"Null-Eins" Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Di 29.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier nochmal eine Aufgabe von einem alten Übungsblatt:
Sei [mm] \Omega [/mm] die Menge der sogenannten "Null-Eins" Folgen, d.h. [mm] \Omega=\{0,1\}^{\IN}=\{(x_n)_{n\in\IN}, x_n\in\{0,1\}\; \forall n\}. [/mm] Für [mm] k\in\IN [/mm] sei
(0.1) [mm] {\cal A}_k=\{\{(x_n)_{n\in\IN},(x_1,...,x_k)\inX\}, X\subset \{0,1\}^k\},
[/mm]
und wir definieren ein Mengensystem [mm] \cal{A} [/mm] durch
[mm] {\cal A}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\cal A}_k.
[/mm]
Sorry, ich weiß nicht, warum der das hier so komisch anzeigt... Es soll da bei (0.1) eigentlich stehen: ein geschwungenes A mit Index k ist gleich und dann sind das [mm] (x_n)_{n\in\IN}, (x_1,...,x_k)\in [/mm] X und [mm] X\subset \{0,1\}^k [/mm] und um das Ganze halt noch Mengeklammern...
Ach ja, und das geschwungene A ist gleich der Vereinigung über [mm] \cal{A} [/mm] mit Index k für alle n von 1 bis [mm] \infty
[/mm]
Soweit der "Vorspann". Ich möchte mir das alles jetzt erstmal gerne vorstellen, bzw. wissen, ob ich mir das richtig vorstelle. In [mm] \Omega [/mm] liegen alle "Wörter" wie 00111, 00101010, 11100101 usw., also alles, was man nur aus Einsen und Nullen macht, egal in welcher Reihenfolge. Ich frage mich nur noch, ob es endlich ist oder unendlich? Sagt das [mm] n\in\IN [/mm] etwas darüber aus oder woran erkennt man das? (also ob diese "Wörter" endlich oder unendlich sind)
So, und in [mm] \cal{A}_k [/mm] liegen dann alle "Wörter" bei denen der Anfang nur aus Nullen und Einsen besteht, also z. B. 01010103443534 oder 1113457 usw.. Richtig? Es kann natürlich auch alles aus Nullen und Einsen bestehen.
So, nun lautete der erste Aufgabenteil:
a) Ist für [mm] k\in\IN [/mm] das Mengensystem [mm] \cal{A}_k [/mm] eine [mm] \sigma\mbox{-Algebra}?
[/mm]
Die formale Lösung haben wir in der Übung aufgeschrieben, ich verstehe das nur nicht so ganz, deswegen versuche ich es mal umgangssprachlich zu erklären bzw. hoffe, dass mir dabei jemand weiterhelfen kann.
Als erstes muss ja die Menge [mm] \Omega [/mm] enthalten sein, das ist der Fall, denn wie ich oben schon erwähnte kann auch k=n sein und somit sind alle [mm] x_i\in\{0,1\} [/mm] und das ist ja auch bei [mm] \Omega [/mm] der Fall.
Dann muss das Komplement enthalen sein. Nun frage ich mich aber, was ist denn z. B. das Komplement von 1010234 bzgl. [mm] \Omega? [/mm] Kann mir das vielleicht jemand sagen?
Und zuletzt muss noch die Vereinigung abzählbarer Mengen enthalten sein. Und was wäre denn die Vereinigung z. B. von 10342 und 11102?
Vielleicht verstehe ich ja dann, was wir hier aufgeschrieben haben...
b) Zeige, dass [mm] \cal{A} [/mm] eine Algebra aber keine [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] ist.
Ich dachte, ich hätte es hier letztens schon mal gefragt, aber ich finde es mal wieder nicht... Was war noch gleich der Unterschied zwischen einer Algebra und einer [mm] \sigma\mbox{-Algebra}? [/mm] Bei einer Algebra ist nur die Vereinigung von endlich vielen Mengen wieder enthalten und bei einer [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] sogar von abzählbar unendlich vielen, oder? Das heißt, ich müsste hier als Gegenbeispiel abzählbar unendlich viele Mengen finden, deren Vereinigung nicht in [mm] \cal{A} [/mm] liegt oder wie?
