Nullhomomorphismus zu Zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Di 21.05.2013 | | Autor: | edding |
| Aufgabe | | es sei f: [mm] (S_3, [/mm] °) --> [mm] (R_3, \oplus) [/mm] ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass f dann der Nullhomomorphismus sein muss, d.h. dass [mm] f(\pi) [/mm] = 0 für alle [mm] \pi [/mm] element aus [mm] S_3 [/mm] gilt. |
guten tag liebe leute.
es gibt ja für [mm] \pi_1 [/mm] 0, für [mm] \pi_{2,3} [/mm] 2 und für [mm] \pi_{5,6} [/mm] 1 transposition (also bspw. für [mm] \pi_2 [/mm] (12)(23))
hmm.. [mm] R_3 [/mm] hat die elemente {0,1,2}
jetzt komm ich irgendwie nicht so richtig weiter.. wie finde ich [mm] f(\pi] [/mm] ?
darf ich sagen, dass [mm] f(\pi) [/mm] --> [mm] \left\{\begin{matrix} 0, & \mbox {falls anz. d. transpositionen gerade} \\
1, & \mbox {ungerade} \end{matrix}\right.
[/mm]
danke für die hilfe
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moin,
Dein $f$ soll nicht irgend eine Abbildung sein, sondern ein Gruppenhomomorphismus.
Deine Idee liefert zwar eine Abbildung, aber diese ist kein Gruppenhomomorphismus...
Ich nehme mal an mit [mm] $R_3$ [/mm] ist die zyklische Gruppe mit drei Elementen gemeint?
Nehmen wir uns mal eine beliebige Transposition [mm] $\tau \in S_3$ [/mm] und sei [mm] $f(\tau)=a \in R_3$. [/mm] Da [mm] $\tau^2 [/mm] = id$ das neutrale Element der [mm] $S_3$ [/mm] ist, muss $0=f(id) = [mm] f(\tau^2) [/mm] = [mm] f(\tau)+f(\tau) [/mm] = 2a$ gelten. Damit muss aber $a = 0$ sein.
Also wissen wir, dass alle Transpositionen auf 0 gehen.
Kannst du daraus folgern, dass wirklich alles auf 0 geht?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 21.05.2013 | | Autor: | edding |
nein.. mit [mm] R_3 [/mm] ist die Restklasse gemeint.
und die hat ja, wie erwähnt die elemente {0,1,2}
geht meine idee jetzt? xD
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> nein.. mit [mm]R_3[/mm] ist die Restklasse gemeint.
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> und die hat ja, wie erwähnt die elemente {0,1,2}
>
> geht meine idee jetzt? xD
Die Restklasse?
Bezüglich welcher Relation, was für eine Retklasse?
Meinst du [mm] $\IZ/3\IZ$?
[/mm]
Also meinst du die ganzen Zahlen modulo 3 gerechnet; und das als Gruppe mit der Addition?
Oder meinst du was ganz anderes? Wenn ja gibt mal die genaue Definition von [mm] $R_3$ [/mm] (zB durch eine Verknüpfungstafel), denn einfach nur [mm] $\{0,1,2\}$ [/mm] bringt nicht sonderlich viel, wenn man nicht weiß, wie die Summe definiert ist.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Di 21.05.2013 | | Autor: | edding |
hierbei bezeichnet [mm] R_n [/mm] (c) den eindeutig bestimmten rest, der bei Division von c durch n entsteht.
also z B [mm] R_3 [/mm] (1) kann man sagen 1 [mm] \oplus [/mm] 1=1, 1 [mm] \oplus [/mm] 1 [mm] \oplus [/mm] 1 = 0.
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Ok, dann ist das die Gruppe, die ich meinte.^^
Guck dir also meinen obigen Hinweis an: Eine Transposition kann nur auf 0 abgebildet werden; kann dann überhaupt irgend etwas auf einen Wert [mm] $\neq [/mm] 0$ gehen?
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