Nullfolge nachweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 26.04.2010 | | Autor: | sys1980s |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{k=m}^{\infty} \wurzel{k} [/mm] - [mm] \wurzel{k-1} [/mm] gilt. |
Hallo Forum,
das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe ist ja, dass die zugrundeliegende Folge Nullfolge ist. Dabei komme ich ja leicht auf [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] . Also nichts, was wirklich weiterhilft. Demnach soll ich L'HOSPITAL anwenden. Habe da insbesondere folgendes probiert:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{\wurzel{k-1}} - \bruch{1}{\wurzel{k}}}{\bruch{1}{\wurzel{k-1}*\wurzel{k}}}
[/mm]
Nur bei all der Ableiterei wird es immer komplizierter, ohne zu einem Ergebnis zu führen. Hat jemand evtl. noch einen anderen Tipp für mich?
sys1980
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sys1980s,
> Zeigen Sie, dass das notwendige Kriterium für die
> Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{k=m}^{\infty}\wurzel{k}[/mm] - [mm]\wurzel{k-1}[/mm] gilt.
> Hallo Forum,
>
> das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe ist
> ja, dass die zugrundeliegende Folge Nullfolge ist. Dabei
> komme ich ja leicht auf [mm]\infty[/mm] - [mm]\infty[/mm] . Also nichts, was
> wirklich weiterhilft. Demnach soll ich L'HOSPITAL anwenden.
?? Du hast doch überhaupt keinen Quotienten vorliegen ...
Schaue dir unbedingt mal an, wie die Voraussetzungen für die Regel von de l'Hôpital lauten, wann du das also anwenden darfst!
> Habe da insbesondere folgendes probiert:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{\wurzel{k-1}} - \bruch{1}{\wurzel{k}}}{\bruch{1}{\wurzel{k-1}*\wurzel{k}}}[/mm]
>
> Nur bei all der Ableiterei wird es immer komplizierter,
> ohne zu einem Ergebnis zu führen. Hat jemand evtl. noch
> einen anderen Tipp für mich?
Ja, elementare Schulmathematik.
Ein "Trick", den es sich lohnt zu merken, da er immer wieder vorkommt und der sehr nützlich ist, um Summen und Differenzen von Wurzeln loszuwerden, ist, so zu erweitern, dass du die 3.binomische Formel bekommst.
Hier erweitere also mit [mm] $\sqrt{k}\red{+}\sqrt{k-1}$, [/mm] das gibt:
[mm] $\sqrt{k}-\sqrt{k-1}=\frac{(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})\cdot{}(\sqrt{k}\red{+}\sqrt{k-1})}{\sqrt{k}\red{+}\sqrt{k-1}}$
[/mm]
Das vereinfache mal und schaue, was für [mm] $k\to\infty$ [/mm] passiert...
> sys1980
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Di 27.04.2010 | | Autor: | sys1980s |
Vielen Dank! Das war ja einfach. Manchmal muss man eben einfach einfach denken.
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