Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr 
perfektes wetter um ein wenig für die bevorstehende Matheklausur zu üben
Es geht darum:
Sei P: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IN [/mm] eine Bijektion und [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Nullfolge. Zeige: Die Folge [mm] (a_{p(n)}_{n \in \IN} [/mm] ist eine Nullfolge
mein Ansatz:
Um dies zu Beweisen muss ich ja zeigen, dass ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert (mit N [mm] \le [/mm] n) für das gilt | [mm] a_{p(n)} [/mm] - 0 | [mm] \le \epsilon [/mm]
aber wie setze ich da an? Ich habe ja keine spezielle Folge vorgegeben, bzw. ich weiß nur, dass die natürlichen Zahlen in den natürlichen Zahlen abgebildet werden..
und eigentlich ist die Folge der natürlichen Zahlen doch eine monoton steigende Folge oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rosapanther,
hier wird es nicht mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] funktionieren.
> Sei P: [mm]\IN[/mm] -> [mm]\IN[/mm] eine Bijektion und [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm]
> eine Nullfolge. Zeige: Die Folge [mm](a_{p(n)}_{n \in \IN}[/mm] ist
> eine Nullfolge
>
> mein Ansatz:
> Um dies zu Beweisen muss ich ja zeigen, dass ein N [mm]\in \IN[/mm]
> existiert (mit N [mm]\le[/mm] n) für das gilt | [mm]a_{p(n)}[/mm] - 0 | [mm]\le \epsilon[/mm]
Nein, das ist nicht der einzige Weg. Hier ist er nicht zielführend, vor allem, weil Du nichts über die verwendete Bijektion weißt.
> aber wie setze ich da an? Ich habe ja keine spezielle Folge
> vorgegeben, bzw. ich weiß nur, dass die natürlichen
> Zahlen in den natürlichen Zahlen abgebildet werden..
Ja eben, das muss reichen - wobei die Bijektivität allerdings entscheidend wichtig ist.
> und eigentlich ist die Folge der natürlichen Zahlen doch
> eine monoton steigende Folge oder?
Schon, aber das ist hier belanglos.
Bedenke: [mm] (a_n)_n [/mm] ist eine Nullfolge. Die Null ist also ihr einziger Häufungspunkt, und das heißt auch, dass fast alle Folgenglieder in beliebig klein wählbarem Abstand zur Null liegen.
Wie ist es nach der (unbekannten) Umordnung der Folgenglieder?
Grüße
reverend
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okay danke
nach der Umordnung ist es doch immer noch genauso oder? da es ja eine bijektive Abbildung ist
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Hallo nochmal,
> okay danke
> nach der Umordnung ist es doch immer noch genauso oder? da
> es ja eine bijektive Abbildung ist
Ja, genau. Wäre die Abbildung nicht bijektiv, könnten sich ja sozusagen Gewichtsverschiebungen ergeben. Das ist so aber nicht der Fall.
Anders gesagt: es liegt der gleiche unendliche Haufen von Folgengliedern auf dem Zahlenstrahl (oder vielleicht der komplexen Ebene) herum. In welcher Reihenfolge die nun innerhalb der Folge nummeriert (bzw. indiziert) werden, ist für die Konvergenz vollkommen unerheblich.
Grüße
reverend
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das verstehe ich, aber wie beiweise ich nun damit das es eine Nullfolge ist?
Muss ich etwas beweisen das Null der Häufungspunkt ist?
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Reverend hat es eigentlich schon gesagt: Eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] geht genau dann gegen $a$, wenn in jeder Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder liegen (das heißt alle, bis auf endlich viele). Wenn ihr das nicht bewiesen habt, zeige es am besten selbst. Dass sich an dieser Eigenschaft für [mm] $(a_{p(n)})$ [/mm] nichts ändert, ist danach einigermaßen trivial.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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also wir haben bewiesen das eine Folge [mm] a_{n} [/mm] gegen a konvergiert, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen a k
N ist ja eine Teilfolgen von P(N)richtig?
kann man sagen, dass wenn N als Teilfolge gegen 0 kovergiert, sich P(N) dann genauso verhält?
