Nullstelle von Sinus-Funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 So 11.01.2015 | | Autor: | Max80 |
| Aufgabe | <br>
Berechnen Sie Nullstelle und Extrema von x+ sin(x) |
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Also fangen wir bei der NS an, ein einfaches Bsp:
x ist einfach: x=0 => ns=0
sin(x) ist auch einfach: sin(x)=0 => k*pi = 0
Aber was ist mit x+sin(x)?
Denn die Funktion hat ja lt. Graph nur am Nullpunkt eine NS, sonst geht sie nach links unten bzw. rechts oben konstant weiter. Also:
x+sin(x) = 0
Ich könnte jetzt so umstellen:
x = -sin(x)
Aber alleine das kann doch schon gar nicht mehr stimmen. Also mir fehlt hier der mathematische Ansatz das zu lösen.
Danke!
Gruß
max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 11.01.2015 | | Autor: | abakus |
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> Berechnen Sie Nullstelle und Extrema von x+ sin(x)
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> Also fangen wir bei der NS an, ein einfaches Bsp:
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> x ist einfach: x=0 => ns=0
> sin(x) ist auch einfach: sin(x)=0 => k*pi = 0
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> Aber was ist mit x+sin(x)?
> Denn die Funktion hat ja lt. Graph nur am Nullpunkt eine
> NS, sonst geht sie nach links unten bzw. rechts oben
> konstant weiter. Also:
>
> x+sin(x) = 0
>
> Ich könnte jetzt so umstellen:
> x = -sin(x)
> Aber alleine das kann doch schon gar nicht mehr stimmen.
Es stimmt immer noch, und es hat immer noch die gleiche Lösung: x=0.
Es lässt sich sogar beweisen, dass es die einzige Lösung ist. (Für x>1 und für x<-1 ist der Betrag des Sinus zu klein, um das betragsmäßig größere x noch auf Null zu drücken. Zwischen 1 und -1 verbietet das Monotonieverhalten eine weitere Nullstelle.)
> Also mir fehlt hier der mathematische Ansatz das zu
> lösen.
>
> Danke!
> Gruß
> max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 11.01.2015 | | Autor: | Max80 |
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Also wenn ich -sin(2) mit meinem Taschenrechner ausrechnen lasse, kommt nicht wieder 2, sondern -0,9...
Also kann doch die Gleichung x=-sin(x) gar nicht stimmen, oder?
Ich hab jetzt noch mehr Werte ausprobiert. Also für <1 sind die werte schon recht na dran, aber mehr auch nicht. D.h. 0,5 ergibt nur -0,479. Man kann das auch am Graph sehen, dass bei x=0,5 die Kurve nur bei 0,47 ungefähr ist (egal ob + oder -). D.h. selbst da stimmt die Gleichung ja eigtl. nicht mehr.
Kann man diesen Beweis denn auch mathematisch formulieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 So 11.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Du bist durcheinander gekommen. Begonnen hast Du mit der Frage:
Für welche x wird x + sin(x) = 0?
Dann hast Du überlegt: Wenn es so ein x gibt, dann muss für dies auch gelten:
x = -sin(x)
Nun wird überlegt, ob es so ein x gibt, eventuell auch mehrere.
Ein x hast Du gefunden: x = 0.
Bleibt die Frage, ob es noch andere gibt. Die Antwort hat Dir Abakus geschrieben. Wenn Du nun nachrechnest und feststellst, dass [mm] -sin(2)$\ne$ [/mm] 2, dann weißt Du, dass x = 2 die Bedingung nicht erfüllt. Das ist kein Wunder, da sie nur für x = 0 richtig ist. Du bestätigst also nur das, was vorher schon ausgedacht war.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 So 25.01.2015 | | Autor: | Max80 |
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Danke für die Antwort. Aber wie habe ich denn das x=0 heraus gefunden? Also mathematisch? Verstehe nicht, wie wir mathematisch bewiesen haben, dass die einzige NS x=0 ist und wie wir mathematisch bewiesen haben, dass es keine anderen NS gibt. Natürlich sieht man das am Graphen und mit gesundem Menschenverstand, aber das ist ja keine mathematische Schreibweise... :) Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 So 25.01.2015 | | Autor: | Fulla |
> Danke für die Antwort. Aber wie habe ich denn das x=0
> heraus gefunden? Also mathematisch? Verstehe nicht, wie wir
> mathematisch bewiesen haben, dass die einzige NS x=0 ist
> und wie wir mathematisch bewiesen haben, dass es keine
> anderen NS gibt. Natürlich sieht man das am Graphen und
> mit gesundem Menschenverstand, aber das ist ja keine
> mathematische Schreibweise... :) Danke!
Hallo Max,
dass [mm]x=0[/mm] einen Nullstelle von [mm]x+\sin x[/mm] ist, hast du in deinen Posts indirekt "rausgefunden".
Du hast geschrieben, dass [mm]x=0[/mm] genau dann gilt, wenn [mm]x=0[/mm] (trivialerweise) und dass [mm]\sin x=0[/mm] ebenfalls für [mm]x=0[/mm] erfüllt ist.
Daraus kannst du folgern, dass die Gleichung [mm]-x=\sin x[/mm] die Lösung [mm]x=0[/mm] hat. (Denn es gilt [mm]-0=\sin(0)\ \Leftrightarrow\ 0=0[/mm])
Jetzt ist die Frage: gibt es noch weitere Nullstellen?
