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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 So 11.01.2009 | | Autor: | juel |
| Aufgabe | A1) Geben zwei Matrizen A und B an, deren Produkte die
Nullmatrix ist, die
aber beide keine Nullmatrizen sind.
A2) Bestimmen Sie zwei [mm] 3\times3 [/mm] Matrizen (nicht die Einheitsmatrizen),
deren Produkt die [mm] 3\times3 [/mm] Einheitsmatrix ist. |
Hallo Zusammen
zu A1)
..glaube ich zu wissen wie man das rechnent , aber erklären und benennen kann ich es nicht. Könnte mir das jemand eklären?
bewiesen habe ich das so: zB. ist Matrix A= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
ich habe die Zeilen und Spalten durch das Wegstreichen vertauscht, ich glaube die Regel heißt ''Laplacescher Entwicklungssatz'', weiß nicht genau.
Auf jeden Fall kam bei mir für B= [mm] \pmat{ 4 & -3 \\ -2 & 1 } [/mm] heraus
und wenn ich dann A und B Matrizen multipliziere bekomme ich eine 0-Matrix raus.
Kann mir das jemand genau erklären, hab das nämlich durch ausprobieren heraus gefunden.
zu A2)
wenn A [mm] \* [/mm] E = A
dann ist [mm] A^{-1} \* [/mm] A = E
wenn ich aber mit Zahlen nach dieser Formel rechne bekomme ich keine Einheitsmatrix heraus. Stimmt die zweite Formel überhaupt.
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 So 11.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> A1) Geben zwei Matrizen A und B an, deren Produkte die
> Nullmatrix ist, die
> aber beide keine Nullmatrizen sind.
>
> A2) Bestimmen Sie zwei [mm]3\times3[/mm] Matrizen (nicht die
> Einheitsmatrizen),
> deren Produkt die [mm]3\times3[/mm] Einheitsmatrix ist.
>
> Hallo Zusammen
>
> zu A1)
>
> ..glaube ich zu wissen wie man das rechnent , aber erklären
> und benennen kann ich es nicht. Könnte mir das jemand
> eklären?
>
> bewiesen habe ich das so: zB. ist Matrix A= [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]
>
> ich habe die Zeilen und Spalten durch das Wegstreichen
> vertauscht, ich glaube die Regel heißt ''Laplacescher
> Entwicklungssatz'', weiß nicht genau.
>
> Auf jeden Fall kam bei mir für B= [mm]\pmat{ 4 & -3 \\ -2 & 1 }[/mm]
> heraus
>
> und wenn ich dann A und B Matrizen multipliziere bekomme
> ich eine 0-Matrix raus.
>
> Kann mir das jemand genau erklären, hab das nämlich durch
> ausprobieren heraus gefunden.
>
Das reicht doch. Es gibt solche Matrizen. Und ein "Modell" hast du ja mitgegeben.
>
> zu A2)
> wenn A [mm]\*[/mm] E = A
>
> dann ist [mm]A^{-1} \*[/mm] A = E
Sofern man [mm] A^{-1} [/mm] überhaupt ermitteln kann gilt [B]immer[/B]
[mm] A^{-1}*A=E
[/mm]
>
> wenn ich aber mit Zahlen nach dieser Formel rechne bekomme
> ich keine Einheitsmatrix heraus. Stimmt die zweite Formel
> überhaupt.
>
>
> Danke im Voraus
>
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 So 11.01.2009 | | Autor: | juel |
die Aufgabe 1 stimmt nicht, habs grad für eine andere Matrix ausgerechnen und da kam keine Nullmatrix als Ergebnis.
hier:
A = [mm] \pmat{ 2 & 6 \\ 4 & 3 }
[/mm]
Invertiert => kommt raus B = [mm] \pmat{ 3 & -4 \\ -6 & 2 }
[/mm]
A und B Matrizen multipliziert , kommt keine Nullmatrix heraus (das, was ich eigentlich haben möchte), sondern
[mm] \pmat{ -30 & 4 \\ -6 & -10 }
[/mm]
wie rechne ich jetzt die Nullmatrix aus???
Kann mir bitte jemand helfen?
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zu A1)
Nehmen wir erst einmal an, wir haben zwei Matrizen A,B, die beide nicht die Nullmatrix O sind. Können sie invertierbar sein?
