Notation zykl. Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Galoisgruppe der Erweiterung [mm] \mathbb{F}_{p^{8}}/\mathbb{F}_{p} [/mm] ist isomorph zur zyklischen Gruppe der Ordnung 8. Wie wird das nun notiert? |
Hallo,
ich lese da immer die verschiedensten Notationen. Zunächst einmal ist die Galoisgruppe doch isomorph zur multiplikativen zyklischen Gruppe der Ordnung 8 oder?
Dann steht da häufig [mm] G\simeq\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, [/mm] wobei G hier die Galoisgruppe repräsentieren soll. Nun interpretiere ich [mm] \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} [/mm] immer als Restklassenring modulo 8 und davon ist doch die multiplikative Gruppe nicht zyklisch oder?
Manchmal lese ich auch [mm] G\simeq\mathbb{Z}_{8} [/mm] oder einfach [mm] Z_{8}. [/mm] Was ist nun richtig(er)? Oder am üblichsten?
Nochwas. Die Galoisgruppe G der Erweiterung [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{2})/\mathbb{Q} [/mm] ist “die” zyklische Gruppe der Ordnung 4. Dann steht da [mm] G\simeq\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}. [/mm] Hier ist mir wieder die Notation nicht ganz klar. Ist [mm] \mathbb{Z}_{2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}? [/mm] Kann ja nicht sein, wenn das wirklich die multiplikative zyklische Gruppe sein soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 So 03.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Galoisgruppe der Erweiterung
> [mm]\mathbb{F}_{p^{8}}/\mathbb{F}_{p}[/mm] ist isomorph zur
> zyklischen Gruppe der Ordnung 8. Wie wird das nun notiert?
> Hallo,
>
> ich lese da immer die verschiedensten Notationen. Zunächst
> einmal ist die Galoisgruppe doch isomorph zur
> multiplikativen zyklischen Gruppe der Ordnung 8 oder?
Ja.
> Dann steht da häufig [mm]G\simeq\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},[/mm] wobei
> G hier die Galoisgruppe repräsentieren soll. Nun
> interpretiere ich [mm]\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}[/mm] immer als
> Restklassenring modulo 8 und davon ist doch die
> multiplikative Gruppe nicht zyklisch oder?
Wieso kommst du auf die Idee, dass hier die multiplikative Gruppe gemeint ist? Da steht doch nicht [mm] $(\IZ/8
[/mm]
[mm] IZ)^\ast$!
[/mm]
Gemeit ist die additive Gruppe. Die ist zyklisch und hat genau 8 Elemente.
> Manchmal lese ich auch [mm]G\simeq\mathbb{Z}_{8}[/mm] oder einfach
> [mm]Z_{8}.[/mm] Was ist nun richtig(er)? Oder am üblichsten?
Es gibt kein richtig/falsch. Es haengt immer davon ab wie man es definiert. Am eindeutigsten ist [mm] $\IZ/8\IZ$, [/mm] da die Notation [mm] $\IZ_p$ [/mm] auch fuer die $p$-adischen ganzen Zahlen genutzt wird. Und [mm] $Z_8$ [/mm] ist nicht wirklich Standard.
> Nochwas. Die Galoisgruppe G der Erweiterung
> [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{2})/\mathbb{Q}[/mm] ist “die”
> zyklische Gruppe der Ordnung 4.
Nein.
> Dann steht da
> [mm]G\simeq\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}.[/mm] Hier ist mir
> wieder die Notation nicht ganz klar.
Ist genauso wie oben. Das ist uebrigens die Kleinsche Vierergruppe, und diese ist nicht zyklisch!
> Ist [mm]\mathbb{Z}_{2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}?[/mm] Kann ja nicht sein,
> wenn das wirklich die multiplikative zyklische Gruppe sein
> soll.
Es ist die additive zyklische Gruppe, und es ist korrekt, wenn man mit [mm] $\IZ_2$ [/mm] nicht gerade die 2-adischen ganzen Zahlen meint.
LG Felix
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> Moin!
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> > Die Galoisgruppe der Erweiterung
> > [mm]\mathbb{F}_{p^{8}}/\mathbb{F}_{p}[/mm] ist isomorph zur
> > zyklischen Gruppe der Ordnung 8. Wie wird das nun notiert?
> > Hallo,
> >
> > ich lese da immer die verschiedensten Notationen. Zunächst
> > einmal ist die Galoisgruppe doch isomorph zur
> > multiplikativen zyklischen Gruppe der Ordnung 8 oder?
>
> Ja.
>
> > Dann steht da häufig [mm]G\simeq\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},[/mm] wobei
> > G hier die Galoisgruppe repräsentieren soll. Nun
> > interpretiere ich [mm]\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}[/mm] immer als
> > Restklassenring modulo 8 und davon ist doch die
> > multiplikative Gruppe nicht zyklisch oder?
>
> Wieso kommst du auf die Idee, dass hier die multiplikative
> Gruppe gemeint ist? Da steht doch nicht [mm]$(\IZ/8[/mm]
> [mm]IZ)^\ast$![/mm]
>
> Gemeit ist die additive Gruppe. Die ist zyklisch und hat
> genau 8 Elemente.
>
> > Manchmal lese ich auch [mm]G\simeq\mathbb{Z}_{8}[/mm] oder einfach
> > [mm]Z_{8}.[/mm] Was ist nun richtig(er)? Oder am üblichsten?