Dafür hast du auch schon einen Tipp bekommen.
Du muss wegen der Beschränktheit des Sinus nur das Intervall [mm]x\in [-1;1][/mm] betrachten. In diesem Intervall (und auch sonst) ist [mm]f(x)=-x[/mm] streng monoton fallend und der Sinus ist streng monoton steigend...
Ja, anhand des Graphen zu argumentieren ist (meist) kein Beweis. Dazu müsstest du Argumente finden, warum der Graph genau so aussieht, wie er aussieht. Und genau diese Argumente entnimmst du dem Graphen! (Ringschluss).
Mit "gesundem Menschenverstand" kann man dagegen schon argumentieren. Allerdings nicht mit z.B. "... darum ist es logisch, dass ... gilt."
Hier ein Beispiel, wie man es machen könnte:
Für [mm]0
Und so ungefähr MUSST du das beweisen, weil du die Gleichung [mm] $-x=\sin [/mm] x$ analytisch nicht nach $x$ auflösen kannst.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:01 So 25.01.2015 | | Autor: | Max80 |
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Also ich hab wohl ein Brett vorm Kopf. Könnt ihr mir das mal so aufschreiben, wie man es in der Klausur machen müsste? Vielleicht helfen die Spiegelneuronen...
Kann denn ein Computer bei sowas richtig rechnen? Ich hab die Aufgabe mal online eingegeben. Ist das was da raus kommt richtig?
http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/
Danke!!
Gruß
Max
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> Also ich hab wohl ein Brett vorm Kopf. Könnt ihr mir das
> mal so aufschreiben, wie man es in der Klausur machen
> müsste? Vielleicht helfen die Spiegelneuronen...
Hallo,
Du könntest es so aufschreiben:
f(x)=x+sin(x)
f'(x)=1+cos(x)
Gesucht sind die Nullstellen der Funktion, also die [mm] x\in \IR [/mm] mit
f(x)=0 <==> x+sin(x)=0.
Offenbar ist x=0 eine Nullstelle der Funktion, denn es ist f(0)=0.
Behauptung: es gibt keine weiteren Nullstellen.
Da [mm] -1\le sin(x)\le [/mm] 1,
gilt [mm] x-1\le x+sin(x)\le [/mm] x+1.
Für x<-1 hat man also [mm] x+sin(x)\le [/mm] x+1<-1+1=0, dh x+sin(x)<0.
Also gibt es in diesem Bereich keine Nullstelle.
Für x>1 bekommt man [mm] x+sin(x)\ge [/mm] x-1> 1-1=0, also x+sin(x)>0.
Also gibt es in diesem Bereich keine Nullstelle.
Zu untersuchen bleibt [mm] -1\le x\le [/mm] 1.
Für [mm] -1\le x\le [/mm] 1 ist cos(x)>0, also f'(x)>0.
Damit ist die Funktion für [mm] -1\le x\le [/mm] 1 streng monoton wachsend, kann hier also außer der für x=0 gefundenen Nullstelle keine weiteren Nullstelle haben.
> Kann denn ein Computer bei sowas richtig rechnen?
Ich denke schon.
> Ich hab
> die Aufgabe mal online eingegeben. Ist das was da raus
> kommt richtig?
> http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/
Nein, es ist nicht alles richtig.
Er ist bei der Nullstellen berechnung ja schon etwas sparsam mit Informationen,
bei H. erzählt er uns dann, daß W(0 | [mm] 2\pi [/mm] ) ein Punkt des Graphen ist,
für die Monotonie unter J. arbeitet er mit der falschen Bedingung und bekommt folglich das falsche Ergebnis.
Das sind die Dinge, diemir spontan aufgefallen sind.
LG Angela
>
> Danke!!
> Gruß
> Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 So 25.01.2015 | | Autor: | Max80 |
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Hallo,
vielen Dank für die Lösung!! Habe es jetzt verstanden. Die Lösung für die eine NS ist eigentlich nur, dass man halt sinnvollerweise mal 0 für x einsetzt und dann eben feststellt, dass es eine NS ist. Das Einsetzen von 0 für x ist also eine quasi "geratene" Annahme, weil man das vernünftigerweise einfach mal macht... korrekt? :)
Ich hab jetzt mal versucht Symmetrie, Extrema und WP zu berechnen:
Symmetrie: Achsensymmetrie:
f(x)=x+sin(x) //Bedingung für Achsensymmetrie: f(-x) = f(x)
Annahme: -x+sin(-x) = x+sin(x)
Jetzt komme ich nicht weiter. Ich weiß, dass sin(-x) = -sin(x) ist. Da man x aber nicht auflösen kann (entweder -2x oder +2x, aber es geht nicht weg), bleibt die Gleichung ungelöst. Aber wie kann man das formal schreiben?
Punktsymmetrie:
Annahme: f(-x) = -f(x)
-x+sin(-x) = -x-sin(x)
=> X löse ich auf, bleibt
sin(-x) = -sin(x)
=> Hier weiß ich indirekt auch nicht weiter bzw. ich würde hier einfach qed schreiben, weil das ist ja eine der "Regeln". korrekt?
Nun zu Extrema:
f'(x) = 0
Also
1+cos(x) = 0
cos(x) = 1
Und wieder komme ich nicht weiter. Das Problem bei diesen Trigon. Funktionen ist, dass man eigentlich ZWEI Variablen hat, nämlich neben dem X noch das sin/cos mit unzähligen möglichen werten. Hier jetzt das Problem, dass halt der Extrema genau dann zutrifft, wenn cos(x) genau 1 ergibt. DANN wäre es ein Extrema..
