mm] darf nicht gelten).
Aber die Funktion, die ich aufgestellt habe müsste doch konvergieren, oder sehe ich da etwas falsch.
Bzw. was hat das mit der Startbedingung der Positivität zu tun? [mm] (\parallel x\parallel>0)
[/mm]
Ein normierter Raum ist die stärkere Bedingung, als ein metrischer Raum. So wie gleichmäßige Stetigkeit eine stärkere Bedingung wie punktweise Stetigkeit ist. Allerdings impliziert ein normierten Raum nicht einen metrischen, da dafür der normierte Raum noch mit der Metrik erweitert werden muss. Aber jeder normierter Raum kann zu einem metrischen Raum vervollständigt werden, so wie jeder unvollständige Raum vervollständigt werden kann. Habe ich das richtig verstanden?
Vielen Dank für die Hilfe,
Trinity
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Hiho,
> Danke für die Hilfe.
> Wenn ich das richtig verstanden habe muss ich zuerst zeigen, dass [mm]\parallel x\parallel>0[/mm] für [mm]f\not=0[/mm] gilt.
> Anschließend bastel ich mir eine Funktion zurecht, die dieses Widerlegt.
Nein! Das hat doch gar nix mit deiner Aufgabe zu tun, sondern mit deiner Frage, ob [mm] $||f||_1$ [/mm] eine Norm ist.
Du hast angezweifelt, ob aus [mm] $||f||_1=0$ [/mm] auch $f=0$ folgt.
Dafür solltest du dir überlegen, dass aus [mm] $f\not=0$ [/mm] eben [mm] $||f||_1>0$ [/mm] folgt, womit obige Frage geklärt wäre. (Warum?)
> Wie von dir vorgeschlagen, versuche die sgn-Funktion mit
> einer linearen Fkt zu verbinden. Dadurch würde ich
> folgendes erhalten:
> [mm]f(x)=\begin{cases} sgn(x), & \mbox{für } |x|>\bruch{1}{n} \\ n, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{n} \end{cases}[/mm]
Fast!
Korrekt wäre:
> [mm]f(x)=\begin{cases} sgn(x), & \mbox{für } |x|>\bruch{1}{n} \\ nx, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{n} \end{cases}[/mm]
> Als nächstes müsste ich zeigen, dass f(x) eine Cauchy
> Folge ist [mm](\parallel f_{n}-f_{m} \parallel<\varepsilon)[/mm]
Ja.
> Anschließend darf sie für die nicht Vollständigkeit aber nicht konvergieren
Falsch!
Sie darf nicht in deinem Raum konvergieren!
Das tut sie dann nicht, wenn sie nicht konvergiert oder der Grenzwert nicht Element des Raums ist.
In diesem Fall konvergiert sie (wogegen)?
Doch ist deine Grenzfunktion Element des vorgegebenen Raums?
Wenn nein, warum nicht?
> Ein normierter Raum ist die stärkere Bedingung, als ein
> metrischer Raum. So wie gleichmäßige Stetigkeit eine
> stärkere Bedingung wie punktweise Stetigkeit ist.
> Allerdings impliziert ein normierten Raum nicht einen
> metrischen, da dafür der normierte Raum noch mit der
> Metrik erweitert werden muss.
Doch, er impliziert ihn eben schon, über:
> jeder normierter Raum kann zu einem metrischen Raum vervollständigt werden, so wie jeder unvollständige Raum vervollständigt werden kann.
Ein normierter Raum ist ein Raum, in dem eine "Länge" definiert ist.
Ein metrischer Raum ist ein Raum, in dem ein "Abstand" definiert ist.
Und natürlich kannst du einen "Abstand" immer definieren als die "Länge" zwischen zwei Punkten. (induzierte Metrik)
Gruß,
Gono
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> Ein normierter Raum ist ein Raum, in dem eine "Länge"
> definiert ist.
> Ein metrischer Raum ist ein Raum, in dem ein "Abstand"
> definiert ist.
Jetzt hat es klick gemacht.
> Dafür solltest du dir überlegen, dass aus [mm]f\not=0[/mm] eben
> [mm]||f||_1>0[/mm] folgt, womit obige Frage geklärt wäre.
