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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Do 09.12.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo
kann mir jemand sagen ob folgender Statz richtig ist ?
Hat eine Funktion an einer Stelle x0 eine einfache Nullstelle , so kann
f´´ an dieser Stelle auch höchstens eine einfache Nullstelle haben.
Mir fällt es schwer eine Begründung zu formolieren , stehe mal wieder auf dem Schlauch.
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Hallo Tommy,
> kann mir jemand sagen ob folgender Statz richtig ist ?
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> Hat eine Funktion an einer Stelle x0 eine einfache
> Nullstelle , so kann
> f´´ an dieser Stelle auch höchstens eine einfache
> Nullstelle haben.
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> Mir fällt es schwer eine Begründung zu formolieren , stehe
> mal wieder auf dem Schlauch.
Mir fällt die Begründung auch schwer - weil es keine gibt.
Vielmehr ist der Satz nicht allgemein gültig, wie ein einfaches Gegenbeispiel zeigt:
[mm] $f(x)=(x-1)x^5$ \Rightarrow $f'(x)=x^4(6x-5)$ \Rightarrow $f''(x)=10x^3(3x-2)$
[/mm]
Die Nullstelle bei x=1 verschwindet also schon bei der 1. Ableitung!
Aber du warst ja vorsichtig: ... f´´ an dieser Stelle auch höchstens eine einfache
Nullstelle.
Die o.a. Funktion hat natürlich höchstens eine Nullstelle dort, denn das ist schon der Fall, wenn sie dort keine Nullstelle hat. Aber das ist keine besonders tolle Aussage. 
Anders gilt aber der Satz:
Hat eine Funktion an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] eine n-fache Nullstelle (n>3), dann hat die 1. Ableitung dort eine (n-1)-fache Nullstelle und die 2. Ableitung eine (n-2)-fache Nullstelle.
Am leichtesten zeigst du diesen Satz mit Hilfe von  Produkt- und Kettenregel.
p.s. wie bist du auf "deinen" Satz gekommen?
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