Nullfolge--> Beweis gesucht < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Do 11.11.2010 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | Es seien [mm] (a_{n})_{n \ge 1}eine [/mm] Nullfolge [mm] und(b_{n})_{n \ge 1} [/mm] eine beschränkte Folge reeller zahlen. Die Folge [mm] (c_{n})_{n \ge 1} [/mm] sei definiert durch [mm] (c_{n}) [/mm] = [mm] (a_{n}) (b_{n}) [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 1.
Beweisen sie , dass [mm] (c_{n})_{n \ge 1} [/mm] eine Nullfolge ist. |
Hallo,
ich habe mit der Aufgabe so meine Probleme.Generell verstehe ich den Formalismus ncht wirklich,aber ich hab mir mal so meine Gedanken gemacht.
Könnte mir bitte jemand sagen,ob die folgende Überlegung stimmt und sinnvoll ist??Danke
Vorüberlegung:
Also hab gedacht,dass wenn [mm] (a_{n}) [/mm] eine NF ist und [mm] (c_{n}) [/mm] definiert ist als das PRODUKT einer NF und irgendwas anderes, sollte [mm] (c_{n}) [/mm] logischerweise auch ne NF sein.
In math. Sprache:
[mm] \varepsilon [/mm] > 0 sei beliebig vorgegeben!
[mm] (a_{n}) [/mm] NF --> [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_{n}| [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] *= [mm] \bruch{\varepsilon}{\lambda} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N
Falls nun [mm] (c_{n})= (a_{n}) [/mm] WÄRE:
[mm] |c_{n} [/mm] - 0| [mm] \le \lambda |a_{n}| [/mm] < [mm] \lambda \bruch{\varepsilon}{\lambda} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] für n [mm] \ge [/mm] max [mm] \{n,N \} \in \IN
[/mm]
--> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n} [/mm] = 0 = NF q.e.d
Grüße
Nerix
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Hallo Nerix,
> Es seien [mm](a_{n})_{n \ge 1}eine[/mm] Nullfolge [mm]und(b_{n})_{n \ge 1}[/mm]
> eine beschränkte Folge reeller zahlen. Die Folge
> [mm](c_{n})_{n \ge 1}[/mm] sei definiert durch [mm](c_{n})[/mm] = [mm](a_{n}) (b_{n})[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] 1.
> Beweisen sie , dass [mm](c_{n})_{n \ge 1}[/mm] eine Nullfolge ist.
> Hallo,
> ich habe mit der Aufgabe so meine Probleme.Generell
> verstehe ich den Formalismus ncht wirklich,aber ich hab mir
> mal so meine Gedanken gemacht.
> Könnte mir bitte jemand sagen,ob die folgende Überlegung
> stimmt und sinnvoll ist??Danke
>
> Vorüberlegung:
> Also hab gedacht,dass wenn [mm](a_{n})[/mm] eine NF ist und [mm](c_{n})[/mm]
> definiert ist als das PRODUKT einer NF und irgendwas
> anderes, sollte [mm](c_{n})[/mm] logischerweise auch ne NF sein.
Nein, nimm mal an, es ist [mm](a_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] und [mm](b_n)_{n\in\IN}=(n^2)_{n\in\IN}[/mm]
Dann ist [mm]a_n\cdot{}b_n=n[/mm] und das übersteigt mit wachsendem n alle Grenzen ...
>
> In math. Sprache:
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 sei beliebig vorgegeben!
> [mm](a_{n})[/mm] NF --> [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]|a_{n}|[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> *= [mm]\bruch{\varepsilon}{\lambda}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N
Diese Sprache kenne ich nicht, was soll denn da stehen?
>
>
> Falls nun [mm](c_{n})= (a_{n})[/mm] WÄRE:
>
> [mm]|c_{n}[/mm] - 0| [mm]\le \lambda |a_{n}|[/mm] < [mm]\lambda \bruch{\varepsilon}{\lambda}[/mm]
> = [mm]\varepsilon[/mm] für n [mm]\ge[/mm] max [mm]\{n,N \} \in \IN[/mm]
>
> --> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}[/mm] = 0 = NF q.e.d
>
[mm](b_n)[/mm] sei beschränkt, dh. es gibt ein [mm]M\in\IR^+[/mm], so dass für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt: [mm]|b_n|\le M[/mm]
Weiter nimm an, dass [mm](a_n)[/mm] eine NF ist, also gibt es zu bel. [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N_1\in\IN[/mm] mit [mm]|a_n|\red{<}\frac{\varepsilon}{M}[/mm] für alle [mm]n\ge N_1[/mm]
Nun betrachte die Folge [mm](a_n\cdot{}b_n)[/mm], von der du zeigen sollst, dass es NF ist.
Schaue dir also den Betrag [mm]|a_n\cdot{}b_n-0|=|a_n\cdot{}b_n|[/mm] an.
