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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Sigrid |
| Aufgabe 1 | Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Funktion [mm] f_a [/mm] mit
$ [mm] f_a(x) [/mm] = - [mm] x^3 [/mm] + a^2x - x + a $
in Abhängigkeit von $a_$.
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| Aufgabe 2 | Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Funktion [mm] f_t [/mm] mit
$ [mm] f_t(x)= x^4 [/mm] - 4 [mm] x^2- [/mm] 2t [mm] x^2 [/mm] + 4 + 5 t $
in Abhängigkeit von $t_$.
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Auf Kronis Wunsch habe ich zwei Aufgabe zur Bestimmung der Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit eines Scharparameters konstruiert.
Ups, beim Aufstellen der ersten Funktions habe ich mich wohltotal verrechnet und die Aufgabe anschließend leider nicht mehr kontrolliert. Tut mir leid, Kroni.
Danke, Loddar, für die Korrektur bei.
Ich wünsche viel Erfolg beim Lösen.
Meldet euch, wenn ihr weitere Aufgaben sucht.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 So 04.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hallo.
zu Aufgabe 1) bin ich nur soweit, dass für a=0 genau eine Nullstelle existiert. Den Rest müsste man doch irgendwie per Vergleichen oder Polynomdivison herausbekommen, wenn man eine Nullstelle hätte.
Habe dort auch schonmal das a ausgeklammert und verglichen, nachdem ich das Nullgesetzt habe, aber habe da irgendwie nichts gesehen.
Würde mich über einen Lösungsansatz freuen.
[mm] x^{2}=+\wurzel{a(a-1)}+(a^{2}+4a+4)Zu [/mm] 2)
Ich würde bei der Aufgabenstellung erstmal behaupten, dass die Anzahl der Nullstellen von a unabhängig sei;)
Wenn ich aber annehme, dass a der Parameter sei und nicht t, dann kommt folgendes heraus:
[mm] fa(x)=(x^{2}-(a^{2}+4a+4))^{2}-a(a-1)
[/mm]
Das habe ich mal Null gesetzt:
Dann sehe ich, dass es nur dann eine Lösung gibt, wenn a(a-1)>=0 ist.
Das ist der Fall, wenn
1) a>=1 oder 2) a<=0 ist
Für a=1 oder a=2 ergibt die Diskriminante 0, so dass hinterher maximal zwei Nullstellen vorliegen.
Nun geht man einen Schritt weiter:
[mm] x^{2}=+\wurzel{a(a-1)}+(a^{2}+4a+4) [/mm] oder [mm] x^{2}=-\wurze{a(a-1)}+(a^{2}+4a+4)
[/mm]
Nun betrachtet man die beiden möglichen Lösungen:
[mm] +\wurzel{a(a-1)}+(a^{2}+4a+4)=+\wurzel{a(a-1)}+(a+2)^{2}
[/mm]
Dieser Term ist immer positiv, d.h. für a>1 oder a<0 gibt es schonmal mindestens zwei Lösungen.
Die zweite Lösung ergibt folgendes:
[mm] -\wurze{a(a-1)}+(a+2)^{2} [/mm]
Bei [mm] a\approx-0,87 [/mm] und [mm] a\approx-4,15 [/mm] eine Nullstelle.
D.h. bei diesen beiden Werten (die ich nur durch den TR habe ausrechnen lassen) hat fa(x) drei Nullstellen.
Für -4,15<a<-0,87 ist der oben genannte Term negativ, d.h. es gibt dann nur zwei Lösungen.
Für a>-0,87 hat der Term dann also zwei Lösungen, für a<-4,15 ebenfalls.
Wenn man dann alles zusammenfasst, erhält man folgendes Bild:
Für 0<a<1 gibt es KEINE Lösung
Für -4,15<a<-0,87 gibt es ZWEI Lösungen
für [mm] a\approx-0,87 [/mm] oder [mm] a\approx-4,15 [/mm] gibt es drei Lösungen
für a>1 gibt es 4 Lösungen
für -0,87<a<0 gibt es 4 Lösungen
und für a<-4,15 gibt es ebenfalls 4 Lösungen.
