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Forum "Folgen und Reihen" - Nullfolge Beweis
Nullfolge Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nullfolge Beweis: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 Mi 11.11.2009
Autor: Mathegirl

Aufgabe
Es sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge mit [mm] x_n>0 [/mm] für alle [mm] n\in \IN. [/mm] Zeige, dass [mm] (\bruch{1}{x_n}) [/mm] genau dann eine Nullfolge ist, wenn es zu jeden K>0 ein [mm] n_0\in \IN [/mm] gibt mit [mm] x_n>K [/mm] für alle [mm] n\ge n_o. [/mm]

Muss ich jetzt hier einen Beweis für eine Nullfolge vornehmen oder wie funktioniert das? Ich weiß nicht so recht wie man sowas beweist. Mit Beweisen tue ich mich sowieso recht schwer.. :(

und was ist hierbei K?


Mathegirl

        
Bezug
Nullfolge Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Mi 11.11.2009
Autor: Teufel

Hi!

Nein, aber du musst wissen, was es auf [mm] "\varepsilon-Ebene" [/mm] bedeutet, wenn [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.

Wenn denn [mm] a_n [/mm] Nullfolge ist, heißt das: Es existiert ein [mm] n_0 [/mm] mit [mm] $|a_n|<\varepsilon$ $\forall n>n_0$. [/mm]

Nun ist [mm] a_n=\bruch{1}{x_n} [/mm] in deinem Fall.

Also: Es existiert ein [mm] n_0 [/mm] mit [mm] $|\bruch{1}{x_n}|=\bruch{1}{x_n}<\varepsilon$ $\forall n>n_0$. [/mm]
Daraus sollst du unter anderem schließen, dass dann [mm] x_n>K [/mm] ist, wobei du das K selber bestimmen musst.

Mein Tipp: Stelle [mm] \bruch{1}{x_n} <\varepsilon [/mm] mal nach [mm] x_n [/mm] um und schau, was du für ein K nehmen könntest.

[anon] Teufel

Bezug
                
Bezug
Nullfolge Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:05 Do 12.11.2009
Autor: Mathegirl


  
Also: Es existiert ein [mm]n_0[/mm] mit
[mm]|\bruch{1}{x_n}|=\bruch{1}{x_n}<\varepsilon[/mm]  [mm]\forall n>n_0[/mm].

[mm] \bruch{1}{x_n}<\varepsilon [/mm]
[mm] \bruch{1}{\varepsilon}< x_n [/mm]
[mm] \bruch{1}{x_n}< \bruch{1}{x_0}< \varepsilon [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Nullfolge Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 Do 12.11.2009
Autor: Teufel


>
>
> Also: Es existiert ein [mm]n_0[/mm] mit
> [mm]|\bruch{1}{x_n}|=\bruch{1}{x_n}<\varepsilon[/mm]  [mm]\forall n>n_0[/mm].
>  
> [mm]\bruch{1}{x_n}<\varepsilon[/mm]
>  [mm]\bruch{1}{\varepsilon}< x_n[/mm]

Bis hierhin!
Nun kannst du [mm] K:=\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] setzen!

Und den Beweis dann schön aufgeschrieben:

[mm] \exists n_0 \in \IN: \bruch{1}{x_n}<\varepsilon \forall n>n_0 \gdw \exists n_0 \in \IN: K:=\bruch{1}{\varepsilon}n_0 [/mm]

Damit hast du gleich beide Richtungen gezeigt, die du zeigen solltest.
[mm] \bruch{1}{x_n} [/mm] Nullfolge [mm] \Rightarrow x_n>K [/mm]
und
[mm] x_n>K \Rightarrow \bruch{1}{x_n} [/mm] Nullfolge.

Da du ja zwischendurch auch nur Äquivalenzumformungen verwendet hast.

[anon] Teufel

Bezug
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