Notwendige Konvergenzbedingung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich schiebe gleich noch eine Frage nach, denn man soll ja nicht zwei Fragen in einem Beitrag stellen. Ich muss hierzu mal aus meinen Lehrmaterialien zitieren:
"Notwendige Konvergenzbedingung
Ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] konvergent, so ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, d. h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 0.
Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend für die Konvergenz.
Denn ist [mm] (s_n) [/mm] die Folge der Teilsummen der Reihe, so folgt aus [mm] s_n \to [/mm] s für n [mm] \to \infty [/mm] mit 1.3.1, dass auch die Folge (s'_n) mit s'_1 := 0, s'n := [mm] s_n-1 [/mm] (n = 2, 3, ...) gegen s konvergiert, und folglich gilt
[mm] a_n [/mm] = [mm] s_n [/mm] - s'_n [mm] \to [/mm] s - s = 0 für n [mm] \to [/mm] 0."
Meine Frage: Wieso ist [mm] a_n [/mm] = [mm] s_n [/mm] - s'_n ???
1.3.1 (Endlich viele Abänderungen)
Die Folge (a'_n) entstehe aus [mm] (a_n) [/mm] durch Abänderung oder durch Weglassen oder durch Hinzufügen endlich vieler Glieder.
Ist [mm] (a_n) [/mm] konvergent, so auch (a'_n), und in diesem Fall ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] a'_n = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 So 08.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Sancho
> "Notwendige Konvergenzbedingung
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> Ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] konvergent, so ist
> die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, d. h.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = 0.
>
> Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend für die
> Konvergenz.
>
> Denn ist [mm](s_n)[/mm] die Folge der Teilsummen der Reihe, so folgt
> aus [mm]s_n \to[/mm] s für n [mm]\to \infty[/mm] mit 1.3.1, dass auch die
> Folge (s'_n) mit s'_1 := 0, s'n := [mm]s_n-1[/mm] (n = 2, 3, ...)
hier steht was falsches, richtig: $ s'n := [mm] s_{n-1}$
[/mm]
und wenn die zwete Summe genau eins weniger weit geht als die erste, dann bleibt das letzte glied der Summe ueber, wenn dus nicht siehst schreib [mm] s_4 [/mm] und [mm] s_{4-1}=s_3 [/mm] mal auf und subtrahier sie!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 08.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
was verstehst du den an dem unteren Satz nicht. Möchtest du wissen, wie man ihn beweist? Dazu musst du dir nur die Konvergenzbedingung anschauen, dann siehst du das die Werte der ersten Glieder nicht verändern. Bei Unklarheiten kannst du ja nochmal nachfragen hier.
Gruß
Hund
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Nein, ich meinte nichts mit Beweis
Ich kann der Logik nur nicht folgen:
"...und folglich gilt:
[mm] a_n [/mm] = [mm] s_n [/mm] - s'_n"
Was soll denn [mm] a_n [/mm] sein? Der Grenzwert? Aber der ist doch s! Versteh überhaupt nicht, was mir das Ganze sagen will, sorry...
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Hallo Martin,
die Verwirrung rührt glaube ich von einer etwas unglüchen Bezeichnung der Reihe her - da haste einmal den Laufindex n und dann [mm] s_n...
[/mm]
Ich schreib's mal so - vielleicht wird's dann klarer:
also gegeben [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k=s
[/mm]
so dann nehmen wir zwei Partialsummen [mm] s_n [/mm] und [mm] s_{n-1} [/mm] her
[mm] s_n=\summe_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+......+a_n
[/mm]
[mm] s_{n-1}=\summe_{k=1}^{n-1}a_k=a_1+a_2+a_3+....+a_{n-1}
[/mm]
Nun streben [mm] s_n [/mm] und [mm] s_{n-1} [/mm] beide gegen $s$ für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
also strebt [mm] s_n-s_{n-1} [/mm] gegen $s-s=0$ für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
Aber [mm] s_n-s_{n-1} [/mm] ist nichts anderes als [mm] (a_1+a_2+a_3+...+a_n)-(a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1})=a_n
[/mm]
Also [mm] $a_n\rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
Also ist die Folge der "Differenzpartialsummen" [mm] s_n-s_{n-1} [/mm] genau die Folge [mm] a_n [/mm] der Reihenglieder, und die streben also gegen Null, sind also eine Nullfolge
Gruß
schachuzipus
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