Nullpunkt stetig'? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:[-1;+1] \to \mathbb R [/mm] sei beschränkt auf [-1;1]. Zeigen Sie bitte, dass die Funktion
[mm] g:[-1;+1] \ni x \mapsto f(x)*x \in \mathbb R [/mm]
im Nullpunkt stetig ist. |
Hallo liebe Community,
also irgendwie versteh ich das nicht so ganz - wie ich [mm] f [/mm] zu verstehen habe. Mir ist zwar die Aufgabenstellung (also was gemacht werden soll ) klar.
Ich möchte mithilfe des Folgenkriteriums Zeigen dass [mm] g [/mm] im Nullpunkt stetig ist.
Also:
Für jede Folge [mm] (x_n)_{ n \in \mathbb N } [/mm] die Element von [mm] [-1;+1] [/mm] ist, und gegen den Nullpunkt konvergiert, also eine Nullfolge ist:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = 0 \in [-1;+1] [/mm]
So können wir die Folge [mm] x_n [/mm] als [mm] x_n= \pm \frac{1}{n} \in [-1; +1] [/mm] schreiben.
Und bilden die Folge der Funktion [mm] (g(x_n))_{n \in \mathbb N} [/mm] sodass diese gegen g(0) konvergiert. Also gegen [mm] g(0)= f(0)*0= 0 [/mm].
Also schreiben wir:
[mm] g(0) = f(x_n) * x_n [/mm]
Und betrachten den links bzw. rechtsseitigen Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 0=f(+\frac{1}{n}) * (+\frac{1}{n}) [/mm]
Durch die Rechenregeln erhalten wir [mm] 0=a* \limes_{n\rightarrow\infty}(+\frac{1}{n}) [/mm] und weiter [mm] 0=a*0 = 0[/mm]
Nun den linksseitigen Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 0=f(- \frac{1}{n}) * (-\frac{1}{n}) [/mm]
Durch die Rechenregeln erhalten wir [mm] 0=b* \limes_{n\rightarrow\infty}(-\frac{1}{n}) [/mm] und weiter [mm] 0=b*0 = 0 [/mm]
Somit ist nach dem Folgenkriterium die Funktion g stetig im Nullpunkt.
Wäre das so richtig?
Lg
|
|
| |
|
Hiho,
deine Idee ist in Ordnung, enthält aber noch einige (schwerwiegende) Fehler.
> So können wir die Folge [mm]x_n[/mm] als [mm]x_n= \pm \frac{1}{n} \in [-1; +1][/mm] schreiben.
Warum sollte das gehen? Die Aussage ist schlichtweg falsch.
Zeige mir mal bitte, wie du bspw die Folge [mm] $\bruch{\sqrt[n]{n}}{\left(1+\bruch{7}{n}\right)^n}\bruch{n^n}{n!}$ [/mm] so schreiben möchtest.
> Und bilden die Folge der Funktion [mm](g(x_n))_{n \in \mathbb N}[/mm]
> sodass diese gegen g(0) konvergiert. Also gegen [mm]g(0)= f(0)*0= 0 [/mm].
Korrekt.
> Also schreiben wir:
>
> [mm]g(0) = f(x_n) * x_n [/mm]
Hahnebüchener Unsinn, warum sollte diese Gleichheit gelten.
Es ist zu zeigen: [mm] $\lim_{x_n\to 0} f(x_n) [/mm] * [mm] x_n [/mm] = g(0) = 0$
> Und betrachten den links bzw. rechtsseitigen Grenzwert:
Kannst du machen, brauchst du aber gar nicht, du kannst den Grenzwert direkt berechnen.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 0=f(+\frac{1}{n}) * (+\frac{1}{n})[/mm]
> Durch die Rechenregeln erhalten wir [mm]0=a* \limes_{n\rightarrow\infty}(+\frac{1}{n})[/mm] und weiter [mm]0=a*0 = 0[/mm]
In der Aufgabenstellung steht nirgends, dass der linksseitige oder rechtsseitige Grenzwert von f an der Stelle 0 überhaupt existiert.
Dein a oder b muss also gar nicht existieren.
Das tolle ist: Muss er auch gar nicht!
Du hast auch noch nirgends die Beschränktheit von f verwendet, das wäre für dich schonmal ein Indiz dafür, dass du was verkehrt gemacht hast.
Tipp: Verwende die Beschränktheit von f und die bekannte Tatsache, dass für Folgen gilt: [mm] $a_n \to 0\; \gdw \; |a_n| \to [/mm] 0$
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:13 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Es gibt ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit |f(x)| [mm] \le [/mm] c für alle x [mm] \in [/mm] [-1,1]. Damit ist
|g(x)| [mm] \le [/mm] c|x| für alle x [mm] \in [/mm] [-1,1].
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Di 14.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Boasti,
nur mal nebenbei:
> Die Funktion [mm]f:[-1;+1] \to \mathbb R[/mm] sei beschränkt auf
> [-1;1]. Zeigen Sie bitte, dass die Funktion
> [mm]g:[-1;+1] \ni x \mapsto f(x)*x \in \mathbb R[/mm]
es würde folgendes reichen: Sei $0 [mm] \in [/mm] D$ und $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] sei beschränkt.
Ist $g [mm] \colon D_g \to \IR$ [/mm] mit [mm] $D_g \subseteq [/mm] D$ und $0 [mm] \in [/mm] D$ definiert durch
[mm] $g(x):=x*f(x)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in D_g,$
[/mm]
dann ist [mm] $g\,$ [/mm] stetig in [mm] $0\,.$
[/mm]
Das kann man mit Freds Ungleichung vollkommen analog einsehen.
P.S. In dieser Formulierung sollte man vielleicht eine Fallunterscheidung
machen, ob [mm] $0\,$ [/mm] Häufungspunkt von [mm] $D_g$ [/mm] ist oder nicht - wobei man sowieso
weiß, dass Funktionen in allen Punkten ihres Definitionsbereichs, die isoliert
liegen, stetig sind (den Beweis dazu kann man schnell hinschreiben).
P.P.S. Oben sollte man hier vielleicht noch $D [mm] \subseteq \IC$ [/mm] (oder nur $D [mm] \subseteq \IR$) [/mm] fordern.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Boastii |
Hey, danke erst mal für Eure Antworten.
Also zuerst habe ich meine Fehler nun verstanden.
Aber dennoch verstehe ich nicht ganz worauf Du (Marcel) hinaus willst, oder was mir das sagt.
Könntest du mir das noch ein bisschen erklären?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Boasti,
> Hey, danke erst mal für Eure Antworten.
>
> Also zuerst habe ich meine Fehler nun verstanden.
> Aber dennoch verstehe ich nicht ganz worauf Du (Marcel)
> hinaus willst, oder was mir das sagt.
>
> Könntest du mir das noch ein bisschen erklären?
naja, ich habe die Voraussetzungen "des Satzes" auf "Wesentliche(re)s"
reduziert - das sollte normalerweise helfen, zu sehen, was eigentlich beim
Beweis der Aussage "benutzt werden soll".
Ich finde es z.B. unnötig, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf dem doch wirklich speziellen Intervall
[mm] $[-1,1]\,$ [/mm] definiert ist - wenn Du Freds Hinweis anguckst, wirst Du sehen,
dass man das eigentlich an keiner einzigen Stelle wirklich braucht...
Ich wollte Dir sozusagen "nur die wichtigsten Informationen vorfiltern", die
Du zum Lösen der Aufgabe heranziehen solltest...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