Das gleiche mit dem WP. Es ist doch zum heulen das ganze!!
Danke!!
Gruß
Max
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 So 25.01.2015 | | Autor: | abakus |
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> Hallo,
>
> vielen Dank für die Lösung!! Habe es jetzt verstanden.
> Die Lösung für die eine NS ist eigentlich nur, dass man
> halt sinnvollerweise mal 0 für x einsetzt und dann eben
> feststellt, dass es eine NS ist. Das Einsetzen von 0 für x
> ist also eine quasi "geratene" Annahme, weil man das
> vernünftigerweise einfach mal macht... korrekt? :)
>
> Ich hab jetzt mal versucht Symmetrie, Extrema und WP zu
> berechnen:
>
> Symmetrie: Achsensymmetrie:
> f(x)=x+sin(x) //Bedingung für Achsensymmetrie: f(-x) =
> f(x)
> Annahme: -x+sin(-x) = x+sin(x)
> Jetzt komme ich nicht weiter. Ich weiß, dass sin(-x) =
> -sin(x) ist. Da man x aber nicht auflösen kann (entweder
> -2x oder +2x, aber es geht nicht weg), bleibt die Gleichung
> ungelöst. Aber wie kann man das formal schreiben?
> Punktsymmetrie:
> Annahme: f(-x) = -f(x)
> -x+sin(-x) = -x-sin(x)
> => X löse ich auf, bleibt
> sin(-x) = -sin(x)
> => Hier weiß ich indirekt auch nicht weiter bzw. ich
> würde hier einfach qed schreiben, weil das ist ja eine der
> "Regeln". korrekt?
Ja, diese Gleichung gilt nun mal für die Sinusfunktion.
Außerdem: Die Sinusfunktion ist (bekannterweise?) ursprungssymmetrisch, die Funktion f(x)=x ist auch ursprungssymmetrisch. Die Summe von ursprungssymmetrischen Funktionen ist wieder ursprungssymmetrisch.
>
> Nun zu Extrema:
> f'(x) = 0
> Also
> 1+cos(x) = 0
> cos(x) = 1
> Und wieder komme ich nicht weiter. Das Problem bei diesen
> Trigon. Funktionen ist, dass man eigentlich ZWEI Variablen
> hat, nämlich neben dem X noch das sin/cos mit unzähligen
> möglichen werten. Hier jetzt das Problem, dass halt der
> Extrema genau dann zutrifft, wenn cos(x) genau 1 ergibt.
> DANN wäre es ein Extrema..
>
> Das gleiche mit dem WP. Es ist doch zum heulen das ganze!!
Da musst du ja ganz schön geheult haben, als ihr in Klasse 10 die Sinusfunktion eingeführt habt. Die HAT nun mal unendlich viele Nullstellen, Hochpunkte und Tiefpunkte.
Da das x in f(x)=x+sin(x) nach dem Ableiten zu 1 wird und beim zweiten Ableiten ganz verschwindet, sind die Ableitungen von f(x) nun mal periodisch.
Das spiegelt nur wider, dass f(x) tatsächlich in regelmäßigen Abständen Kandidaten für Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte hat.
Dass diese "Kandidaten" nicht zwangsläufig auch Hoch- bzw. Tiefpunkte sein müssen zeigt
1) ein Blick auf den Graphen
2) ein Test der Kandidaten mit der zweiten Ableitung.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Gruß Abakus
>
> Danke!!
> Gruß
> Max
Hallo,
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 So 25.01.2015 | | Autor: | abakus |
Vorhin ist das Bild nicht mit gekommen:[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 So 25.01.2015 | | Autor: | Max80 |
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Naja in diesem Fall hier würde ich sagen sind die Kandidaten alle keine Extrema, jedoch ganz viele Wendepunkte. Aber wie kann ich das Beweisen? Denn in der Gleichung (s.o. wo ich es bereits versucht habe) ist ja immer das sin übrig und lässt sich nicht auflösen. Bei "normalen" Funktionen lässt sich ja alles zu x auflösen (oder eindeutig nicht), aber hier bleibt immer das sin übrig. In meinem Beispiel oben komme ich an genau der Stelle nicht weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 So 25.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Ein paar Anmerkungen, auch zu Stellen weiter oben:
> Das Einsetzen von 0 für x ist also eine quasi "geratene" Annahme, weil man das > vernünftigerweise einfach mal macht... korrekt? :)
Ja, aber es klingt etwas abwertend. Dabei ist es eher anders herum: Das Abarbeiten von Schemata ist für Mathematiker langweilig. Das Spannende ist, mit Intuition, Erfahrung, Umwegen und allen möglichen Tricks etwas herauszufinden, was nicht mit einem Schema zu finden ist. Hier wäre es so:
Dass es eine Nullstelle geben muss ist klar. Die Funktion ist auf [mm] $\IR$ [/mm] stetig und nimmt einen Funktionwert >0 und einen Funktionswert <0 an. .....
Also wird dazwischen gesucht. Die Symmetrie hilft einem dann auf die Sprünge.
Zur Symmetrieuntersuchung:
> Bedingung für Achsensymmetrie: f(-x) = f(x)
> Annahme: -x+sin(-x) ?=? x+sin(x)
So läuftst Du auf einen Widerspruchsbeweis hinaus. Den hast Du praktisch feritg.