Nun ja, kann aber auch sein, dass ich mich da bei der Aufgabe verdammt vertan habe.
Slaín,
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Do 08.02.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Kroni,
> Hallo.
> zu Aufgabe 1) bin ich nur soweit, dass für a=0 genau eine
> Nullstelle existiert. Den Rest müsste man doch irgendwie
> per Vergleichen oder Polynomdivison herausbekommen, wenn
> man eine Nullstelle hätte.
> Habe dort auch schonmal das a ausgeklammert und verglichen,
> nachdem ich das Nullgesetzt habe, aber habe da irgendwie
> nichts gesehen.
> Würde mich über einen Lösungsansatz freuen.
Das war mein Fehler. Ich hoffe, du hast nicht zuviel Zeit hineingesteckt.
>
> [mm]x^{2}=+\wurzel{a(a-1)}+(a^{2}+4a+4)Zu[/mm] 2)
>
> Ich würde bei der Aufgabenstellung erstmal behaupten, dass
> die Anzahl der Nullstellen von a unabhängig sei;)
>
> Wenn ich aber annehme, dass a der Parameter sei und nicht
> t, dann kommt folgendes heraus:
>
> [mm]fa(x)=(x^{2}-(a^{2}+4a+4))^{2}-a(a-1)[/mm]
>
> Das habe ich mal Null gesetzt:
> Dann sehe ich, dass es nur dann eine Lösung gibt, wenn
> a(a-1)>=0 ist.
> Das ist der Fall, wenn
> 1) a>=1 oder 2) a<=0 ist
> Für a=1 oder a=2 ergibt die Diskriminante 0, so dass
> hinterher maximal zwei Nullstellen vorliegen.
>
> Nun geht man einen Schritt weiter:
> [mm]x^{2}=+\wurzel{a(a-1)}+(a^{2}+4a+4)[/mm] oder
> [mm]x^{2}=-\wurze{a(a-1)}+(a^{2}+4a+4)[/mm]
Wie kommst du auf diese Nullstellen?
$ [mm] f_a(x)= x^4 [/mm] - 4 [mm] x^2- [/mm] 2a [mm] x^2 [/mm] + 4 + 5 a $
Die Nullstellen ergeben sich aus:
$ [mm] x^2 [/mm] = 2 + a [mm] \pm \wurzel{a(a-1)} [/mm] $
>
> Nun betrachtet man die beiden möglichen Lösungen:
> [mm]+\wurzel{a(a-1)}+(a^{2}+4a+4)=+\wurzel{a(a-1)}+(a+2)^{2}[/mm]
> Dieser Term ist immer positiv, d.h. für a>1 oder a<0 gibt
> es schonmal mindestens zwei Lösungen.
> Die zweite Lösung ergibt folgendes:
> [mm]-\wurzel{a(a-1)}+(a+2)^{2}[/mm]
> Bei [mm]a\approx-0,87[/mm] und [mm]a\approx-4,15[/mm] eine Nullstelle.
> D.h. bei diesen beiden Werten (die ich nur durch den TR
> habe ausrechnen lassen) hat fa(x) drei Nullstellen.
> Für -4,15<a<-0,87 ist der oben genannte Term negativ, d.h.
> es gibt dann nur zwei Lösungen.
> Für a>-0,87 hat der Term dann also zwei Lösungen, für
> a<-4,15 ebenfalls.
> Wenn man dann alles zusammenfasst, erhält man folgendes
> Bild:
>
> Für 0<a<1 gibt es KEINE Lösung
> Für -4,15<a<-0,87 gibt es ZWEI Lösungen
> für [mm]a\approx-0,87[/mm] oder [mm]a\approx-4,15[/mm] gibt es drei
> Lösungen
> für a>1 gibt es 4 Lösungen
> für -0,87<a<0 gibt es 4 Lösungen
> und für a<-4,15 gibt es ebenfalls 4 Lösungen.
