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| Aufgabe | | An welcher Stelle x{s} und unter welchem Winkel schneidet der Graph der Funktion f(x)= 2 sin(3x) die x-Achse im Intervall [o; [mm] \pi] [/mm] ? |
Hallo!
Ich brauche für einen Winkel die Nullstelle [mm] x_{s}... [/mm] nur leider weiß ich nicht wie ich f(x) nach x auflösen soll... weil mit der Stelle x:{s} kann ich dann den Winkel berechnen [mm] [x_{s} [/mm] ist eine NULLSTELLE;)]
müsste ja f(x)= 0 setzen => 0 = 2 sin(3x) ... nur wie löst man das jetzte nach x auf??? [die Lösung soll [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] sein]
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Hallo chaoslegend!
Zunächst einmal stellen wir um nach [mm] $\sin(...) [/mm] \ = \ 0$ :
[mm] $2*\sin(3x) [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\left| \ :2$
$\gdw$ $\sin(3x) \ = \ 0$
Nun sollten wir wissen, dass der Sinus eine periodische Funktion ist und damit unendlich viele Nullstellen.
Allgemein lassen diese sich darstellen als: $x_k \ = \ k*\pi$ mit $k \ \in \ \IZ$ .
$\Rightarrow$ $3x \ = \ k*\pi$
$\gdw$ $x_k \ = \ \bruch{k*\pi}{3}$
Nun müssen wie untersuchen, für welche (ganzen) Zahlen $k_$ auch wirklich in unserem Intervall liegen:
$k \ = \ 0$ $\Rightarrow$ $x_0 \ = \ \bruch{0*\pi}{3} \ = \ 0 \ \in \ \left[ \ 0 \ ; \ \pi \ \right]$ [ok]
$k \ = \ 1$ $\Rightarrow$ $x_1 \ = \ \bruch{1*\pi}{3} \ = \ \bruch{\pi}{3} \ \in \ \left[ \ 0 \ ; \ \pi \ \right]$ [ok]
$k \ = \ 2$ $\Rightarrow$ $x_2 \ = \ \bruch{2*\pi}{3} \ = \ \bruch{2}{3}\pi \ \in \ \left[ \ 0 \ ; \ \pi \ \right]$ [ok]
$k \ = \ 3$ $\Rightarrow$ $x_3 \ = \ \bruch{3*\pi}{3} \ = \ \pi \ \in \ \left[ \ 0 \ ; \ \pi \ \right]$ [ok]
$k \ = \ 4$ $\Rightarrow$ $x_4 \ = \ \bruch{4*\pi}{3} \ = \ \bruch{4}{3}\pi \ \not\in \ \left[ \ 0 \ ; \ \pi \ \right]$ [notok]
Es gibt also insgesamt vie Lösungen im angegebenen Intervall.
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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Und woher wüsste ich dann [wenn mir die antwort nicht gegeben währe], welche von den lösungen nun richtig ist? [also mit welcher ich weiterrechnen soll...]?
Zwar könnte ich das jetzt vom Bild sehen [was gegeben ist], aber das ist ja nur eine skizze...
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Tja leider geht das nicht so einfach, denn der Sinus ist eine periodische Funkion.
Wenn kein Intervall angegeben ist gibt es unendlich viele Lösungen.
$ [mm] \sin(x) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x = k [mm] *\pi [/mm] , k [mm] \in \IZ [/mm] $
so könntest dass dann angeben.
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danke, hab mittlerweile ne einfachere lösung gefunden^^
man nehme Substitution:D
also für 3x einfach z einsetzten und dann nach x = arcsin z auflösen, anschließend ausrechnen und rücksubstitution;)
trotzdem danke;)
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