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| Aufgabe | Gegeben ist die Verteilungsfunktion
F(x) = a * arctan x + b (-[mm]\infty [/mm] <x< [mm]\infty [/mm])
einer stetigen Zufallsfallsvariablen X.
a) Bestimmen Sie die beiden Parameter a und b.
b) Wie lautet die Dichtefunktion f(t) dieser Verteilung? |
Hallo,
die Lösung laut dem Buch aus dem ich diese Aufgabe habe (Lothar Papula, Mathematik für Ingernieure und Naturwissenschaftler, Band 3, 3. Auflage) lautet:
a) Durch Normierung der Dichtefunktunktion
f(x)= F´(x)= a* [mm]\bruch{1}{1+x^2} [/mm]
erhält man
a= 1/[mm]\pi[/mm]
Aus
F([mm]\infty [/mm]) = 1 folgt dann weiter b = 1/2.
Meine Frage:
Durch welche Rechenschritte kommt man auf
a= 1/[mm]\pi[/mm]
?
Oder anders gefragt, mit was setzt man F'(x) gleich um nach a auflösen zu können? Und warum setzt man es damit gleich.
Viele Grüße
rabenhorst
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 So 15.02.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
Es gilt [mm] $\lim\limits_{x \to -\infty}F(x)=0$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1$. [/mm] Hieraus folgt [mm] a=1/$\pi$, [/mm] b=1/2.
Alternativ folgt [mm] a=1/$\pi$ [/mm] aus [mm] $\int [/mm] f(x)dx=1$ und mit [mm] $\lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1$ [/mm] weiter b=1/2.
Liebe Grüße
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Hallo,
vielen Dank für die Antwort. Die Lösung hat mich auf eine falsche Fährte geführt. Und zwar deshalb weil hier von F´(x) die Rede ist. Um die Lösung für die Konstanten a und b zu berechnen braucht man F´(x) aber gar nicht, man rechnet hier ja nur mit F(x). Oder?
Viele Grüße
rabenhorst
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mo 16.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> vielen Dank für die Antwort. Die Lösung hat mich auf eine
> falsche Fährte geführt. Und zwar deshalb weil hier von
> F´(x) die Rede ist. Um die Lösung für die Konstanten a
> und b zu berechnen braucht man F´(x) aber gar nicht, man
> rechnet hier ja nur mit F(x). Oder?
Es gibt zwei Möglichkeiten und dieser hat dir Andy bereits erklärt.
Wegen der zweiten Teilaufgabe ist die Berechnung von $F'(x)$ sinnvoll.
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> Es gibt zwei Möglichkeiten und dieser hat dir Andy bereits erklärt.
> Es gilt $ [mm] \lim\limits_{x \to -\infty}F(x)=0 [/mm] $ und $ [mm] \lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1 [/mm] $. Hieraus folgt a=1/$ [mm] \pi [/mm] $, b=1/2.
> Alternativ folgt a=1/$ [mm] \pi [/mm] $ aus $ [mm] \int [/mm] f(x)dx=1 $ und mit $ [mm] \lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1 [/mm] $ weiter b=1/2.
Was ich noch nicht verstehe ist warum das eine Alternative darstellt. Grund:
F(x) = [mm] \int [/mm] f(x)dx
Oder?
Daher meine ich, dass das doch der selbe Ansatz ist.
Oder übersehe ich das was?
Viele Grüße
rabenhorst
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Do 19.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Es gibt zwei Möglichkeiten und dieser hat dir Andy bereits
> erklärt.
>
> > Es gilt [mm]\lim\limits_{x \to -\infty}F(x)=0[/mm] und
> [mm]\lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1 [/mm]. Hieraus folgt a=1/[mm] \pi [/mm],
> b=1/2.
> > Alternativ folgt a=1/[mm] \pi[/mm] aus [mm]\int f(x)dx=1[/mm] und mit
> [mm]\lim\limits_{x \to \infty}F(x)=1[/mm] weiter b=1/2.
>
> Was ich noch nicht verstehe ist warum das eine Alternative
> darstellt. Grund:
>
> F(x) = [mm]\int[/mm] f(x)dx
>
> Oder?
HMMMM..., wenn Du nich ganz so schlampig wärst, wäre es Dir Vielleicht klar geworden:
$ F(x) = [mm] \int_{-\infty}^x f(t)\,\operatorname [/mm] dt $
FRED
>
> Daher meine ich, dass das doch der selbe Ansatz ist.
>
> Oder übersehe ich das was?
>
> Viele Grüße
>
> rabenhorst
>
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> Alternativ folgt a=1/$ [mm] \pi [/mm] $ aus $ [mm] \int [/mm] f(x)dx=1 $
$ [mm] \int_{-\infty}^\infty f(x)\,\operatorname [/mm] dx =1 $
[ a * arctan x + b] =1
An den eckigen Klammern steht unten -unendlich und oben + unendlich (Ich hab den Befehl dafür nicht gefunden).
a*$ [mm] \pi [/mm] $/2 +b + a*$ [mm] \pi [/mm] $/2 - b = 1
a = 1/ $ [mm] \pi [/mm] $
Das ist damit gemeint, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Do 26.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Das ist damit gemeint, oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Übrigens: [mm] $[f(x)]_{-\infty}^{\infty}$.
[/mm]
(Ist zwar unschön, aber auf die schnelle immer möglich. Ansonsten
gibt es natürlich auch schönere Varianten. Dazu Google benutzen.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Mo 16.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Rabenhorst!
> Oder anders gefragt, mit was setzt man F'(x) gleich um nach
> a auflösen zu können? Und warum setzt man es damit
> gleich.
[mm] $F\$ [/mm] ist als Verteilungsfunktion gegeben und differenzierbar,
so dass die Ableitung $F'=:f$ eine Dichtefunktion von [mm] $F\$ [/mm] ist.
Jetzt erinnere dich an die Eigenschaft einer Dichtefunktion!
Gruß
DieAcht
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