Wie kannst du zu bel. gegebenem [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]N(\varepsilon)[/mm] wählen, so dass für alle [mm] $n\ge N(\varepsilon)$ [/mm] dann [mm]|a_n\cdot{}b_n|<\varepsilon[/mm] ist?
> Grüße
> Nerix
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> >
> > In math. Sprache:
> > [mm]\varepsilon[/mm] > 0 sei beliebig vorgegeben!
> > [mm](a_{n})[/mm] NF --> [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]|a_{n}|[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm]
> > *= [mm]\bruch{\varepsilon}{\lambda}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N
>
> Diese Sprache kenne ich nicht, was soll denn da stehen?
Ich übersetze: nach obigem ist [mm] $|a_n| [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{\lambda}$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N.
Somit haben wir das 1. Resultat: [mm] \lambda [/mm] = 1
Das 2. Resultat lautet: [mm] (|a_n|)_{n \ge N} [/mm] ist beliebig vorgegeben.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 11.11.2010 | | Autor: | Nerix |
Ok, ich fasse zusammen und erweitere:
Da [mm] (a_{n}) [/mm] NF gibt es ein [mm] N_{1} [/mm] mit [mm] |a_{n}| [/mm] = [mm] \varepsilon_{1} [/mm] mit n [mm] \ge N_{1}
[/mm]
und da [mm] (b_{n}) [/mm] besränkt gibt es ein [mm] N_{2} \in \IR+ [/mm] mit [mm] |b_{n}| \le N_{2} [/mm] für n [mm] \ge N_{2}
[/mm]
zu zeigen: es existiert zu einem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 [mm] N_{1} \in \IN [/mm] mit [mm] |a_{n}|<
[/mm]
[mm] \bruch{[red]\varepsilon [/red]}{N_{2}} [/mm] mit [mm] n\ge N_{1}
[/mm]
(Für [mm] [red]\varepsilon[/red] [/mm] müsste nicht [mm] \varepsilon_{1} [/mm] stehen???)
--> [mm] |a_{n}b_{n} [/mm] - 0| = [mm] |a_{n}b_{n}| [/mm] = [mm] |a_{n}| |b_{n}| [/mm] = .....
richtig??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich fasse zusammen und erweitere:
>
> Da [mm](a_{n})[/mm] NF gibt es ein [mm]N_{1}[/mm] mit [mm]|a_{n}|[/mm] =
> [mm]\varepsilon_{1}[/mm] mit n [mm]\ge N_{1}[/mm]
Das ist doch Quatsch ! Schau Dir nochmal die Def. der Konvergenz einer Folge an
FRED
>
> und da [mm](b_{n})[/mm] besränkt gibt es ein [mm]N_{2} \in \IR+[/mm] mit
> [mm]|b_{n}| \le N_{2}[/mm] für n [mm]\ge N_{2}[/mm]
>
> zu zeigen: es existiert zu einem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 [mm]N_{1} \in \IN[/mm]
> mit [mm]|a_{n}|<[/mm]
> [mm]\bruch{[red]\varepsilon [/red]}{N_{2}}[/mm] mit [mm]n\ge N_{1}[/mm]
>
> (Für [mm][red]\varepsilon[/red][/mm] müsste nicht [mm]\varepsilon_{1}[/mm] stehen???)
>
> --> [mm]|a_{n}b_{n}[/mm] - 0| = [mm]|a_{n}b_{n}|[/mm] = [mm]|a_{n}| |b_{n}|[/mm] =
> .....
>
>
> richtig??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 11.11.2010 | | Autor: | Nerix |
> > Ok, ich fasse zusammen und erweitere:
> >
> > Da [mm](a_{n})[/mm] NF gibt es ein [mm]N_{1}[/mm] mit [mm]|a_{n}|[/mm] =
> > [mm]\varepsilon_{1}[/mm] mit n [mm]\ge N_{1}[/mm]
>
>
> Das ist doch Quatsch ! Schau Dir nochmal die Def. der
> Konvergenz einer Folge an
>
> FRED
Hab mir die def. noch mal angesehn und finde den "quatsch" nicht???!! Wahrscheinlich steh och grad auf der Leitung 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Do 11.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nerix!
Wie Fred inzwischen schon unten schrieb, muss es lauten:
[mm] $|a_n| [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 11.11.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
ahh,ok,etz seh ichs auch. stimmt dann wenigstens der Rest, den ich "zusammen gefasst und erweitert" habe???
Sorry,wenn ich dumme Fehler mache,aber habe die Woche zum 1.Mal mit dem Thema zu tun gehabt und steige nicht wirklich durch diese Materie.
Danke
Nerix
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Hallo nochmal,
> hallo,
>
> ahh,ok,etz seh ichs auch. stimmt dann wenigstens der Rest,
> den ich "zusammen gefasst und erweitert" habe???