Danach kommt noch was, aber das muss ich mir erst nochmal genau angucken...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Di 29.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Leider hast du das noch nicht verstanden. Es dürfen, auch in [mm] ${\cal A}_k$, [/mm] nichts anderes als Nullen und Einsen vorkommen.
Und außerdem sind nur unendliche Folgen zugelassen.
Ich mache es dir mal an einem Beispiel vor:
Was liegt alles in [mm] ${\cal A}_2$?
[/mm]
Dort liegen genau $16$ Elemente!
Nämlich
1) die leere Menge [mm] $\emptyset$ [/mm] (dann ist $X= [mm] \emptyset$)
[/mm]
2) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,0,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,0)\}$)
[/mm]
3) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,1,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,1)\}$)
[/mm]
4) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $1,0,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(1,0)\}$)
[/mm]
5) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $1,1,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(1,1)\}$)
[/mm]
6) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,0,\ldots$ [/mm] oder [mm] $1,0,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,0),(1,0)\}$)
[/mm]
7) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,0,\ldots$ [/mm] oder [mm] $0,1,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,0),(0,1)\}$)
[/mm]
8) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,0,\ldots$ [/mm] oder [mm] $1,1,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,0),(1,1)\}$)
[/mm]
9) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,1,\ldots$ [/mm] oder [mm] $1,0,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,1),(1,0)\}$)
[/mm]
10) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,1,\ldots$ [/mm] oder [mm] $1,1,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,1),(1,1)\}$)
[/mm]
11) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $1,0,\ldots$ [/mm] oder [mm] $1,1,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(1,0),(1,1)\}$)
[/mm]
12) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,0,\ldots$, $0,1,\ldots$ [/mm] oder [mm] $1,0,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$)
[/mm]
13) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,0,\ldots$, $0,1,\ldots$ [/mm] oder [mm] $1,1,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,0),(0,1),(1,1)\}$)
[/mm]
14) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,0,\ldots$, $1,0,\ldots$ [/mm] oder [mm] $1,1,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,0),(1,0),(1,1)\}$)
[/mm]
15) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm] $0,1,\ldots$, $1,0,\ldots$ [/mm] oder [mm] $1,1,\ldots$ [/mm] beginnen (dann ist [mm] $X=\{(0,1),(1,0),(1,1)\}$)
[/mm]
16) [mm] $\Omega$ [/mm] (dann ist [mm] $X=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$).
[/mm]
Jetzt klarer? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Di 29.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Was liegt alles in [mm]{\cal A}_2[/mm]?
>
> Dort liegen genau [mm]16[/mm] Elemente!
>
> Nämlich
>
> 1) die leere Menge [mm]\emptyset[/mm] (dann ist [mm]X= \emptyset[/mm])
> 2)
> die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,0,\ldots[/mm] beginnen
> (dann ist [mm]X=\{(0,0)\}[/mm])
> 3) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,1,\ldots[/mm] beginnen
> (dann ist [mm]X=\{(0,1)\}[/mm])
> 4) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]1,0,\ldots[/mm] beginnen
> (dann ist [mm]X=\{(1,0)\}[/mm])
> 5) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]1,1,\ldots[/mm] beginnen
> (dann ist [mm]X=\{(1,1)\}[/mm])