> (Warum?)
Ok, jetzt verstehe ich, was du meinst. Wie du vorher geschrieben hast, kann man dies aus der Stetigkeit der Funktion und der Monotonie der Ableitung schlußfolgern. Das bestimmte Integral besteht ja aus der Subtraktion zweier Funktionswerte der Stammfunktion. Wenn die Stammfunktion monoton ist muss die Differenz der Funktionswerte>0 sein.
Aber wieso kann man auf die Monotonie der Stammfunktion folgern? Was spricht dagegen cos(x) zu integrieren? Wir würden die Funktion sin(x) erhalten, welche nicht monoton ist und z.B. [mm] \integral_{\pi}^{2\pi}{cos(x) dx} [/mm] sollte doch Null ergeben, obwohl [mm] f(x)\not=0
[/mm]
Wo habe ich da meinen Denkfehler?
[mm]f(x)=\begin{cases} sgn(x), & \mbox{für } |x|>\bruch{1}{n} \\ nx, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{n} \end{cases}[/mm]
> In diesem Fall konvergiert sie (wogegen)?
Für die Überprüfung der Konvergenz (und auch der Überprüfung der Cauchy Folge) sollte man die beiden Fälle [mm] |x|\le \bruch{1}{n} [/mm] und |x|> [mm] \bruch{1}{n} [/mm] getrennt betrachten. Denke ich.
Wenn wir uns nun |x|> [mm] \bruch{1}{n} [/mm] anschauen so erhalten wir für [mm] f=\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n} [/mm]
[mm] f=\integral_{a}^{b}{sgn(x) dx}=|b-a| [/mm] denn das unbestimmte Integral von sgn(x)=|x|+c
> Doch ist deine Grenzfunktion Element des vorgegebenen
> Raums?
> Wenn nein, warum nicht?
Wir erhalten als Grenzwert also |b-a| dies muss aber nicht im Intervall des Raumes [a,b] enthalten sein.
Wenn der Raum z.B. über das Intervall [-1,0] definiert wäre dann beträgt der Grenzwert f=|-1-0|=1 und 1 ist nicht für den Raum definiert. Somit konvergiert die Folgenfunktion nicht, da die Grenzfunktion außerhalb des Raumes liegt und daraus folgt, dass der Raum kein Banachraum ist.
Kann man das so sagen?
Viele Grüße,
Trinity
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Sa 30.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Ein normierter Raum ist ein Raum, in dem eine "Länge"
> > definiert ist.
> > Ein metrischer Raum ist ein Raum, in dem ein "Abstand"
> > definiert ist.
>
> Jetzt hat es klick gemacht.
>
> > Dafür solltest du dir überlegen, dass aus [mm]f\not=0[/mm] eben
> > [mm]||f||_1>0[/mm] folgt, womit obige Frage geklärt wäre.
> > (Warum?)
>
> Ok, jetzt verstehe ich, was du meinst. Wie du vorher
> geschrieben hast, kann man dies aus der Stetigkeit der
> Funktion und der Monotonie der Ableitung schlußfolgern.
> Das bestimmte Integral besteht ja aus der Subtraktion
> zweier Funktionswerte der Stammfunktion. Wenn die
> Stammfunktion monoton ist muss die Differenz der
> Funktionswerte>0 sein.
> Aber wieso kann man auf die Monotonie der Stammfunktion
> folgern? Was spricht dagegen cos(x) zu integrieren? Wir
> würden die Funktion sin(x) erhalten, welche nicht monoton
> ist und z.B. [mm]\integral_{\pi}^{2\pi}{cos(x) dx}[/mm] sollte doch
> Null ergeben, obwohl [mm]f(x)\not=0[/mm]
> Wo habe ich da meinen Denkfehler?
Du bist auf dem falschen Dampfer ! Sei f auf [a,b] stetig und es sei
[mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}=0.
[/mm]
Beträge !!!!!!!!!
Dann ist zu zeigen: f(x)=0 in jedem x [mm] \in [/mm] [a,b].