>
> Es gibt kein richtig/falsch. Es haengt immer davon ab wie
> man es definiert. Am eindeutigsten ist [mm]\IZ/8\IZ[/mm], da die
> Notation [mm]\IZ_p[/mm] auch fuer die [mm]p[/mm]-adischen ganzen Zahlen
> genutzt wird. Und [mm]Z_8[/mm] ist nicht wirklich Standard.
>
> > Nochwas. Die Galoisgruppe G der Erweiterung
> > [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{2})/\mathbb{Q}[/mm] ist “die”
> > zyklische Gruppe der Ordnung 4.
>
> Nein.
>
> > Dann steht da
> > [mm]G\simeq\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}.[/mm] Hier ist mir
> > wieder die Notation nicht ganz klar.
>
> Ist genauso wie oben. Das ist uebrigens die Kleinsche
> Vierergruppe, und diese ist nicht zyklisch!
>
> > Ist [mm]\mathbb{Z}_{2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}?[/mm] Kann ja nicht
> sein,
> > wenn das wirklich die multiplikative zyklische Gruppe sein
> > soll.
>
> Es ist die additive zyklische Gruppe, und es ist korrekt,
> wenn man mit [mm]\IZ_2[/mm] nicht gerade die 2-adischen ganzen
> Zahlen meint.
>
> LG Felix
>
Das ist schonmal gut zu wissen.
Wenn man jetzt Körpererweiterungen mit adjungierten primitiven p-ten Wurzeln betrachtet (p Primzahl), dann gilt
[mm] \mathbb{Q}(\zeta_{p})/\mathbb{Q}\simeq(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\ast}. [/mm] Damit meint man ja die multiplikative Gruppe. Dann könnte ich doch praktisch auch schreiben: [mm] \mathbb{Q}(\zeta_{p})/\simeq\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} [/mm] und damit die additive zyklische Gruppe meinen oder?
Wenn es nun um die Frage der Anzahl der Zwischenkörper geht, z.B. für p=41, dann berechne ich also alle Untergruppen (bzw. die Anzahl der Untergruppen) von [mm] \mathbb{Z}/40\mathbb{Z}. [/mm] Da habe ich dann ganz naiv einfach mal [mm] \tau(40)=8 [/mm] berechnet. Nun berechnet [mm] \tau [/mm] die Anzahl der Teiler von 40 und da ist auch die 1 mit dabei. Wenn ich aber alle Untergruppen auflisten würde, dann wäre doch [mm] \mathbb{Z}/1\mathbb{Z} [/mm] doch nicht dabei oder? (Welchem Zwischenkörper würde das denn entsprechen?)
Mit anderen Worten ich käme dann zu der Antwort, dass es 6 Zwischenkörper gibt [mm] (\mathbb{Q}(\zeta_{p})/\mathbb{Q} [/mm] nicht mitgezählt).
Oder sind es wirklich 7 (wieder [mm] \mathbb{Q}(\zeta_{p})/\mathbb{Q} [/mm] nicht mitgezählt)?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 So 03.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Das ist schonmal gut zu wissen.
> Wenn man jetzt Körpererweiterungen mit adjungierten
> primitiven p-ten Wurzeln betrachtet (p Primzahl), dann gilt
> [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{p})/\mathbb{Q}\simeq(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\ast}.[/mm]
> Damit meint man ja die multiplikative Gruppe. Dann könnte
> ich doch praktisch auch schreiben:
> [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{p})/\simeq\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}[/mm] und
> damit die additive zyklische Gruppe meinen oder?
Ja.
Nur macht man das nicht (bzw. nur manchmal), da die Galoisgruppe auf sehr einfache Weise isomorph zur multiplikativen Gruppe von [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] ist.
> Wenn es nun um die Frage der Anzahl der Zwischenkörper
> geht, z.B. für p=41, dann berechne ich also alle
> Untergruppen (bzw. die Anzahl der Untergruppen) von
> [mm]\mathbb{Z}/40\mathbb{Z}.[/mm] Da habe ich dann ganz naiv einfach
> mal [mm]\tau(40)=8[/mm] berechnet. Nun berechnet [mm]\tau[/mm] die Anzahl der
> Teiler von 40 und da ist auch die 1 mit dabei. Wenn ich
> aber alle Untergruppen auflisten würde, dann wäre doch
> [mm]\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}[/mm] doch nicht dabei oder?
Also [mm] $\IZ/1\IZ$ [/mm] ist schonmal ganz sicher keine Untergruppe von [mm] $\IZ/40\IZ$. [/mm] Es ist ja nichtmals eine Teilmenge! Du meinst eher [mm] $40\IZ/40\IZ$, [/mm] was zu [mm] $\IZ/1\IZ$ [/mm] isomorph ist.
Und [mm] $40\IZ/40\IZ$ [/mm] ist definitiv eine Untergruppe von [mm] $\IZ/40\IZ$.
[/mm]
> (Welchem Zwischenkörper würde das denn entsprechen?)
Na, [mm] $\IQ(\zeta_p)$ [/mm] selber. Das ist auch ein Zwischenkoerper.
> Mit anderen Worten ich käme dann zu der Antwort, dass es
> 6 Zwischenkörper gibt
Es sind aber 8.
> [mm](\mathbb{Q}(\zeta_{p})/\mathbb{Q}[/mm]
> nicht mitgezählt).
Du darfst weder den Zwischenkoerper [mm] $\IQ(\zeta_p)$ [/mm] noch den Zwischenkoerper [mm] $\IQ$ [/mm] weglassen!
LG Felix
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