Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] ist eine nullfolge
[mm] b_{n}:= \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] , [mm] n\ge [/mm] 1
Beweise, dass die Folge [mm] (b_{n})_{n\ge1} [/mm] auch eine Nullfolge ist |
Álso erst mal hab ich das summenzeichen ausgeschrieben :
[mm] b_{n} [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] (a_{1}+a_{2}+....+a_{n})
[/mm]
ich dachte ich definiere [mm] a_{n} [/mm] rekursiv als [mm] (\bruch{1}{n})_{n\ge1}
[/mm]
und setze es nei [mm] b_{n} [/mm] ein.
da sieht man ganz gut dass es wieder eine nullfolge wird:
[mm] b_{n}= \bruch{1}{n} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] b_{n}= \bruch{1}{1n}+ \bruch{1}{2n}+\bruch{1}{3n}+...+\bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Aber ich glaube ich muss das theoretischer machen. Kann mir da jemand helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Sa 21.11.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] ist eine nullfolge
>
> [mm]b_{n}:= \bruch{1}{n}[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] , [mm]n\ge[/mm] 1
>
> Beweise, dass die Folge [mm](b_{n})_{n\ge1}[/mm] auch eine Nullfolge
> ist
> Álso erst mal hab ich das summenzeichen ausgeschrieben :
>
> [mm]b_{n}[/mm] := [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm](a_{1}+a_{2}+....+a_{n})[/mm]
>
>
> ich dachte ich definiere [mm]a_{n}[/mm] rekursiv als
> [mm](\bruch{1}{n})_{n\ge1}[/mm]
> und setze es nei [mm]b_{n}[/mm] ein.
>
> da sieht man ganz gut dass es wieder eine nullfolge wird:
>
> [mm]b_{n}= \bruch{1}{n}[/mm] * ( [mm]\bruch{1}{1}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n})[/mm]
> [mm]b_{n}= \bruch{1}{1n}+ \bruch{1}{2n}+\bruch{1}{3n}+...+\bruch{1}{n^{2}}[/mm]
>
>
> Aber ich glaube ich muss das theoretischer machen. Kann mir
> da jemand helfen ?
>
Hallo,
wie du sicher weißt, ist [mm]c_{n}=\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{n^2}[/mm] eine Nullfolge, [mm]c_{n}=\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{n}[/mm] hingegen nicht.
Entweder gelingt es dir, die Nullfolge [mm] (a_n) [/mm] durch die Folge [mm] (k*\bruch{1}{n}) [/mm] nach oben abzuschätzen (dann kannst du den Vorfaktor [mm] \bruch{1}{n} [/mm] mit in die Summe hineinziehen),
oder du wendest auf [mm] b_n [/mm] das Quotientenkriterium an (letzteres erscheint mir sinnvoller).
Versuche es mal.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Ich hab grad das Quotientenkriterium gegooglet da ich das noch nicht in meiner vorlesung hatte aber ich werde qaus ihr nicht schlau.
müsste nicht dann [mm] b_{n}:=\summe_{k=0}^{n} a_{k}, n=\infty [/mm] sein?
und sie sagt nur aus ob eine folge divergent oder konvergent ist ?
Tut mir leid wenn ich so nachfrage aber diese aufgabe schafft mich.
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Hallo!
Ich glaube, es ist ungünstig, hier mit dem Quotientenkriterium "rumzuwursteln", das würde bei dieser Aufgabe nämlich nichts bringen.
Du musst folgendermaßen vorgehen (Falls du die [mm] \varepsilon [/mm] - Methode nicht magst, wünsche ich dir schon ab hier mein herzliches Beileid):
Du weißt: [mm] $a_{n}$ [/mm] ist Nullfolge, d.h. [mm] $\lim_{n\to\infty}a_{n} [/mm] = 0$. Das bedeutet anders ausgedrückt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN \forall n>N:|a_{n}-0| [/mm] = [mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Du musst nun folgendermaßen beginnen:
(Du willst zeigen, dass [mm] $b_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ [/mm] Nullfolge, also dass ähnlich wie oben dann gilt: [mm] $\left|b_{n}-0\right| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] !)
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$. Dann existiert nach Voraussetzung ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] sodass [mm] $|a_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n > N$.
[mm] $\left|b_{n}-0\right| [/mm] = [mm] \left|b_{n}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{N}a_{k} + \frac{1}{n}*\sum_{k=N+1}^{n}a_{k}\right| \le \left|\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{N}a_{k}\right|+\left|\frac{1}{n}*\sum_{k=N+1}^{n}a_{k}\right|$
[/mm]
Und wenn wir nochmal die Dreiecksungleichung anwenden ist:
[mm] $\left|\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{N}a_{k}\right|+\left|\frac{1}{n}*\sum_{k=N+1}^{n}a_{k}\right|\le \frac{1}{n}*\left|\sum_{k=1}^{N}a_{k}\right|+\frac{1}{n}*\sum_{k=N+1}^{n}\left|a_{k}\right|$
[/mm]
So, nun bist du dran. Wir wollen zeigen, dass der Ausdruck kleiner als [mm] $K*\varepsilon$ [/mm] ist, wobei K eine Konstante ist.