-x-sin(x) = -1(x+sin(x) ?=? x+sin(x)
-1 ?=? 1
kann ja nicht sein.
Nebenbei hast Du die Punktsymmetrie gezeigt, weil ja mit einem Minuszeichen mehr
-f(-x) = f(x) alles gut ausgeht.
Was Du an der Stelle im Weiteren schreibst, ist nicht zu verstehen. Es erscheint mir alles sehr falsch.
> Das Problem bei diesen Trigon. Funktionen ist, dass man eigentlich ZWEI Variablen hat, nämlich neben dem X noch das sin/cos mit unzähligen möglichen werten.
Das ist falsch. Es ist eine Variable. Sie kommt nur an mehreren Stellen vor. Das bietet Die schon jedes Polynom.
> Nun zu den Extrema:
> f'(x) = 0 Also 1+cos(x) = 0
cos(x) = -1 hat Fred Dir korrigiert.
Damit kannst Du alle Kandidaten für Extremwerte erst einmal benennen.
Dazu musst Du nur die Frage beantworten: Für welche Werte wird der Kosinus -1?
Nun musst Du weiter unteruschen. Ich bin der Meinung, dass sich die Monotonie geradezu aufdrängt, um abzuklären, dass es keine Extrema gibt.
Mit den Wendepunkten ist es noch einfacher:
f''(x) = ....
schreib mal hin und schaue ein paar Zeilen nach oben.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 25.01.2015 | | Autor: | Max80 |
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Wieso drängt sich da was auf? Ich muss sagen, für welche Werte Cos = -1 ergibt. Naja ich sehe da noch keinen Beweis, dass es keine Extrema gibt. Irgendeinen Wert wird es schon geben, der Cos auf -1 bringt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 So 25.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich warte nun auf Input von Dir:
Kriterien zur Bestimmung von Extremstellen: Es reicht, was hier vorgeschlagen wurde. (notwendig, hinreichend, ableitung, monotonie)
Eigenschaften von Sinus und Kosinus: wann werden sie 0, wann -1 wann +1
Bevor Du das nicht präsent hast, gehen alle Hinweise ins Leere.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Mo 26.01.2015 | | Autor: | Max80 |
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Also ich versuch es nochmal:
f(x) = x + sin(x)
Zunächst NS:
f(x) = 0
f(0) = 0 => x1 = 0
Weitere NS? Umstellen:
x+sin(x) = 0
sin(x) = x
=> Geht nicht mehr weiter hier bzw. lässt sich nicht auflösen, also keine weitere NS!
Ich würde also einfach sin(x) != 0 schreiben und Blitz dazu und fertig.
Ableitung:
f'(x) = 1 + cos(x)
f''(x) = -sin(x)
f'''(x) = -cos(x)
Bedingung für Extrema: f'(x) = 0
1 + cos(x) = 0
cos(x) = -1
arccos(-1) = Pi
f'(Pi)= 0
=> Mögliches Extrema bei Pi
Hinreichende Bed. prüfen:
f''(x) > 0 bzw. < 0 für Extrema, wenn = 0 dann ist es Sattelpkt.
-sin(Pi) ist = 0, also ist es kein Extrema, sondern Sattelpkt. Der Graph bestätigt das meiner Meinung nach.
Bedingung für Wendepunkt: f''(x) = 0
Wie bei Extrema schon gezeigt, ist das zutreffend. Also ist es ein WP.
Hinreichende Bed: f'''(x)!=0
-cos(Pi) = 1 => Kein WP?
Meiner Meinung nach ist es ein WP, aber die Berechnung spricht dagegen.
Symmetrie gerne auch noch:
AS: f(-x) = f(x)
-x + sin(-x) = x+sin(x)
sin(-x) = 2x+sin(x)
=> Ungleich schreiben, geht nicht aufzulösen, keine AS. Blitz dazu und fertig.
PS: -f(x) = f(-x)
-x - sin(x) = -x+sin(-x) |X auflösen
-sin(x) = sin(-x) => qed
Ist das soweit ok? Bei den Wendepunkt denke ich ist noch ein Fehler. Außerdem finde ich das mit der Nullstelle nach wie vor nicht sehr schematisch (ich bin offen gesagt ein Freund von Schemas).
Danke & Gruß
Max
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> Also ich versuch es nochmal:
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> f(x) = x + sin(x)
> Zunächst NS:
> f(x) = 0
> f(0) = 0 => x1 = 0
> Weitere NS? Umstellen:
> x+sin(x) = 0
> sin(x) = x
> => Geht nicht mehr weiter hier bzw. lässt sich nicht
> auflösen, also keine weitere NS!
> Ich würde also einfach sin(x) != 0 schreiben und Blitz
> dazu und fertig.
Hallo,
damit würdest Du einen Blumentopf gewinnen.
Wie man es machen kann, wurde doch besprochen. (?)
>
> Ableitung:
> f'(x) = 1 + cos(x)
> f''(x) = -sin(x)
> f'''(x) = -cos(x)
>
Notwendige
> Bedingung für Extrema: f'(x) = 0
> 1 + cos(x) = 0
> cos(x) = -1
> arccos(-1) = Pi
An dieser Stelle muß man ein wenig etwas über den cos wissen:
der Funtionswert -1 wird nicht nur bei [mm] x=\pi [/mm] angenommen, sondern an vielen anderen Stellen auch!
