Nullmengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 So 04.07.2004 | | Autor: | Sandra |
Hallo!
Kann mir jemand vielleicht erklären, wie eine Nullmenge ( in Ana II) genau definiert ist bzw. was ich mir darunter vorstellen muss / kann?!
Vielen Dank!
Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 So 04.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi Sandra
eine nullmenge ist einfach eine menge, die von einem maß den wert 0 zugeordnet bekommt. folglich ist die antwort auch stark abhängig von dem raum den man betrachtet und dem maß darauf.
ich nehme mal an, dass dich das insbesondere für das lebesgue-maß auf den reellen zahlen, also dem maßraum [m] (\mathbb{R}, \overline{\mathcal{B}}, \overline{\lambda}) [/m] interessiert.
hier sind z.b einpunktige mengen nullmengen, oder auch beliebige abzählbare mengen, da diese natürlich als abzählbare vereinigung von nullmengen dargestellt werden können und jedes maß [m] \sigma [/m]-additiv ist. also wenn [m] q_r [/m] eine (disjunkte) abzählung der menge [m] Q = \bigcup_{r=1}^\infty \{q_r\}[/m] ist, gilt [m] \displaystyle{ \overline{\lambda}(Q) = \overline{\lambda} \left( \bigcup_{r=1}^\infty \{q_r\} \right) = \sum_{r=1}^\infty \overline{\lambda}(\{q_r\}) = \sum_{r=1}^\infty 0 = 0 }[/m]
damit ist z.b. auch die menge aller rationalen punkte eine nullmenge. es gibt aber auch überabzählbare menegen, die nullmenegen sind, so zum beispiel die cantor-menge.
vielleicht kannst du mit diesen informationen schon was anfangen, sonst melde dich nochmal
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 So 04.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Sandra, lieber Andreas!
Die Antwort von Andreas ist nicht ganz korrekt. Es gibt auch Nullmengen, denen nicht das Maß $0$ zugeordnet werden kann, und zwar einfach deswegen, weil sie nicht messbar sind.
Eine Nullmenge ist also die Teilmenge einer Menge, der das Maß $0$ zugeordnet wird. (Damit sind insbesondere beliebige Teilmengen von Nullmenge wieder Nullmengen.)
Die Unterscheidung ist wichtig! Ansonsten würde das Konzept der Nullmengen und Augmentation, also Vervollständigung eines Maßes, auch keinen Sinn machen! Man bildet dort nämlich die kleineste Sigma-Algebra, die alle messbaren Mengen und alle Nullmengen enthält. Auf diese Weise kann man sagen: Wenn eine messbare Funktion $f$ fast überall eine Eigenschaft erfüllt und $g$ ist fast überall gleich $f$, dann erfüllt natürlich auch $g$ fast überall diese Eigenschaft. Wenn man nun die Sigma-Algebra vorher augmentiert hat (also die Nullmengen hinzugenommen hat), dann ist aber $g$ sogar auch messbar. Das kann bei technischen Beweisen sehr wichtig sein.
Also, die einfache Erklärung, $M$ ist eine [mm] $\mu$-Nullmenge, [/mm] wenn [mm] $\mu(M)=0$ [/mm] gilt, ist zwar naheliegend, aber im Allgemeinen schlichtweg falsch.
Stattdessen gilt: $M$ ist eine [mm] $\mu$-Nullmenge, [/mm] wenn es eine messbare Menge $N$ gibt mit $M [mm] \subset [/mm] N$ und [mm] $\mu(N)=0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 So 04.07.2004 | | Autor: | andreas |
hallo stefan und Sandra
ich weiß nicht wie einheitlich oder verbreitet dieses konzept ist, aber bei uns wurde das lebesgue-maß konstruiert, in dem man das lebesgue-borel-maß (also die fortsetzung des elemnetargeometrischen inhaltes auf die borel-sima-algebra) vervollständigt hat. folglich waren im maßraum [m] (\mathbb{R}, \overline{\mathcal{B}}_\lambda, \overline{\lambda}) [/m] auch alle teilmenegen von nullmengen in der sigma-algebra enthalten und hatten natürlich das maß null zugesprochen bekommen (dabei soll [m] \overline{\mathcal{B}}_\lambda [/m] die vervollständigung von [m] \mathcal{B} [/m] - der borel-sigma-algebra - bezüglich des maßes [m] \lambda [/m] und [m] \overline{\lambda} [/m] das entsprechende maß auf der wervollständigten sigam-algebra sein).
der begriff [m]\mu[/m]-nullmengen wurde bei uns auch tatsächlich so definiert, dass [m] A \; \mu[/m]-nullmenge ist [m] \Longleftrightarrow \; \mu(A) = 0 [/m].
naja anscheinend ist dieser ansatz wohl nicht so verbreitet. habe ich dann auch mal wieder was neues gelernt.
grüße andreas
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