Nein, [mm](b_n)[/mm] beschränkt heißt, es ex. [mm]N_2\in\IR^+[/mm] mit [mm]|b_n|\le N_2[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] (nicht [mm]n\ge N_2[/mm])
Außerdem muss es "zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] " - nicht "zu einem" heißen
Mit [mm]N_1[/mm] bezeichne ich die Schranke für die Konvergenz von [mm](a_n)[/mm], ab der [mm]|a_n|<\frac{\varepsilon}{N_2}[/mm] ist (siehe oben)
Dann ist für beliebiges [mm]\varepsilon>0[/mm] und alle [mm]n\ge N(\varepsilon):=N_1[/mm] doch:
[mm]|a_nb_n-0|=|a_nb_n|=|a_n|\cdot{}|b_n|\le |a_n|\cdot{}N_2 \ < \frac{\varepsilon}{N_2}\cdot{}\N_2=\varepsilon[/mm]
>
> Sorry,wenn ich dumme Fehler mache,aber habe die Woche zum
> 1.Mal mit dem Thema zu tun gehabt und steige nicht wirklich
> durch diese Materie.
>
> Danke
> Nerix
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Do 11.11.2010 | | Autor: | Peter_Pein |
...
> Nein, nimm mal an, es ist
> [mm](a_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] und
> [mm](b_n)_{n\in\IN}=(n^2)_{n\in\IN}[/mm]
>
([mm]b_{n}[/mm]) ist in diesem Beispiel aber auch sowas von unbeschränkt... (Aufgabe lesen!).
Also: Wir wissen: ([mm]a_{n}[/mm]) ->0 und (([mm]b_{n}[/mm]) < [mm]B[/mm] für alle n). Da ist es doch ein Leichtes, ([mm]B a_{n}[/mm]) als Nullfolge zu erkennen:
gegeben ist:
[mm]\forall _{\varepsilon >0}\exists _{\text{n0}}\forall _{n>\text{n0}}\left|a_n\right|<\varepsilon[/mm] und [mm]\forall _nb_n
Also ist [mm]a_n b_n0}\exists _{\text{n0}}\forall _{n>\text{n0}}\left|B a_n\right|<\delta [/mm]. Wähle [mm]\delta = B*\varepsilon[/mm] und da [mm]\varepsilon[/mm] beliebig klein sein kann, tut es das [mm]\delta[/mm] ihm nach, also: fertig.
Gruß,
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Do 11.11.2010 | | Autor: | Peter_Pein |
oops, da fehlt noch der ein oder andere Betrag, aber das bekommst Du schon hin....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Do 11.11.2010 | | Autor: | Peter_Pein |
Nee... doch neur einer.
Sorry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Nee... doch neur einer.
>
> Sorry
Nee .. 3 !
$ [mm] \forall _{\varepsilon >0}\exists _{\text{n0}}\forall _{n>\text{n0}}\left|a_n\right|<\varepsilon [/mm] $ und $ [mm] \forall _nb_n
Hier: [mm] |b_n|
> Also ist $ [mm] a_n b_n
und hier: $| [mm] a_n b_n|
FRED
> und damit $ [mm] \forall _{\delta >0}\exists _{\text{n0}}\forall _{n>\text{n0}}\left|B a_n\right|<\delta [/mm] $. Wähle $ [mm] \delta [/mm] = [mm] B\cdot{}\varepsilon [/mm] $ und da $ [mm] \varepsilon [/mm] $ beliebig klein sein kann, tut es das $ [mm] \delta [/mm] $ ihm nach, also: fertig.
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Hallo Peter,
> ...
> > Nein, nimm mal an, es ist
> > [mm](a_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] und
> > [mm](b_n)_{n\in\IN}=(n^2)_{n\in\IN}[/mm]
> >
>
> ([mm]b_{n}[/mm]) ist in diesem Beispiel aber auch sowas von
> unbeschränkt... (Aufgabe lesen!).
Das ist mir klar und war bewusst gewählt.
Lies mal selber genauer, was bei den "Vorüberlegungen" steht.
"Wenn ich eine Nullfolge mit "irgendwas" multipliziere ..."
Darauf bezog sich mein Gegenbsp.
Da steht nicht mit "irgendwas beschränktem ..."
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Do 11.11.2010 | | Autor: | Peter_Pein |
Nun ja, es war scheinbar gemeint "mit igendwas beschränktem" aber es wurde halt nicht geschrieben.
In diesem Zusammenhang möchte ich ausdrücklich in Erinnerung rufen, dass die Multiplikation von reellen Zahlen mit Pasta, Elefanten, dem Deutschen Radio-Sinfonie-Orchester und eigentlich mit fast allem nicht wohldefiniert ist 
Grüße,
Peter
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