Du untersuchst hier nur die eine Stelle [mm] x=\pi.
[/mm]
Das reicht nicht.
> f'(Pi)= 0
> => Mögliches Extrema bei Pi
"Extrema" ist Plural. Ein Extremum, viele Extrema.
Oder sag': Extremwert.
> Hinreichende Bed. prüfen:
> f''(x) > 0 bzw. < 0 für Extrema, wenn = 0 dann ist es
> Sattelpkt.
Nein. Wenn f''(x)=0, könnte es ein Sattelpunkt sein.
> -sin(Pi) ist = 0, also ist es kein Extrema, sondern
> Sattelpkt.
Das ist nicht richtig.
Du kannst an dieser Stelle mit dem Kriterium, welches mit der 2.Ableitung arbeitet, nicht entscheiden, ob es ein Extremwert ist oder womöglich ein Sattelpunkt.
Für "Sattelpunkt" müßte man nun prüfen, ob es ein Wendepunkt ist. (Wendepunkt mit waagerechter Tangente=Sattelpunkt.)
Der Graph bestätigt das meiner Meinung nach.
>
Notwendige
> Bedingung für Wendepunkt: f''(x) = 0
Nun solltest Du erstmal alle Stellen angeben, an denen -sin(x)=0 ist:
[mm] x=k*\pi, \in\IZ.
[/mm]
Danach untersuchen.
Du untersuchst nur [mm] x=\pi:
[/mm]
> Wie bei Extrema schon gezeigt, ist das zutreffend. Also
> ist es ein WP.
Nein. Es kann bei [mm] x=\pi [/mm] ein Wendepunkt vorliegen.
> Hinreichende Bed: f'''(x)!=0
Hinreichende Bedingung: [mm] f'''(x)\not=0
[/mm]
> -cos(Pi) = 1 => Kein WP?
[mm] -cos(\pi) [/mm] = 1 ==> Wendepunkt bei [mm] W_1(\pi|...)
[/mm]
Die anderen Stellen müssen noch untersucht werden.
>
> Meiner Meinung nach ist es ein WP, aber die Berechnung
> spricht dagegen.
Nö.
>
> Symmetrie gerne auch noch:
>
> AS: f(-x) = f(x)
> -x + sin(-x) = x+sin(x)
> sin(-x) = 2x+sin(x)
> => Ungleich schreiben, geht nicht aufzulösen, keine AS.
> Blitz dazu und fertig.
Es stimmt, daß der Graph nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
Deine Argumentation mit dem "Auflösen" ist aber nicht richtig.
Es geht nicht darum. ob es ein, zwei oder siebzehn x gibt, die die Gleichung f(x)=f(-x) lösen.
Wenn die Funktion symmetrisch ist zur y-Achse, gilt die Gleichung für alle x.
Und das ist nicht der Fall.
Ich würde das so aufschreiben:
[mm] f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin(x)=-(x+sin(x))\not= [/mm] x+sin(x)=f(x).
Also keine Symmetrie zur y-Achse.
>
> PS: -f(x) = f(-x)
> -x - sin(x) = -x+sin(-x) |X auflösen
> -sin(x) = sin(-x) => qed
-f(x)=-(x+sin(x))=-x-sin(x)=-x+sin(-x)=f(-x),
also istdie Funktion symmetrisch zum Ursprung.
>
> Ist das soweit ok? Bei den Wendepunkt denke ich ist noch
> ein Fehler. Außerdem finde ich das mit der Nullstelle nach
> wie vor nicht sehr schematisch
Das wäre nicht schlimm.
Es ist aber so, wie's dasteht falsch, weil es keine schlüssige Argumentation gibt.
Wenn man nicht in der Lage ist, eine Gleichung zu lösen, heißt das noch lange nicht, daß es keine Lösung gibt.
[mm] e^x=10x [/mm] kann man auch nicht "einfach so" auflösen. Lösungen gibt's trotzdem.
> (ich bin offen gesagt ein
> Freund von Schemas).
Tja, es ist wie im echten Leben: man hat nicht nur Umgang mit Freunden...
LG Angela
>
> Danke & Gruß
> Max
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Max80 |
Ich habe mal meine Fragen in grün hinzugefügt... :)
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> <br>
>
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> <br>
>
> Also ich versuch es nochmal:
>
> f(x) = x + sin(x)
> Zunächst NS:
> f(x) = 0
> f(0) = 0 => x1 = 0
> Weitere NS? Umstellen:
> x+sin(x) = 0
> sin(x) = x
> => Geht nicht mehr weiter hier bzw. lässt sich nicht
> auflösen, also keine weitere NS!
> Ich würde also einfach sin(x) != 0 schreiben und Blitz
> dazu und fertig.
Hallo,
damit würdest Du einen Blumentopf gewinnen.
Wie man es machen kann, wurde doch besprochen. (?)
Naja aber nur mit "Text" quasi. Lässt sich diese Aufgabe denn gar nicht in rein mathematischer Schreibweise lösen?? Darum geht es mir ja. Ich möchte es so schreiben, wie es in eine Klausur gehört. Und da fasst man sich ja wegen des Zeitmangels immer recht kurz...
