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Nullstellen-orthogonale Polyn.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Do 28.08.2008
Autor: Pondy

Hallo,

könnt Ihr mir erklären wie man beweisen kann, dass die Funktion u-U für die gilt:

[mm] \limes_{t\uparrow t_n}U-u(t_n)=0, \integral_{I_n}{(U-u)q dt}=0, \forall q\in P_{r-1}(I_n), [/mm]

mindestens r+1 einfache Nullstellen hat?

Hierbei ist [mm] I_n=(t_{n-1},t_n] [/mm] , u eine beliebige r+1 mal stetig differenzierbare (auf dem abgechlossenen Intervall [mm] \overline{I}_n) [/mm] Funktion, [mm] P_k(I_n) [/mm] der Raum der Polynome mit maximalem Grad k auf [mm] I_n [/mm] und U [mm] \in P_r(I_n). [/mm]
Wäre u-U ein Polynom, so ginge es über orthogonale Polynome, aber das ist es ja nun leider nicht unbedingt.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Nullstellen-orthogonale Polyn.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Fr 29.08.2008
Autor: PeterB

Hallo!

Die Idee ist einfach, dass eine stetige Funktion, deren Integral 0 ist nicht nur ein Vorzeichen haben kann. D.h. sofern deine Funktion nicht konstant null ist muss das Produkt von ihr mit einem Polynom vom Grad höchstens $r-1$ mindestens einmal das Vorzeichen wechseln.

Würde nun $U-u$ selbst nur an den Stellen [mm] $a_1, [/mm] ... , [mm] a_s$ [/mm] mit [mm] $s\leq [/mm] r-1$ das Vorzeichen wechseln, dann wäre [mm] $(U-u)(t)(t-a_1)\cdot [/mm] ... [mm] \cdot (t-a_s)$ [/mm] entweder nicht negativ, oder nicht positiv, und hätte damit auch nicht verschwindenes Integral.

Zusammenfassung: $U-u$ wechselt im inneren des Intervalls mindestens $r$-mal das Vorzeichen, hat dort also mindestens $r$ Nullstellen. Die $r+1$-te ist bei [mm] $t_n$. [/mm]

Gruß
Peter



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