Was ist mit a=0 und a=1? Da hast du bisher nur festgestellt, dass es höchstens 2 Lösungen gibt.
>
> Nun ja, kann aber auch sein, dass ich mich da bei der
> Aufgabe verdammt vertan habe.
Das Verfahren ist auf jeden Fall richtig.
Gruß
Sigrid
>
> Slaín,
>
> Kroni
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 08.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Ui, da habe ich mich ja in der ersten Umrechnung schon direkt verhauen....
Peinlich, Peinlich*g*
Nun gut, habe das Ganze nochmals durchgerechnet:
Erste Umformung: [mm] f_t(x)=(x^{2}-2-t)^{2}-t^{2}+t
[/mm]
Das habe ich dann Nullgesetzt:
dabei kam ich zu:
[mm] x^{2}=\pm\wurzel{t(t-1)}+2+t
[/mm]
Nun gut, im Zwischenschritt habe ich davor festgelegt, dass ich schonmal KEIN t einsetzten darf, für das gilt 0<t<1 (das habe ich vor dem ersten Wurzelziehen festgelegt).
D.h. das sagt mir schonmal:
für 0<t<1 gibt es KEINE Nullstellen
Dann muss ich prüfen, für welche t der Ausdruck [mm] \wurzel{t(t-1)}+2+t [/mm] größer oder gleich Null wird.
Analog bin ich mit dem Ausdruck [mm] -\wurzel{t(t-1)}+2+t [/mm] verfahren.
Dabei muss ich sagen, dass ich einmal quadriert habe, um die Wurzel zu beseitigen. Dabei ist mir bewusst, dass ich dadurch möglicherweise eine Lösung erhalte, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllt.
So ging es mir mit der ersten Wurzel: t=4/5 bekam ich als Nullstelle heraus, t ist aber für dieses Ergebnis nicht definiert, also kann das nicht sein.
Dann habe ich gesehen, dass es keine Nullstelle gibt, und diese Wurzel für alle t positiv ist.
D.h. es gibt schonmal mindestens zwei Lösungen für t<0 und t>1
Bei [mm] -\wurzel{t(t-1)}+2+t [/mm] sieht die ganze Sache schon interessanter aus:
Hier bekomme ich heraus, dass t>=-4/5 sein muss. Diese Nullstelle erfüllt auch die oben genannte Gleichung (d.h. für x=-4/5 wird der Term Null).
Zusammengefasst ergibt das dann:
für t<-4/5 gibt es zwei Lösungen
für t=-4/5 gibt es drei Lösungen
für -4/5<t<0 gibt es vier Lösungen
für 0<t<1 gibt es KEINE Lösung
für t=0 oder t=1 gibt es zwei Lösungen
und für t>1 gibt es vier Lösungen.
Slaín,
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 So 11.02.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Kroni,
> Ui, da habe ich mich ja in der ersten Umrechnung schon
> direkt verhauen....
> Peinlich, Peinlich*g*
Wie gut, dass das nicht nur mit passiert ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
>
> Nun gut, habe das Ganze nochmals durchgerechnet:
>
> Erste Umformung: [mm]f_t(x)=(x^{2}-2-t)^{2}-t^{2}+t[/mm]
>
> Das habe ich dann Nullgesetzt:
> dabei kam ich zu:
> [mm]x^{2}=\pm\wurzel{t(t-1)}+2+t[/mm]
>
> Nun gut, im Zwischenschritt habe ich davor festgelegt, dass
> ich schonmal KEIN t einsetzten darf, für das gilt 0<t<1
> (das habe ich vor dem ersten Wurzelziehen festgelegt).
> D.h. das sagt mir schonmal:
>
> für 0<t<1 gibt es KEINE Nullstellen
>
> Dann muss ich prüfen, für welche t der Ausdruck
> [mm]\wurzel{t(t-1)}+2+t[/mm] größer oder gleich Null wird.
> Analog bin ich mit dem Ausdruck [mm]-\wurzel{t(t-1)}+2+t[/mm]
> verfahren.