> 6) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,0,\ldots[/mm] oder
> [mm]1,0,\ldots[/mm] beginnen (dann ist [mm]X=\{(0,0),(1,0)\}[/mm])
> 7) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,0,\ldots[/mm] oder
> [mm]0,1,\ldots[/mm] beginnen (dann ist [mm]X=\{(0,0),(0,1)\}[/mm])
> 8) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,0,\ldots[/mm] oder
> [mm]1,1,\ldots[/mm] beginnen (dann ist [mm]X=\{(0,0),(1,1)\}[/mm])
> 9) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,1,\ldots[/mm] oder
> [mm]1,0,\ldots[/mm] beginnen (dann ist [mm]X=\{(0,1),(1,0)\}[/mm])
> 10) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,1,\ldots[/mm] oder
> [mm]1,1,\ldots[/mm] beginnen (dann ist [mm]X=\{(0,1),(1,1)\}[/mm])
> 11) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]1,0,\ldots[/mm] oder
> [mm]1,1,\ldots[/mm] beginnen (dann ist [mm]X=\{(1,0),(1,1)\}[/mm])
> 12) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,0,\ldots[/mm],
> [mm]0,1,\ldots[/mm] oder [mm]1,0,\ldots[/mm] beginnen (dann ist
> [mm]X=\{(0,0),(0,1),(1,0)\}[/mm])
> 13) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,0,\ldots[/mm],
> [mm]0,1,\ldots[/mm] oder [mm]1,1,\ldots[/mm] beginnen (dann ist
> [mm]X=\{(0,0),(0,1),(1,1)\}[/mm])
> 14) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,0,\ldots[/mm],
> [mm]1,0,\ldots[/mm] oder [mm]1,1,\ldots[/mm] beginnen (dann ist
> [mm]X=\{(0,0),(1,0),(1,1)\}[/mm])
> 15) die Menge aller 0-1-Folgen, die mit [mm]0,1,\ldots[/mm],
> [mm]1,0,\ldots[/mm] oder [mm]1,1,\ldots[/mm] beginnen (dann ist
> [mm]X=\{(0,1),(1,0),(1,1)\}[/mm])
> 16) [mm]\Omega[/mm] (dann ist [mm]X=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}[/mm]).
>
> Jetzt klarer?
Wenn du mir jetzt noch sagst, wie ich das aus dieser Definition ablesen kann, vielleicht schon.
Viele Grüße
Christiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Di 29.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Nun ja, wir haben doch:
[mm] ${\cal A}_2=\{ \{(x_n)_{n \in \IN} \in \{0,1\}^{\IN} \, : \, (x_1,x_2) \in X\}, X \subset \{0,1\}^2\}$.
[/mm]
Und es gilt:
[mm] $\{0,1\}^2 [/mm] = [mm] \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$,
[/mm]
also:
1) [mm] $X=\emptyset$
[/mm]
2) [mm] $X=\{(0,0)\}$
[/mm]
3) [mm] $X=\{(0,1)\}$
[/mm]
4) [mm] $X=\{(1,0)\}$
[/mm]
5) [mm] $X=\{(1,1)\}$
[/mm]
6) [mm] $X=\{(0,0),(0,1)\}$
[/mm]
7) [mm] $X=\{(0,0),(1,0)\}$
[/mm]
8) [mm] $X=\{(0,0),(1,1)\}$
[/mm]
9) [mm] $X=\{(0,1),(1,0)\}$
[/mm]
10) [mm] $X=\{(0,1),(1,1)\}$
[/mm]
11) [mm] $X=\{(1,0),(1,1)\}$
[/mm]
12) [mm] $X=\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$
[/mm]
13) [mm] $X=\{(0,0),(0,1),(1,1)\}$
[/mm]
14) [mm] $X=\{(0,0),(1,0),(1,1)\}$
[/mm]
15) [mm] $X=\{(0,1),(1,0),(1,1)\}$
[/mm]
16) [mm] $X=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$
[/mm]
Dies ist ja klar, weil die Potenzmenge von [mm] $\{0,1\}^2$ [/mm] (diese Menge besteht aus vier Elementen) gerade [mm] $2^4=16$ [/mm] Elemente enthält.
So, jetzt besagt die Definition folgendes (schau sie dir bitte einmal ganz genau an):
In [mm] ${\cal A}_2$ [/mm] liegen alle Mengen von solchen Folgen, deren ersten beide Einträge in einer (festen) der obigen $16$ möglichen Mengen $X$ liegen.
Für jedes der obigen $X$e muss ich mir also alle Folgen zusammenklauben, deren ersten beiden Einträge in $X$ liegen. Wenn ich das nacheinander mache, bekomme ich alle Elemente des Mengensystems [mm] ${\cal A}_2$, [/mm] für jedes $X$ bekomme ich eine neue Menge von Folgen (und diese Mengen sind dann die Elemente meines Mengensystems [mm] ${\cal A}_2$).
[/mm]
Und dies habe ich nur sprachlich ausgedrückt.
Jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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