Du weißt, dass $N$ im obigen Term "fest" ist, d.h. eine Konstante. Was lässt sich dann über [mm] \left|\sum_{k=1}^{N}a_{k}\right| [/mm] aussagen?
Bei dem zweiten Summanden solltest du die Voraussetzung anwenden, nach der wir wissen, dass [mm] $|a_{k}| < \varepsilon$ [/mm] ist.
Grüße,
Stefan
PS.: Deine Beweisidee aus dem ersten Post ist leider falsch. Du kannst bei "unendlichen" Angelegenheiten leider nicht mit endlichen Argumenten argumentieren, zum Beispiel dass alle Summanden gegen 0 konvergieren, sagt im Unendlichen leider nichts darüber aus, ob auch die Summe dieser Summanden gegen 0 konvergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 22.11.2009 | | Autor: | Ayame |
wenn N eine Konstante ist dann ist [mm] |\summe_{k=0}^{N}a{k}| [/mm] auch eine konstante.
Und [mm] |a_{k}| [/mm] ist < [mm] \varepsilon [/mm] und daher eine Nullfolge (laut definition).
Also wenn n [mm] \to \infty [/mm] dann .... ich hab keine ahnung :(
Ich komm einfach nicht klar mit dieser aufage. Es tut mir leid aber könnest du mir da noch mal helfen?
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Hallo!
> wenn N eine Konstante ist dann ist [mm]|\summe_{k=0}^{N}a{k}|[/mm]
> auch eine konstante.
Genau!
> Und [mm]|a_{k}|[/mm] ist < [mm]\varepsilon[/mm] und daher eine Nullfolge
> (laut definition).
Ja... aber es reicht die Abschätzung, dass alle weiteren Folgenglieder eben kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] sind.
> Ich komm einfach nicht klar mit dieser aufage. Es tut mir
> leid aber könnest du mir da noch mal helfen?
Okay, machen wir beim letzten Schritt weiter:
[mm] $\frac{1}{n}\cdot{}\left|\sum_{k=1}^{N}a_{k}\right|+\frac{1}{n}\cdot{}\sum_{k=N+1}^{n}\left|a_{k}\right| [/mm] $
Wir wissen nun, dass die linke Summe eine Konstante ist, und sich jeder Summand der rechten Summe durch [mm] \varepsilon [/mm] nach oben abschätzen lässt (Voraussetzung, in der Summe stehen nur Folgenglieder mit Index größer als N !)
Also:
[mm] $\frac{1}{n}\cdot{}\left|\sum_{k=1}^{N}a_{k}\right|+\frac{1}{n}\cdot{}\sum_{k=N+1}^{n}\left|a_{k}\right| \le \frac{1}{n}\cdot{}K+\frac{1}{n}\cdot{}\sum_{k=N+1}^{n}\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\cdot{}K+\frac{1}{n}*(n-N)*\varepsilon [/mm] $
Nun können wir großzügig den rechten Faktor (n-N) durch n abschätzen:
[mm] $\frac{1}{n}\cdot{}K+\frac{1}{n}*(n-N)*\varepsilon \le \frac{1}{n}\cdot{}K+\frac{1}{n}*n*\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{K}{n}+\varepsilon$
[/mm]
Naja - und nun steht es praktisch schon da. Wir wählen nun einfach n so groß, dass [mm] $\frac{K}{n}\le \varepsilon$ [/mm] (Das dürfen wir, weil K eine Konstante ist und wir wissen, dass [mm] \frac{1}{n} [/mm] eine Nullfolge ist, also gegen 0 konvergiert), also n > [mm] N_{2}. [/mm] Damit gelingt uns die finale Abschätzung
[mm] $\frac{K}{n}+\varepsilon \le 2*\varepsilon$
[/mm]
D.h. wir haben gezeigt, dass wir für jedes vorgegebene [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] N_{max}\in\IN [/mm] existiert mit [mm] N_{max} [/mm] = [mm] max\{N,N_{2}\} [/mm] sodass [mm] |b_{n}-0|<2*\varepsilon, [/mm] damit haben wir die Konvergenz der Folge [mm] b_{n} [/mm] gegen 0 gezeigt.
Ich weiß, dass das am Anfang schwer "selbst" hinzuschreiben ist, aber mit der Zeit kommt das schon  - Immer das Ziel vor Augen haben - es muss kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] werden! 
Grüße,
Stefan
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