>
> Ableitung:
> f'(x) = 1 + cos(x)
> f''(x) = -sin(x)
> f'''(x) = -cos(x)
>
Notwendige
> Bedingung für Extrema: f'(x) = 0
> 1 + cos(x) = 0
> cos(x) = -1
> arccos(-1) = Pi
An dieser Stelle muß man ein wenig etwas über den cos wissen:
der Funtionswert -1 wird nicht nur bei [$ [mm] x=\pi [/mm] $] angenommen, sondern an vielen anderen Stellen auch!
Du untersuchst hier nur die eine Stelle [$ [mm] x=\pi. [/mm] $]
Das reicht nicht.
Okay, aber ich kann ja nicht unendlich viele Stellen untersuchen. Also 2Pi, 3Pi, usw. das geht ins unendliche...
> f'(Pi)= 0
> => Mögliches Extrema bei Pi
"Extrema" ist Plural. Ein Extremum, viele Extrema.
Oder sag': Extremwert.
> Hinreichende Bed. prüfen:
> f''(x) > 0 bzw. < 0 für Extrema, wenn = 0 dann ist es
> Sattelpkt.
Nein. Wenn f''(x)=0, könnte es ein Sattelpunkt sein.
> -sin(Pi) ist = 0, also ist es kein Extrema, sondern
> Sattelpkt.
Das ist nicht richtig.
Du kannst an dieser Stelle mit dem Kriterium, welches mit der 2.Ableitung arbeitet, nicht entscheiden, ob es ein Extremwert ist oder womöglich ein Sattelpunkt.
Für "Sattelpunkt" müßte man nun prüfen, ob es ein Wendepunkt ist. (Wendepunkt mit waagerechter Tangente=Sattelpunkt.)
Nur das ich das richtig verstanden habe: Die notwendige Bedingung für Extrema ist ja f'(x) = 0 und die hinreichende f''(x) > 0 oder <0, korrekt?
Hier ist die notwendige Bedingung ja erfüllt (ich habe die erste Ableitung null setzen können und Pi raus gekriegt) und die hinreichende nicht. Also kein Extremum! Wobei ja das mit dem null setzen und umstellen wohl nur für einen begrenzten bereich gilt?
Der Graph bestätigt das meiner Meinung nach.
>
Notwendige
> Bedingung für Wendepunkt: f''(x) = 0
Nun solltest Du erstmal alle Stellen angeben, an denen -sin(x)=0 ist:
[$ [mm] x=k\cdot{}\pi, \in\IZ. [/mm] $]
Danach untersuchen.
Du untersuchst nur [$ [mm] x=\pi: [/mm] $]
Wenn ich dich richtig verstehe geht es darum, dass wir hier die Gleiche Sache haben wie beim Extremum, dass ich nur Pi untersuche und nicht alle möglichen stellen, korrekt? Da kommt bei mir natürlich wieder die Frage auf, wie ich unendlich viele Stellen untersuchen kann mit begrenzter Menge Papier... ;)
> Wie bei Extrema schon gezeigt, ist das zutreffend. Also
> ist es ein WP.
Nein. Es kann bei [$ [mm] x=\pi [/mm] $] ein Wendepunkt vorliegen.
> Hinreichende Bed: f'''(x)!=0
Hinreichende Bedingung: [$ [mm] f'''(x)\not=0 [/mm] $]
> -cos(Pi) = 1 => Kein WP?
[$ [mm] -cos(\pi) [/mm] $] = 1 ==> Wendepunkt bei [$ [mm] W_1(\pi|...) [/mm] $]
Die anderen Stellen müssen noch untersucht werden.
Hoppla, das habe ich falsch gemacht. Die Bedingung ist ungleich null und das ist der Fall gewesen. Also ist es ein WP!
Aber auch hier wieder die Frage: Wie untersuche ich unendlich viele Stellen?
>
> Meiner Meinung nach ist es ein WP, aber die Berechnung
> spricht dagegen.
Nö.
>
> Symmetrie gerne auch noch:
>
> AS: f(-x) = f(x)
> -x + sin(-x) = x+sin(x)
> sin(-x) = 2x+sin(x)
> => Ungleich schreiben, geht nicht aufzulösen, keine AS.
> Blitz dazu und fertig.
Es stimmt, daß der Graph nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
Deine Argumentation mit dem "Auflösen" ist aber nicht richtig.
Es geht nicht darum. ob es ein, zwei oder siebzehn x gibt, die die Gleichung f(x)=f(-x) lösen.
Wenn die Funktion symmetrisch ist zur y-Achse, gilt die Gleichung für alle x.
Und das ist nicht der Fall.
Ich würde das so aufschreiben:
[$ [mm] f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin(x)=-(x+sin(x))\not= [/mm] $] x+sin(x)=f(x).
Also keine Symmetrie zur y-Achse.
Verstehe hier den Unterschied zu meiner Variante nicht. Du hast noch die Regel benutzt, dass f(-x) = -f(x) ist, oder? Welchen Vorteil hat das? Du musstest ja trotzdem ungleich schreiben so wie ich auch. Wo beziehe ich mich auf ein bestimmtes x? Meine ist doch auch allgemein für all x gehalten, oder nicht?
>
> PS: -f(x) = f(-x)
> -x - sin(x) = -x+sin(-x) |X auflösen
> -sin(x) = sin(-x) => qed
-f(x)=-(x+sin(x))=-x-sin(x)=-x+sin(-x)=f(-x),
also istdie Funktion symmetrisch zum Ursprung.
Ist das nicht identisch mit meiner Version?