Wenn [mm] A^{-1} [/mm] existiert, dann folgt aus [mm] A\times \a{}B=O \Rightarrow A^{-1}\times A\times B=A^{-1}\times \a{}O \Rightarrow \a{}B=O. [/mm] Widerspruch.
Ebenso für [mm] A\times B\times B^{-1}
[/mm]
Das ist doch schonmal ein Hinweis. Die Matrizen sind beide nicht invertierbar.
Konstruieren wir also einfache Matrizen, deren Determinante 0 ist. Wegen der Definition der Matrizenmultiplikation am besten erst einmal so, dass [mm] a_{1,1} [/mm] der Ergebnismatrix 0 wird:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ?} \times \pmat{ 2 & ? & ? \\ 2 & ? & ? \\ -2 & ? & ? }= \pmat{ 0 & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? }
[/mm]
In der linken Matrix fügen wir nun linear abhängige Zeilen hinzu:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9} \times \pmat{ 2 & ? & ? \\ 2 & ? & ? \\ -2 & ? & ? }= \pmat{ 0 & ? & ? \\ 0 & ? & ? \\ 0 & ? & ? }
[/mm]
... und in der rechten Matrix linear abhängige Spalten:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9} \times \pmat{ 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 4 \\ -2 & 1 & -4 }= \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Das funktioniert natürlich auch mit nicht-quadratischen Matrizen.
zu A2)
Nimm eine invertierbare Matrix, z.B. [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2}
[/mm]
Diese hier hat die Determinante 1, das ist ganz praktisch...
Bestimme die Inverse (zur Kontrolle: sie enthält zweimal die 0, zweimal die 1, einmal die 3, und viermal die -1).
Dann bist Du doch schon fertig.
Vielleicht hilft Dir auch dieser ![[]](/images/popup.gif) Matrizenrechner, aber Du solltest ihn erst benutzen, wenn Du die Rechnungen (incl. der Inversen!) tatsächlich auch "zu Fuß" beherrschst.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 So 11.01.2009 | | Autor: | juel |
hallo
danke für die Antwort, die Aufgabe 2 kann ich mitlerweile, habe ein paar Aufgaben gerechnent. Mir ist nur die 1. Aufgabe noch nicht ganz klar.
> Konstruieren wir also einfache Matrizen, deren Determinante
> 0 ist. Wegen der Definition der Matrizenmultiplikation am
> besten erst einmal so, dass [mm]a_{1,1}[/mm] der Ergebnismatrix 0
> wird:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ?} \times \pmat{ 2 & ? & ? \\ 2 & ? & ? \\ -2 & ? & ? }= \pmat{ 0 & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? }[/mm]
>
> In der linken Matrix fügen wir nun linear abhängige Zeilen
> hinzu:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9} \times \pmat{ 2 & ? & ? \\ 2 & ? & ? \\ -2 & ? & ? }= \pmat{ 0 & ? & ? \\ 0 & ? & ? \\ 0 & ? & ? }[/mm]
>
> ... und in der rechten Matrix linear abhängige Spalten:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9} \times \pmat{ 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 4 \\ -2 & 1 & -4 }= \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Woher weiß ich welche Zahlen ich in den zwei Matrizen einsetzen soll um eine 0-Matrix heraus zu bekommen???
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Das habe ich doch recht detailliert geschrieben, oder?
Wie Du zum ersten, beliebig gegriffenen Zeilenvektor der linken Matrix, hier bei mir einfach (1 2 3), einen Spaltenvektor für die rechte Matrix findest, der die Bedingung erfüllt, ist doch ein einfaches Problem der Vektorrechnung: finde zu einem gegebenen [mm] \vec{s} [/mm] ein [mm] \vec{z}, [/mm] so dass [mm] \vec{s}\cdot\vec{z}=0 [/mm] ist.
Bei so kleinen Zahlen wie meinen geht das aber meist ohne lange Rechnung. Wähle sie einfach übersichtlich.
z.B. (1 4 3) [mm] \rightarrow [/mm] da könnte man mal versuchsweise die 4 mit 2 multiplizieren und davon so 3 mal die 3 abziehen, dann muss man ja nur noch die 1 mit einem passenden Faktor versehen. Oder man könnte erst die 3 mit 5 multiplizieren und davon 3 mal die 4 abziehen und dann wieder die 1 zum Ausgleich benutzen oder ... oder ... oder ...
lg,
rev
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