>
>
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} sgn(x), & \mbox{für } |x|>\bruch{1}{n} \\ nx, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{n} \end{cases}[/mm]
Das soll wohl lauten: [mm]f_n(x)=\begin{cases} sgn(x), & \mbox{für } |x|>\bruch{1}{n} \\ nx, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{n} \end{cases}[/mm]
>
>
> > In diesem Fall konvergiert sie (wogegen)?
>
> Für die Überprüfung der Konvergenz (und auch der
> Überprüfung der Cauchy Folge) sollte man die beiden
> Fälle [mm]|x|\le \bruch{1}{n}[/mm] und |x|> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] getrennt
> betrachten. Denke ich.
> Wenn wir uns nun |x|> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] anschauen so erhalten
> wir für [mm]f=\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}[/mm]
> [mm]f=\integral_{a}^{b}{sgn(x) dx}=|b-a|[/mm] denn das unbestimmte
> Integral von sgn(x)=|x|+c
>
>
> > Doch ist deine Grenzfunktion Element des vorgegebenen
> > Raums?
> > Wenn nein, warum nicht?
>
> Wir erhalten als Grenzwert also |b-a| dies muss aber nicht
> im Intervall des Raumes [a,b] enthalten sein.
> Wenn der Raum z.B. über das Intervall [-1,0] definiert
> wäre dann beträgt der Grenzwert f=|-1-0|=1 und 1 ist
> nicht für den Raum definiert. Somit konvergiert die
> Folgenfunktion nicht, da die Grenzfunktion außerhalb des
> Raumes liegt und daraus folgt, dass der Raum kein
> Banachraum ist.
> Kann man das so sagen?
Nein. Auch hier : völlig falscher Dampfer:
Zeige: ist [mm] \epsilon [/mm] >0, so ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] ||f_n-f_m||_1 [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle n,m >N.
Damit ist [mm] (f_n) [/mm] bezügl. [mm] ||*||_1 [/mm] eine Cauchyfolge.
Weiter ist zu zeigen: es gibt keine(!) stetige Funktion f auf [a,b] mit
[mm] ||f_n-f||_1 \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
>
> Viele Grüße,
> Trinity
>
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[mm]f_n(x)=\begin{cases} sgn(x), & \mbox{für } |x|>\bruch{1}{n} \\ nx, & \mbox{für } |x|\le \bruch{1}{n} \end{cases}[/mm]
> Zeige: ist [mm]\epsilon[/mm] >0, so ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]||f_n-f_m||_1[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für alle n,m >N.
>
> Damit ist [mm](f_n)[/mm] bezügl. [mm]||*||_1[/mm] eine Cauchyfolge.
Dann müsste man erhalten:
[mm] |\integral_{a}^{b}{sgn(x_{n}) dx-\integral_{a}^{b}{sgn(x_{m}) dx}}|
[/mm]
= [mm] |\integral_{a}^{b}{(sgn(x_{n})-sgn(x_{m})) dx}|=0<\varepsilon
[/mm]
Daraus folgt, dass es sich um eine Cauchy Folge handelt.
Ich hoffe, dass ich das richtig gemacht habe.
>
> Weiter ist zu zeigen: es gibt keine(!) stetige Funktion f
> auf [a,b] mit
>
> [mm]||f_n-f||_1 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
Das verstehe ich noch nicht ganz. f steht doch für die Grenzfunktion von [mm] f_{n}(x) [/mm] für [mm] n\to \infty. [/mm] Aber diese ist doch konstant 1, da [mm] f_{n} [/mm] mit sgn(x) konstant 1 ist ab einem gewissen Wert. Dass [mm]||f_n-f||_1 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm] gilt ist klar, da sgn(x) unverändert bleibt (gilt hier deshalb nicht sogar die "=" Beziehung?). Soll das darauf hinauslaufen, dass |x| in x=0 nicht differenzierbar ist? Aber ich verstehe nicht, wie f nicht stetig sein soll. Bin an der Stelle ziemlich ratlos. Wäre für erneute Hilfe wirklich Dankbar.
Viele Grüße,
Trinity
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Hiho,
> Dann müsste man erhalten:
> [mm]|\integral_{a}^{b}{sgn(x_{n}) dx-\integral_{a}^{b}{sgn(x_{m}) dx}}|[/mm]
>
> = [mm]|\integral_{a}^{b}{(sgn(x_{n})-sgn(x_{m})) dx}|=0<\varepsilon[/mm]
Warum sollte da 0 rauskommen?