> Dabei muss ich sagen, dass ich einmal quadriert habe, um
> die Wurzel zu beseitigen. Dabei ist mir bewusst, dass ich
> dadurch möglicherweise eine Lösung erhalte, die die
> ursprüngliche Gleichung nicht erfüllt.
> So ging es mir mit der ersten Wurzel: t=4/5 bekam ich als
> Nullstelle heraus, t ist aber für dieses Ergebnis nicht
> definiert, also kann das nicht sein.
Vorsicht mit dieser Formulierung. t ist durchaus definiert, nicht aber [mm] \wurzel{t(t-1)}.
[/mm]
Allerdings hast du dich hier verrechnet. Die mögliche Lösung ist $ t = -\ [mm] \bruch{4}{5} [/mm] $, aber auch das ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
> Dann habe ich gesehen, dass es keine Nullstelle gibt, und
> diese Wurzel für alle t positiv ist.
> D.h. es gibt schonmal mindestens zwei Lösungen für t<0 und
> t>1
>
> Bei [mm]-\wurzel{t(t-1)}+2+t[/mm] sieht die ganze Sache schon
> interessanter aus:
> Hier bekomme ich heraus, dass t>=-4/5 sein muss. Diese
> Nullstelle erfüllt auch die oben genannte Gleichung (d.h.
> für x=-4/5 wird der Term Null).
Du meinst t.
>
> Zusammengefasst ergibt das dann:
>
> für t<-4/5 gibt es zwei Lösungen
> für t=-4/5 gibt es drei Lösungen
> für -4/5<t<0 gibt es vier Lösungen
> für 0<t<1 gibt es KEINE Lösung
> für t=0 oder t=1 gibt es zwei Lösungen
> und für t>1 gibt es vier Lösungen.
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Du hast verständlicherweise die Rechnungen nicht alle ausgeführt. Aber ich denke, du weißt, welche Darstellungsgenauigkeit bzw. -vollständigkeit deine Lehrer erwartet.
Gruß
Sigrid
>
> Slaín,
>
> Kroni
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 So 11.02.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo Kroni,
>
> > Ui, da habe ich mich ja in der ersten Umrechnung schon
> > direkt verhauen....
> > Peinlich, Peinlich*g*
>
> Wie gut, dass das nicht nur mit passiert
Dito.....bin ich auch zum Glück nicht der einzige*g*
> >
> > Nun gut, habe das Ganze nochmals durchgerechnet:
> >
> > Erste Umformung: [mm]f_t(x)=(x^{2}-2-t)^{2}-t^{2}+t[/mm]
> >
> > Das habe ich dann Nullgesetzt:
> > dabei kam ich zu:
> > [mm]x^{2}=\pm\wurzel{t(t-1)}+2+t[/mm]
> >
> > Nun gut, im Zwischenschritt habe ich davor festgelegt, dass
> > ich schonmal KEIN t einsetzten darf, für das gilt 0<t<1
> > (das habe ich vor dem ersten Wurzelziehen festgelegt).
> > D.h. das sagt mir schonmal:
> >
> > für 0<t<1 gibt es KEINE Nullstellen
> >
> > Dann muss ich prüfen, für welche t der Ausdruck
> > [mm]\wurzel{t(t-1)}+2+t[/mm] größer oder gleich Null wird.
> > Analog bin ich mit dem Ausdruck [mm]-\wurzel{t(t-1)}+2+t[/mm]
> > verfahren.
> > Dabei muss ich sagen, dass ich einmal quadriert habe,
> um
> > die Wurzel zu beseitigen. Dabei ist mir bewusst, dass ich
> > dadurch möglicherweise eine Lösung erhalte, die die
> > ursprüngliche Gleichung nicht erfüllt.
> > So ging es mir mit der ersten Wurzel: t=4/5 bekam ich
> als
> > Nullstelle heraus, t ist aber für dieses Ergebnis nicht
> > definiert, also kann das nicht sein.
