Nullmenge in Sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Di 17.11.2009 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\mathfrak{B}\subset \mathfrak{P}(S)$ [/mm] ein Ring über $S$, [mm] $\mu:\mathfrak{B}\to[0,\infty]$ [/mm] sei ein additives Maß. Des Weiteren sei [mm] $N\subset [/mm] S $ eine Nullmenge. Dann gibt es eine Nullmenge $M [mm] \in \sigma(\mathfrak{B})$ [/mm] mit [mm] $N\subset [/mm] M$. |
Hallo,
zu dieser Aufgabe benötige ich eure Hilfe.
Ich weiß, dass für eine Nullmenge $N$ folgendes gelten muss: [mm] $\mu^\*(N)=0$, [/mm] d.h. dass das äußere Maß auf dieser Nullmenge verschwindet.
Mein Verständnisproblem beruht vor allem darauf, dass ich nicht weiß, wie ich mir [mm] $\sigma(\mathfrak{B})$ [/mm] vorstellen soll bzw. wie man diese Sigma-Algebra aus dem Ring [mm] $\mathfrak [/mm] B$, der ja auch nicht genauer angegeben ist, konstruiert.
Es wäre schön, wenn ihr mir ein paar Tipps bzw. Anregungen geben würdet.
Beste Grüße,
Fabi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:39 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Fabi!
> Sei [mm]\mathfrak{B}\subset \mathfrak{P}(S)[/mm] ein Ring über [mm]S[/mm],
> [mm]\mu:\mathfrak{B}\to[0,\infty][/mm] sei ein additives Maß. Des
> Weiteren sei [mm]N\subset S[/mm] eine Nullmenge. Dann gibt es eine
> Nullmenge [mm]M \in \sigma(\mathfrak{B})[/mm] mit [mm]N\subset M[/mm].
>
> zu dieser Aufgabe benötige ich eure Hilfe.
> Ich weiß, dass für eine Nullmenge [mm]N[/mm] folgendes gelten
> muss: [mm]\mu^\*(N)=0[/mm], d.h. dass das äußere Maß auf dieser
> Nullmenge verschwindet.
> Mein Verständnisproblem beruht vor allem darauf, dass ich
> nicht weiß, wie ich mir [mm]\sigma(\mathfrak{B})[/mm] vorstellen
> soll bzw. wie man diese Sigma-Algebra aus dem Ring
> [mm]\mathfrak B[/mm], der ja auch nicht genauer angegeben ist,
> konstruiert.
So genau brauchst du [mm] $\sigma(\mathfrak{B})$ [/mm] nicht zu kennen; du musst nur wissen, dass abzaehlbare Durchschnitte und Vereinigungen von Mengen in [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] in [mm] $\sigma(\mathfrak{B})$ [/mm] liegen.
Konstruiere eine Folge von Mengen [mm] $M_n \in \sigma(\mathfrak{B})$ [/mm] mit $N [mm] \subseteq M_n$ [/mm] mit [mm] $\mu(M_n) \le \frac{1}{n}$. [/mm] Dazu brauchst du die Definition von [mm] $\mu^\ast$ [/mm] und [mm] $\mu^\ast(N) [/mm] = 0$.
Zeige damit, dass $M := [mm] \bigcap_{n\in\IN} M_n \in \sigma(\mathfrak{B})$ [/mm] eine Nullmenge ist mit $N [mm] \subseteq [/mm] M$.
LG Felix
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