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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Null als Eigenwert von Matrix
Null als Eigenwert von Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Null als Eigenwert von Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Do 19.09.2013
Autor: acid

Hallo,

wir haben in der Vorlesung begründet, dass die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten immer linear unabhängig sind. Das bedeutet doch, dass eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten diagonalisierbar ist, weil es n linear unabhängige Eigenvektoren gibt.

Trotzdem habe ich gehört, dass man daraus, dass eine Matrix 0 als Eigenwert hat folgern kann, dass sie nicht diagonalisierbar ist. Stimmt das - also bedeutet ein Eigenwert von null, dass es keine n lin. unabhängigen Eigenvektoren gibt? Und wie kann man das begründen?

Vielen Dank und viele Grüße
acid

        
Bezug
Null als Eigenwert von Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Do 19.09.2013
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> wir haben in der Vorlesung begründet, dass die
> Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten immer linear
> unabhängig sind. Das bedeutet doch, dass eine [mm]n \times n[/mm]-Matrix
> mit n verschiedenen Eigenwerten diagonalisierbar ist, weil
> es n linear unabhängige Eigenvektoren gibt.

Das stimmt.


>  
> Trotzdem habe ich gehört, dass man daraus, dass eine
> Matrix 0 als Eigenwert hat folgern kann, dass sie nicht
> diagonalisierbar ist.



Das stimmt nicht.

Jede Diagonalmatrix ist diagonalisierbar. Also auch solche Diagonalmatrizen, die auf der Hauptdiagonalen eine Null haben.

Einfachstes Beispiel: die Nullmatrix ist diagonalisierbar.

FRED




> Stimmt das - also bedeutet ein
> Eigenwert von null, dass es keine n lin. unabhängigen
> Eigenvektoren gibt? Und wie kann man das begründen?
>  
> Vielen Dank und viele Grüße
>  acid


Bezug
        
Bezug
Null als Eigenwert von Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Do 19.09.2013
Autor: angela.h.b.


> Trotzdem habe ich gehört, dass man daraus, dass eine
> Matrix 0 als Eigenwert hat folgern kann, dass sie nicht
> diagonalisierbar ist.

Hallo,

ich glaube, Du hast Dich verhört.
Richtig ist: wenn die Matrix den EW 0 hat, ist sie nicht invertierbar.

LG Angela

Bezug
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