>
> Ist das soweit ok? Bei den Wendepunkt denke ich ist noch
> ein Fehler. Außerdem finde ich das mit der Nullstelle nach
> wie vor nicht sehr schematisch
Das wäre nicht schlimm.
Es ist aber so, wie's dasteht falsch, weil es keine schlüssige Argumentation gibt.
Wenn man nicht in der Lage ist, eine Gleichung zu lösen, heißt das noch lange nicht, daß es keine Lösung gibt.
[$ [mm] e^x=10x [/mm] $] kann man auch nicht "einfach so" auflösen. Lösungen gibt's trotzdem.
> (ich bin offen gesagt ein
> Freund von Schemas).
Tja, es ist wie im echten Leben: man hat nicht nur Umgang mit Freunden...
LG Angela
>
> Danke & Gruß
> Max
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mo 02.02.2015 | | Autor: | chrisno |
> ....>
> Naja aber nur mit "Text" quasi. Lässt sich diese Aufgabe
> denn gar nicht in rein mathematischer Schreibweise lösen??
> Darum geht es mir ja. Ich möchte es so schreiben, wie es
> in eine Klausur gehört. Und da fasst man sich ja wegen des
> Zeitmangels immer recht kurz...
Die matehmatische Schreibweise ist eine Kurzversion für einen Text. Ein guter Text ist immer in Ordnung.
Zur Argumentation: Du zeigst die Nullstelle. Raten und dann nachweisen, dass man richtig geraten hat, ist ein nortmales mathematisches Vorgehen. Dabei ist hier Raten nicht treffend, es ist eigentlich elementares Faktenwissen aus der 9. oder 10. Klasse.
Danach musst Du argumentieren. Ich habe zum Argument mit der Monotonie geraten, es ist kurz und einfach. Dazu gehört Text. Eine Lösung ohne Text ist nicht vollständig.
Du musst das nun mal durchführen.
> .....
> der Funktionswert -1 wird nicht nur bei  mm] x=\pi [/mm
> angenommen, sondern an vielen anderen Stellen auch!
> Du untersuchst hier nur die eine Stelle mm] x=\pi. [/mm
> Das
> reicht nicht.
>
> Okay, aber ich kann ja nicht unendlich viele Stellen
> untersuchen. Also 2Pi, 3Pi, usw. das geht ins
> unendliche...
Dafür gibt es Formulierungen: Für alle k aus den ganzen Zahlen ....
Das ist eine der Leistungen der Mathematik, unendliches in wenige Worte zu fassen.
>
>...
> Nur das ich das richtig verstanden habe: Die notwendige
> Bedingung für Extrema ist ja f'(x) = 0 und die
> hinreichende f''(x) > 0 oder <0, korrekt?
fast richtig, "eine" hinreichende ... es gibt da verschiedene
> Hier ist die notwendige Bedingung ja erfüllt (ich habe
> die erste Ableitung null setzen können und Pi raus
"Pi raus" ??? Wenn Du einen Korrektor gegen Dich einnehmen willst, dann schreib so was. Besser wäre es, Du würdest jetz schon mal korrekte Formulierungen üben.
> gekriegt) und die hinreichende nicht. Also kein Extremum!
Die Lokik sagt da etwas anderes. Wenn eine hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist, dann kann es dennoch ein Extremum sein.
> Wobei ja das mit dem null setzen und umstellen wohl nur
> für einen begrenzten bereich gilt?
???? Formuliere um, diesmal kann ich noch nicht mal erraten, was Du meinst.
>
> Der Graph bestätigt das meiner Meinung nach.
> >
>
> Notwendige
> > Bedingung für Wendepunkt: f''(x) = 0
>
> Nun solltest Du erstmal alle Stellen angeben, an denen
> -sin(x)=0 ist:
> mm] x=k\cdot{}\pi, \in\IZ. [/mm
> Danach untersuchen.
>
> Du untersuchst nur mm] x=\pi: [/mm
>
> Wenn ich dich richtig verstehe geht es darum, dass wir hier
> die Gleiche Sache haben wie beim Extremum, dass ich nur Pi
> untersuche und nicht alle möglichen stellen, korrekt? Da
> kommt bei mir natürlich wieder die Frage auf, wie ich
> unendlich viele Stellen untersuchen kann mit begrenzter
> Menge Papier... ;)
Wie oben, Du machst ein Aussage in der Du alle Nullstellen angibst und dich dazu auf die Periodizität der trigonometrischen Funktionen berufst.
>
> > Wie bei Extrema schon gezeigt, ist das zutreffend.
> Also
> > ist es ein WP.
>
> Nein. Es kann bei mm] x=\pi [/mm ein Wendepunkt
> vorliegen.
>
> > Hinreichende Bed: f'''(x)!=0
>
> Hinreichende Bedingung: mm] f'''(x)\not=0 [/mm
>
> > -cos(Pi) = 1 => Kein WP?
>
> mm] -cos(\pi) [/mm = 1 ==> Wendepunkt bei ...) [/mm
>
> Die anderen Stellen müssen noch untersucht werden.
>
> Hoppla, das habe ich falsch gemacht. Die Bedingung ist
> ungleich null und das ist der Fall gewesen. Also ist es ein
> WP!
> Aber auch hier wieder die Frage: Wie untersuche ich
> unendlich viele Stellen?
s.o.
>
>
> >
> > Meiner Meinung nach ist es ein WP, aber die
> Berechnung
> > spricht dagegen.
>
> Nö.
