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Hi
ich habe ein Problem mit iner Funktion 4. Grades und zwar weißt ich nicht, wie ich die Nullstellen dieser Funktion bestimmten soll.
f(x)=x³+x²+x+1+1/x
$ [mm] <=>f(x)=x^{4}+x³+x²+x+1 [/mm] $
f(x)=0
$ [mm] f(x)=x^{4}+x³+x²+x+1=0 [/mm] $
Ich komme mit Horner Schema, Polynomdivision und Ausklammern nicht weiter, da ich keine erste Nullstelle finde....kann mir da vielleicht jemand helfen?
MfG Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Thomie |
[mm]f(x)=x^{4}+x³+x²+x+1=0[/mm]
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> Ich komme mit Horner Schema, Polynomdivision und
> Ausklammern nicht weiter, da ich keine erste Nullstelle
> finde....kann mir da vielleicht jemand helfen?
>
Es kann auf jeden Fall schon mal keine rationale Nullstelle geben, da:
rationale Nullstellen in ganzzahligen Polynomen immer ganzzahlig sind
ganzzahlige Nullstellen in ganzzahligen Polynomen immer ein Teiler des konstanten Terms sind.
Kann es sein, dass du eienfach eine andere Funktion hast, als du sollst?
P.S. die Äquivalenz stimmt zwar nicht, aber man sieht, was du damit meinst, nämlich dass die Nullstellen die gleichen sind
> MfG Johannes
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Hallo Johannes.
Die Fkt. [mm]f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1[/mm] ist immer (1)[mm]> 0[/mm], weshalb die Gleichung [mm]f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0[/mm] natürlich keine Lösung besitzt. Daß (1) für [mm]x\ge 0[/mm] gilt, ist offensichtlich, denn dort ist [mm]f(x)\ge 1[/mm]. Für [mm]x\le -1[/mm] ist [mm]x^4\ge |x^3|[/mm] und [mm]x^2\ge |x|[/mm] und deshalb [mm]f(x) \ge 1[/mm].
Zwischen -1 und 0 (Im Intervall (-1;0)) wirds etwas komplizierter. Dort ist[mm]x^4+^3[/mm] aber auf jeden Fall [mm]\ge -\bruch{27} {256}[/mm]
und [mm]x^2+x \ge -\bruch{1} {4}[/mm], damit aber auch [mm]f(x) \ge \bruch{165} {256} > 0[/mm], weshalb f keine (reellen) Nullstellen hat.
Gruß,
Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Thomie |
Gute Idee.
Zwischen -1 und 0 kann man das auch folgendermaßen einsehen:
[mm]
x+1>0
x^3+x^2=x^2\cdot (x+1)>0
x^4 >0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Grizzlitiger,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich habe ein Problem mit iner Funktion 4. Grades und zwar
> weißt ich nicht, wie ich die Nullstellen dieser Funktion
> bestimmten soll.
> f(x)=x³+x²+x+1+1/x
> [mm]<=>f(x)=x^{4}+x³+x²+x+1[/mm]
Diese Schreibweise ist natürlich nicht in Ordnung, da sie für Äquivalenzumformungen vorbehalten ist; wenn man da mit x multipliziert muss man
1. darauf achten, dass [mm] x\neq [/mm] 0 ist
2. auf beiden Seiten mit x multiplizieren.
Schöner ist es so:
$f(x)=0$
[mm] $\gdw$ [/mm] $x³+x²+x+1+1/x=0$
Fall 1: x=0 (kann nicht auftreten, da Ausangsfunktion für x nicht definiert ist)
Fall 2: [mm] $x\neq0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x³+x²+x+1+1/x=0$ | $*x$
[mm] $\gdw$ $x^4+x^3+x^2+x+1=0$
[/mm]
Die linke Seite ist nun für [mm] $x\neq1$ [/mm] das Ergebnis der Polynomdivision [mm] (x^5-1):(x-1) [/mm] (wie du leicht nachrechnen kannst); das sieht man möglicherweise schnell, wenn man die
endliche geometrische Reihe kennt.
Also haben wir:
Fall 2a: $x=1$
[mm] $\gdw$ [/mm] keine Lösung, wie durch Einsetzen zu bestätigen ist.
Fall 2b: [mm] $x\neq1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $(x^5-1):(x-1)=0$ [/mm] |$*(x-1)
[mm] $\gdw$ $x^5-1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x^5=1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=1$ (Widerspruch zu der Annahme des Falls 2b)
Also hat die Gleichung keine (reelle) Lösung.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Grizzlitiger,
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> Hi
> ich habe ein Problem mit einer Funktion 4. Grades und zwar ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> weißt ich nicht, wie ich die Nullstellen dieser Funktion
> bestimmten soll.
> f(x)=x³+x²+x+1+1/x
diese Funtkion ist keine Funktion 4. Grades! Weil sie nicht nur positive Exponenten hat.
> [mm]<=>f(x)=x^{4}+x³+x²+x+1[/mm]
Dies ist nicht mehr die Funktion $f(x)$ von oben, weil du mit $x$ malgenommen hast. Dadurch verändern sich i.a. die Nullstellen und der Rest der Funktionseigenschaften.
Zeichne dir mal die Graphen auf, dann siehst du es sofort.
Den Graphen der Ausgangsfunktion füge ich mal an. Dann erkennst du, dass es keine Nullstellen gibt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> f(x)=0
> [mm]f(x)=x^{4}+x³+x²+x+1=0[/mm]
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> Ich komme mit Horner Schema, Polynomdivision und
> Ausklammern nicht weiter, da ich keine erste Nullstelle
> finde....kann mir da vielleicht jemand helfen?
>
> MfG Johannes
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Alles klar danke erstmal an die, die mir geantwortet haben, ich denke das hilft mir schon weiter :D auch wenn einiges zunächst recht kompliziert erscheint.
MfG Johannes
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