Wie begründet du das?
> Das verstehe ich noch nicht ganz. f steht doch für die
> Grenzfunktion von [mm]f_{n}(x)[/mm] für [mm]n\to \infty.[/mm] Aber diese ist doch konstant 1, da [mm]f_{n}[/mm] mit sgn(x) konstant 1 ist ab einem gewissen Wert. Dass [mm]||f_n-f||_1 \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]gilt ist klar, da sgn(x) unverändert bleibt (gilt hier
> deshalb nicht sogar die "=" Beziehung?).
Deine Aussagen stimmen so doch gar nicht für beliebige [mm] $a,b\in\IR$!
[/mm]
Ebenso obige Gleichheit mit dem =0 stimmt nicht für alle a,b!
Deine Aussage stimmt, so lange [mm] $0\not\in[a,b]$, [/mm] dann ist obige Argumentation richtig, aber all das ist humbug, sobald die 0 ins Spiel kommt.
Insbesondere ist die Signum-Funktion da sicherlich nie konstant 1, da sie bei 0 immer springt.
Also machen wir den Spaß mal für ein fixes, interessantes Intervall [a,b]:
Nimm a=-1, b=1, also das Intervall [-1,1].
Und schon ist deine Argumentation hinfällig.
Und nun wieder du: Berechne mal explizit [mm] ||f_n [/mm] - [mm] f_m|| [/mm] auf obigem Intervall in Abhängigkeit von n und m.
oBdA kannst du [mm] $m\ge [/mm] n$ voraussetzen.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
dass aus $f [mm] \neq [/mm] 0$ auch [mm] $\|f\|:=\|f\|_1 \neq [/mm] 0$ für $f [mm] \in [/mm] C[a,b]$ folgt, ist relativ
einfach einzusehen. Wir machen das in zwei Schritten:
1. Schritt: Ist $g [mm] \ge 0\,$ [/mm] mit $g [mm] \neq [/mm] 0$ (d.h. $g(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ und [mm] $g(x_0) [/mm] > 0$
für ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$), so folgt
[mm] $\int_a^b [/mm] g(x)dx > [mm] 0\,.$
[/mm]
Beweis: Betrachte [mm] $\epsilon:=g(x_0)/2$ [/mm] für [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $g(x_0) [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann gibt es wegen der
Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ mit
[mm] $|g(x)-g(x_0)| \le \epsilon$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $|x-x_0| \le \delta\,.$
[/mm]
Zeige: Daraus folgt $g(x) [mm] \ge \epsilon=g(x_0)/2$ [/mm] für alle letztgenannten [mm] $x\,.$ [/mm]
Wir gehen erstmal davon aus, dass [mm] $x_0$ [/mm] innerer Punkt von $[a,b]$ ist; die anderen
Fälle kannst Du Dir selbst überlegen. Dann kann man o.E. [mm] $\delta [/mm] > 0$ so klein
wählen, dass [mm] $(x_0-\delta,\;x_0+\delta) \subseteq [/mm] [a,b]$. Es folgt
[mm] $\int_a^b [/mm] g(x)dx [mm] \ge \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}g(x)dx \ge 2\delta g(x_0)/2=\delta*g(x_0)$
[/mm]
Also?
2. Bedenke: Ist $f [mm] \in [/mm] C[a,b]$, so folgt auch $|f| [mm] \in [/mm] C[a,b].$ Für $f [mm] \in [/mm] C[a,b]$ mit $f [mm] \neq [/mm] 0$
ist also $g:=|f| [mm] \in [/mm] C[a,b]$ mit $g [mm] \neq 0\,.$ [/mm] (Ist Dir das zuletzt Gesagte klar?) Jetzt
wende 1. auf [mm] $g\,$ [/mm] an und beachte (mach Dir das klar: Ausschreiben mit der
Definition von [mm] $\|.\|$ [/mm] reicht, bzw. auch "Betrag (Betrag von etwas)=Betrag
von etwas" benutzen!)
[mm] $\|f\|=\|\;\red{|}f\red{|}\;\|=\|g\|\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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