>
> >
> > Symmetrie gerne auch noch:
> >
> > AS: f(-x) = f(x)
> > -x + sin(-x) = x+sin(x)
> > sin(-x) = 2x+sin(x)
> > => Ungleich schreiben, geht nicht aufzulösen, keine
> AS.
>
> > Blitz dazu und fertig.
Es wird Dir niemand glauben, dass Du an dieser Stelle "siehst", dass es nicht gleich ist. Da musst Du weiter rechnen, bis Du etwas wie "nun müsste 1 = -1 sein" steht. Dann bist Du fertig. Es ist sowieso einfach falsch, erst mal einen Gleichheit hin zu schreiben und nachher fest zu stellen, dass sie nicht erfüllt ist. Das machst Du auf einem Schmierzettel. Danach musst Du aber mit der einen Seite anfangen und ganz am Ende die andere Seite herausbekommen, oder eben einen klaren Widerspruch zu der anderen Seite.
>
> ...
> Ich würde das so aufschreiben:
>
> [mm] f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin(x)=-(x+sin(x))\not= [/mm]]
> x+sin(x)=f(x).
Genau so wurde es hier durchgeführt.
> Also keine Symmetrie zur y-Achse.
> Verstehe hier den Unterschied zu meiner Variante nicht. Du
> hast noch die Regel benutzt, dass f(-x) = -f(x) ist, oder?
Welche Regel? Es wurde die Eigenschaft der Sinusfunktion benutzt.
> Welchen Vorteil hat das? Du musstest ja trotzdem ungleich
> schreiben so wie ich auch. Wo beziehe ich mich auf ein
> bestimmtes x? Meine ist doch auch allgemein für all x
> gehalten, oder nicht?
s.o.
>
> >
> > PS: -f(x) = f(-x)
> > -x - sin(x) = -x+sin(-x) |X auflösen
> > -sin(x) = sin(-x) => qed
>
> -f(x)=-(x+sin(x))=-x-sin(x)=-x+sin(-x)=f(-x),
> also istdie Funktion symmetrisch zum Ursprung.
> Ist das nicht identisch mit meiner Version?
Das kam von Dir:
> Annahme: f(-x) = -f(x)
> -x+sin(-x) = -x-sin(x)
> => X löse ich auf, bleibt
Du löst hier nichts auf. Auf beiden Seiten der Gleichung addierst Du x.
> sin(-x) = -sin(x)
> => Hier weiß ich indirekt auch nicht weiter bzw. ich würde hier einfach qed schreiben, weil das ist ja eine der "Regeln". korrekt?
Dann musst Du schreiben, dass diese Gleichung für alle x erfüllt ist, weil es eine Eigenschaft des Sinus ist.
Dennoch bleibt die Kritik: Du schreibst als Annahme das, was gezeigt werden soll. Das ist der Einstig zu einem Widerspruchsbeweis, wenn Du zeigen willst, dass die Annahme falsch ist. Du musst anfangen: f(x) = .... und immer weiter mit = ... bis am Ende -f(-x) da steht.
> >
> ...
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> > (ich bin offen gesagt ein
> > Freund von Schemas).
>
Dann sollte Die Latte, die Du vor Dir hast, nicht zu hochliegen. Die Mathematik fängt eigentlich erst an, wenn es keine Schemata mehr gibt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 So 25.01.2015 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo,
>
> vielen Dank für die Lösung!! Habe es jetzt verstanden.
> Die Lösung für die eine NS ist eigentlich nur, dass man
> halt sinnvollerweise mal 0 für x einsetzt und dann eben
> feststellt, dass es eine NS ist. Das Einsetzen von 0 für x
> ist also eine quasi "geratene" Annahme, weil man das
> vernünftigerweise einfach mal macht... korrekt? :)
>
> Ich hab jetzt mal versucht Symmetrie, Extrema und WP zu
> berechnen:
>
> Symmetrie: Achsensymmetrie:
> f(x)=x+sin(x) //Bedingung für Achsensymmetrie: f(-x) =
> f(x)
> Annahme: -x+sin(-x) = x+sin(x)
> Jetzt komme ich nicht weiter. Ich weiß, dass sin(-x) =
> -sin(x) ist. Da man x aber nicht auflösen kann (entweder
> -2x oder +2x, aber es geht nicht weg), bleibt die Gleichung
> ungelöst. Aber wie kann man das formal schreiben?
> Punktsymmetrie:
> Annahme: f(-x) = -f(x)
> -x+sin(-x) = -x-sin(x)
> => X löse ich auf, bleibt
> sin(-x) = -sin(x)
> => Hier weiß ich indirekt auch nicht weiter bzw. ich
> würde hier einfach qed schreiben, weil das ist ja eine der
> "Regeln". korrekt?
>
> Nun zu Extrema:
> f'(x) = 0
> Also
> 1+cos(x) = 0
> cos(x) = 1
Nein, sondern cos(x)=-1
FRED
> Und wieder komme ich nicht weiter. Das Problem bei diesen
> Trigon. Funktionen ist, dass man eigentlich ZWEI Variablen
> hat, nämlich neben dem X noch das sin/cos mit unzähligen
> möglichen werten. Hier jetzt das Problem, dass halt der
> Extrema genau dann zutrifft, wenn cos(x) genau 1 ergibt.
> DANN wäre es ein Extrema..
>
> Das gleiche mit dem WP. Es ist doch zum heulen das ganze!!
>
> Danke!!
> Gruß
> Max
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