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| Aufgabe | | Sein [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge und [mm] (b_n) [/mm] eine beschränkte Folge. Zeigen Sie,dass [mm] (a_nb_n) [/mm] auch eine Nullfolge ist. |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe und wollte fragen, ob ich sie soweit richtig gelöst habe.
[mm] b_n [/mm] ist O.B.d.A nach oben beschränkt. Definiere c als obere Schranke von [mm] b_n [/mm]
[mm] b_n\le [/mm] c
Eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen Null konvergiert.
Für alle [mm] \delta>0 [/mm] gibt es ein K [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] n\geN:
[/mm]
[mm] |a_n-0|<\delta
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a_n|<\delta
[/mm]
[mm] |a_n||b_n|<\delta*c [/mm] Sei [mm] \delta*c:=\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a_n||b_n|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |a_n*b_n|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw |a_n*b_n-0|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Nach Defnition von konvergenten Folgen konvergiert [mm] a_n*b_n [/mm] gegen Null.
Ist das so ok?
Danke schonmal für jede Hilfe.
Beste Grüße
Neuling88
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Neuling!
Ja, das scheint mir okay. Du kannst es allerdings etwas einfacher machen, indem Du auf die Einschränkung der oberen Schranke verzichtest.
Es gilt:
[mm](b_n) \ \text{beschränkt} \ \ \gdw \ \ |b_n| \ \le \ c[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Neuling88,
zwei Kleinigkeiten:
> [mm]b_n[/mm] ist O.B.d.A nach oben beschränkt. Definiere c als
Jede beschränkte Folge ist nach oben beschränkt, daher ist dein O.B.d.A. etwas irreführend. Mache es so, wie von Loddar vorgeschlagen.
> obere Schranke von [mm]b_n[/mm]
> [mm]b_n\le[/mm] c
> Eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen Null konvergiert.
> Für alle [mm]\delta>0[/mm] gibt es ein K [mm]\in \IN,[/mm] sodass [mm]n\geN:[/mm]
> [mm]|a_n-0|<\delta[/mm]
> [mm]\Rightarrow |a_n|<\delta[/mm]
>
>
> [mm]|a_n||b_n|<\delta*c[/mm] Sei [mm]\delta*c:=\varepsilon[/mm]
Hier solltest du deutlich(er) machen, dass dadurch [mm] $\delta$ [/mm] definiert wird (und nicht etwa $c$ (oder gar [mm] $\varepsilon$)).
[/mm]
Schreibe dazu besser: [mm] $\delta:=\varepsilon/c$.
[/mm]
[mm] $\varepsilon$ [/mm] und $c$ sind nämlich durch die beiden Folgen vorgegeben, und nicht für deinen Beweis wählbar.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 So 07.11.2010 | | Autor: | Neuling88 |
Dankeschön für eure Beiträge.
Beste Grüße
Neiling88
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