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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mi 24.01.2007 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | Gegeben: f(x)= [mm] x-ke^x
[/mm]
Frage: Für welche k-Werte haben die Funktionen f eine Nullstelle? |
=> [mm] x-ke^x=0
[/mm]
=> [mm] -ke^x=-x
[/mm]
=> [mm] -k=-\bruch{x}{e^x}
[/mm]
=> [mm] k=\bruch{x}{e^x}
[/mm]
Kann man das noch ergentwie vereinfachen?
Und für welche k-Werte haben denn die Funktionen eine Nullstelle?
MfG Splin
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Hi, splin,
> Gegeben: f(x)= [mm]x-ke^x[/mm]
> Frage: Für welche k-Werte haben die Funktionen f eine
> Nullstelle?
> => [mm]x-ke^x=0[/mm]
> => [mm]-ke^x=-x[/mm]
> => [mm]-k=-\bruch{x}{e^x}[/mm]
> => [mm]k=\bruch{x}{e^x}[/mm]
Ich glaub' fast, Du hast die Aufgabe ein wenig "unterschätzt"!
Die musst Du ganz anders angehen!
(1) Für k=0 hat die zugehörige Funktion trivialerweise eine Nullstelle (x=0)
(2) Fall k < 0:
Zunächst mal gilt hier:
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] f(x) = [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} [/mm] f(x) = [mm] +\infty
[/mm]
Wegen der Stetigkeit von f muss es demnach mindestens eine Nullstelle geben.
Nun bilden wir die Ableitung und sehen: f'(x) = 1 - [mm] k*e^{x} [/mm] > 0 für alle x.
Daher ist für k < 0 der zugehörige Funktionsgraph echt mon. wachsend.
Ergebnis: Es kann nur EINE Nullstelle geben!
(3) Der Fall k > 0 ist wesentlich schwieriger,
denn beide Grenzwerte sind [mm] -\infty.
[/mm]
Berechnen wir den Hochpunkt (das kannst Du sicher selbst!), so erhalten wir:
H(-ln(k) | -ln(k)-1)
Genau EINE Nullstelle (so war das doch gefragt - oder?!) hat diejenige Funktion, deren Hochpunkt auf der x-Achse liegt, also: [mm] y_{H} [/mm] = 0
Das ist - wie man leicht berechnet - der Fall für k = [mm] e^{-1}.
[/mm]
PS: Wenn's nur darum geht, ob' die Funktion ÜBERHAUPT Nullstelle(n) hat, kommt im 2. Fall 0 < k [mm] \le e^{-1} [/mm] raus!
mfG!
Zwerglein
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