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Hallo rosapanther,
Nein. Für Lösungsansätze siehe die letzten Antworten.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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das sagt doch im Prinzip das gleiche aus wie
[mm] |a_{n} [/mm] - a| [mm] \le \epsilon [/mm]
oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 So 08.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> das sagt doch im Prinzip das gleiche aus wie
> [mm]|a_{n}[/mm] - a| [mm]\le \epsilon[/mm]
> oder?
Da fehlt noch ein bisschen Text "drumherum"
Eine Folge hat den Grenzwert a, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein Folgenglied [mm] a_{N} [/mm] gibt, so dass alle weiteren Folgenglieder innerhalb dieser [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] liegen, also gilt für alle n>N, dann [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon
[/mm]
Hier ist es eine Nullfolge, also ist a=0, also muss es ein N geben, so dass [mm] |a_{n}-0|<\varepsilon [/mm] für alle n>N.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mo 09.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Wir geben ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vor.
Nun wissen wir, da [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist:
(*) [mm] $|a_n| \ge \varepsilon$
[/mm]
für höchstens endlich viele n [mm] \in \IN.
[/mm]
Fall 1: es gibt es keine solche n. Dann ist [mm] $|a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle n.
Dann ist auch [mm] |a_{p(n)}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n.
Fall 2: es gelte (*) genau für [mm] n_1,..., n_k \in \IN.
[/mm]
Sei [mm] M:=\{n_1,...,n_k\}.
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] |a_{p(n)}| \ge \varepsilon [/mm] für nur endlich viele n [mm] \in \IN.
[/mm]
Es ist
[mm] |a_{p(n)}| \ge \varepsilon \gdw [/mm] p(n) [mm] \in [/mm] M
Nun gib Du eine eine endliche Menge M' [mm] \subseteq \IN [/mm] an mit:
[mm] |a_{p(n)}| \ge \varepsilon \gdw [/mm] n [mm] \in [/mm] M'.
FRED
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> Wir geben ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 vor.
>
> Nun wissen wir, da [mm](a_n)[/mm] eine Nullfolge ist:
>
> (*) [mm]|a_n| \ge \varepsilon[/mm]
wieso gilt denn hier [mm] ..\ge \epsilon
[/mm]
normalerweise ist das Kriterium für eine Nullfolge doch:
| [mm] a_{n} [/mm] - 0| [mm] \le \epsilon
[/mm]
>
> für höchstens endlich viele n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Fall 1: es gibt es keine solche n. Dann ist [mm]|a_n| < \varepsilon[/mm]
> für alle n.
>
achso ja gut. das ist das Kriterium was ich kenne
> Dann ist auch [mm]|a_{p(n)}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n.
>
das würde ja heißen das sie ebenfalls durch 0 beschränkt ist.
>
> Fall 2: es gelte (*) genau für [mm]n_1,..., n_k \in \IN.[/mm]
>
> Sei [mm]M:=\{n_1,...,n_k\}.[/mm]
>
> Zu zeigen ist: [mm]|a_{p(n)}| \ge \varepsilon[/mm] für nur endlich
> viele n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Es ist
>
> [mm]|a_{p(n)}| \ge \varepsilon \gdw[/mm] p(n) [mm]\in[/mm] M
>
> Nun gib Du eine eine endliche Menge M' [mm]\subseteq \IN[/mm] an
> mit:
>
> [mm]|a_{p(n)}| \ge \varepsilon \gdw[/mm] n [mm]\in[/mm] M'.
>
reicht es nicht hier die Menge der natürliche Zahlen anzugeben? diese ist doch endlich
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Hallo rosapanther,
erst denken, dann schreiben. Nur so als Tipp.
> > Wir geben ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 vor.
> >
> > Nun wissen wir, da [mm](a_n)[/mm] eine Nullfolge ist:
> >
> > (*) [mm]|a_n| \ge \varepsilon[/mm]
>
> wieso gilt denn hier [mm]..\ge \epsilon[/mm]
> normalerweise ist das
> Kriterium für eine Nullfolge doch:
> | [mm]a_{n}[/mm] - 0| [mm]\le \epsilon[/mm]
Na, wenn Du mitten im Satz eingreifst, zerhackst Du die richtige Aussage von Fred.
