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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Nullstelle von Funktionsschar
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Nullstelle von Funktionsschar: Nullstelle auf best. Intervall
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Mi 04.02.2009
Autor: weltio

Aufgabe
Begründen Sie, dass alle Funktionen [mm] f_{a}(t)=0,5t^3-1,5(a+1)t^2+6at+120 [/mm] mit a [mm] \ge 5\bruch{2}{9}, [/mm] t [mm] \in \IR [/mm] eine Nullstelle im Intervall [2;10] besitzen.

Mein Ansatz war, zuerst einmal die Nullstellen der Funktion [mm] f_{a}(x) [/mm] zu suchen und dann [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}... [/mm]
Einfacher gesagt als getan... Ich habe Maxima einmal gefragt...
Das war das Ergebnis: http://nopaste.com/p/aeqW5j7kk (Ergebnis von " [mm] solve([0.5*t^3-1.5*(a+1)*t^2+6*a*t+120=0],[/mm]  [t]);") - also quasi nicht verwertbar (theoretisch schon, aber es muss effizienter gehen).

Ich frage mich also, wie ich diese Aufgabe anders lösen soll.
Dass ich das am Graph(f)en sehe, steht ja außer Frage, aber eine Argumentation a la "Sieht man doch" missfällt mir sehr.


        
Bezug
Nullstelle von Funktionsschar: Funktionswerte berechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Mi 04.02.2009
Autor: Roadrunner

Hallo weltio!


Berechne mal die beiden Funktionswerte [mm] $f_a(2)$ [/mm] und [mm] $f_a(10)$ [/mm] . Was fällt Dir auf?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Nullstelle von Funktionsschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Mi 04.02.2009
Autor: weltio

Also ich habe
[mm] f_{a}(2)=6a+118 [/mm]
und
[mm] f_{a}(10)=470-90a [/mm]
heraus.
Was genau soll mir da auffallen? Ich sehe da ehrlich gesagt im Moment nichts.

Bezug
                        
Bezug
Nullstelle von Funktionsschar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Mi 04.02.2009
Autor: fred97


> Also ich habe
> [mm]f_{a}(2)=6a+118[/mm]
>  und
>  [mm]f_{a}(10)=470-90a[/mm]
>  heraus.
>  Was genau soll mir da auffallen? Ich sehe da ehrlich
> gesagt im Moment nichts.


Diese beide Funktionswerte haben verschiedene Vorzeichen. Was besagt jetzt der Nullstellensatz für stetige Funktionen ??


FRED

Bezug
                                
Bezug
Nullstelle von Funktionsschar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 Mi 04.02.2009
Autor: weltio

Ich stelle fest: Da [mm] f_{a}(2)>100 [/mm] und  [mm] f_{a}(10)\le0 [/mm] für alle [mm] a\ge5\bruch{2}{9} [/mm] muss die X-Achse "irgendwo dazwischen" geschnitten werden.
Vielen Dank!

Bezug
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