>
> Vorsicht mit dieser Formulierung. t ist durchaus definiert,
> nicht aber [mm]\wurzel{t(t-1)}.[/mm]
Ja, damit wollte ich sagen, dass man die Lösung nicht für t einsetzen darf, da sonst der Ausdruck unter der Wurzel negativ wird....
>
> Allerdings hast du dich hier verrechnet. Die mögliche
> Lösung ist [mm]t = -\ \bruch{4}{5} [/mm], aber auch das ist keine
> Lösung der Wurzelgleichung.
Jip, hatte ebenfalls -4/5 heraus....
>
> > Dann habe ich gesehen, dass es keine Nullstelle gibt, und
> > diese Wurzel für alle t positiv ist.
> > D.h. es gibt schonmal mindestens zwei Lösungen für t<0
> und
> > t>1
> >
> > Bei [mm]-\wurzel{t(t-1)}+2+t[/mm] sieht die ganze Sache schon
> > interessanter aus:
> > Hier bekomme ich heraus, dass t>=-4/5 sein muss. Diese
> > Nullstelle erfüllt auch die oben genannte Gleichung (d.h.
> > für x=-4/5 wird der Term Null).
>
> Du meinst t.
Richtig*g*
> >
> > Zusammengefasst ergibt das dann:
> >
> > für t<-4/5 gibt es zwei Lösungen
> > für t=-4/5 gibt es drei Lösungen
> > für -4/5<t<0 gibt es vier Lösungen
> > für 0<t<1 gibt es KEINE Lösung
> > für t=0 oder t=1 gibt es zwei Lösungen
> > und für t>1 gibt es vier Lösungen.
>
>
>
> Du hast verständlicherweise die Rechnungen nicht alle
> ausgeführt. Aber ich denke, du weißt, welche
> Darstellungsgenauigkeit bzw. -vollständigkeit deine Lehrer
> erwartet.
>
> Gruß
> Sigrid
> >
> > Slaín,
> >
> > Kroni
> >
> >
>
Danke fürs Nachsehen!
Slaín,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Di 27.03.2007 | | Autor: | Mr.Chaos |
Um die erste Aufgabe zu beantworten kann man sich die Funktion einfach vorstellen und dann richtig "raten":
[mm] -x^3 [/mm] bestimmt die Funktion, daher gibt es bei jeden a mind. eine Nullstelle.
der Einfluß der Funktion 1. Grades: [mm] a^2*x-x [/mm] wirkt nur im Bereich der kleinen Zahlen, formulier ich mal so...
Die erste Zahl die man rät wäre a=1, aber bei 1 und -1 fällt die Funktion 1. Grades [mm] weg:1^2*x-x=0! [/mm] Also"herrscht nur die Funktion [mm] -x^3! [/mm] Folge: Nur eine Nullstelle!
Bei kleineren Werten von a, also -1<a<1 gibt die Funktion -x den Ton an bei kleinen Zahlen, doch die verhält sich ähnlich der Funktion [mm] -x^3, [/mm] so dass sie keinen weiteren Einfluß auf die Nustellen nimmt! Also -1>a>1 ergibt 1 Nullstelle!
Ist a größer als 1,nimmt die Funktion [mm] a^2*x [/mm] entscheidend Einfluß im kleinen Bereich der ganzen Funktion, die Folge sind 2 Extrema.
Bei a = 2 kommt es dann zu einer weiteren Nullstelle, hierbei ist entscheidend, dass der Tiefpunkt auf der Nullstelle liegt(Ableiten oder Punktproben um die Nullstelle herum, oder man sieht es sofort(nicht so schwierig bei der Funktion)). Folge: 2 Nullstellen bei a=2 und a=-2!(Punktsymmetrie) Bei größeren Werten von a=2 liegt das Extremum unter der X-Achse,daher gilt:
3 Nullstellen für alle a>2 und wegen der Punktsyymetrie a<-2! Das sieht man schnell mit ein wenig Übung und "Knobbeln".
Ergebnis: 2 Nullstellen bei a=2 und a=-2
3 Nullstellen bei a >2 und a<-2
1 Nullstelle für alle a's im Bereich -1 und 1
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