> > für höchstens endlich viele n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > Fall 1: es gibt es keine solche n. Dann ist [mm]|a_n| < \varepsilon[/mm]
> > für alle n.
> >
> achso ja gut. das ist das Kriterium was ich kenne
Nein, das ist nur ein Fall.
Die "Normalfassung" geht davon aus, dass die Ungleichung für alle n>N mit einem bestimmten [mm] N\in\IN [/mm] gilt.
> > Dann ist auch [mm]|a_{p(n)}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n.
> >
> das würde ja heißen das sie ebenfalls durch 0 beschränkt
> ist.
Nein, das würde es nicht heißen. Es könnte z.B. auch eine alternierende Nullfolge sein.
> > Fall 2: es gelte (*) genau für [mm]n_1,..., n_k \in \IN.[/mm]
>
> >
> > Sei [mm]M:=\{n_1,...,n_k\}.[/mm]
> >
> > Zu zeigen ist: [mm]|a_{p(n)}| \ge \varepsilon[/mm] für nur endlich
> > viele n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]|a_{p(n)}| \ge \varepsilon \gdw[/mm] p(n) [mm]\in[/mm] M
> >
> > Nun gib Du eine eine endliche Menge M' [mm]\subseteq \IN[/mm] an
> > mit:
> >
> > [mm]|a_{p(n)}| \ge \varepsilon \gdw[/mm] n [mm]\in[/mm] M'.
> >
>
> reicht es nicht hier die Menge der natürliche Zahlen
> anzugeben? diese ist doch endlich
Das wäre ja das Neuste. Seit wann ist die Kardinalität von [mm] \IN [/mm] denn mit einer endlichen Zahl anzugeben?
Mit anderen Worten: völliger Unsinn.
Denk nochmal drüber nach.
Grüße
reverend
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naja die natürlichen Zahlen sind doch abzählbar.
okay dann wäre mein Vorschlag:
M [mm] {k_{1},..., K_{n-1}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mo 09.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> naja die natürlichen Zahlen sind doch abzählbar.
> okay dann wäre mein Vorschlag:
> M [mm]{k_{1},..., K_{n-1}}[/mm]
Was soll das ??????
Ich schlage vor, ein Bier trinken zu gehen !
FRED
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naja das hilft mir ja jetzt auch nicht weiter.. :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] kannst du auch hier verwenden, wenn du möchtest.
[mm] $a_n$ [/mm] ist Nullfolge, also gibt es für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] sodass [mm] |a_n|<\varepsilon [/mm] für alle $n>N$ gilt.
Nun schau dir [mm] a_{P(n)} [/mm] an. Mach dir Folgendes klar: an einem bestimmen [mm] $N'\in\IN$ [/mm] muss $P(n)>N$ gelten (für alle $n>N'$). Also spuckt $P$ ab diesem $N'$ nur noch Werte aus, die größer als $N$ sind. Warum gilt das und was heißt das für [mm] |a_{P(n)}| [/mm] (für alle $n>N'$)?
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> Hi!
>
> Das [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium kannst du auch hier verwenden,
> wenn du möchtest.
>
> [mm]a_n[/mm] ist Nullfolge, also gibt es für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> [mm]N\in\IN[/mm] sodass [mm]|a_n|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>N[/mm] gilt.
>
> Nun schau dir [mm]a_{P(n)}[/mm] an. Mach dir Folgendes klar: an
> einem bestimmen [mm]N'\in\IN[/mm] muss [mm]P(n)>N[/mm] gelten (für alle
> [mm]n>N'[/mm]).
Wie kommst du denn darauf? Liegt das daran, das P(n) die Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist und daher hrößer als N ist?
Also spuckt [mm]P[/mm] ab diesem [mm]N'[/mm] nur noch Werte aus, die
> größer als [mm]N[/mm] sind. Warum gilt das und was heißt das für
> [mm]|a_{P(n)}|[/mm] (für alle [mm]n>N'[/mm])? da stehe ich grade am Schlauch. was meinst du damit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:55 Di 10.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Nein, $P$ ist deine bijektive Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN [/mm] (Permutation)!
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