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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Di 03.02.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo, könnt ihr mir nen Tipp bei der Aufgabe geben? Ich hab mal wieder nen massives Eichenbrett vor dem Kopf.
Gegeben sei die folgende Abbildungsvorschrift:
f(x) := exp([mm]\bruch{ln(1+x²)}{x}[/mm].
Bestimmen Sie den größt möglichen Definitionsbereich zu f und geben Sie die Grenzwerte von f an den Rändern des Definitionsbereiches an.
Danke schon mal!!
Euer
Nick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Di 03.02.2004 | | Autor: | Marc |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Nick,
dann will ich mir nochmal an Grenzwerten die Finger verbrennen 
Der maximal Definitionsbereich ist offenbar $D=\IR\setminus\{0\}$, denn das Argument des Logarithmus ist für alle $x\in\IR$ positiv, und $\exp$ schränkt den Definitionsbereich auch nicht ein. "Probleme" macht nur der Nenner des Bruches, wenn er Null wird, also bei $x=0$.
Damit ergeben sich vier Ränder des Definitionsbereichs:
(a) $-\infty$
(b) $+\infty$
(c) $-0$ (von links an die Null)
(d) $+0$ (von rechts an die Null)
Bei all diesen Grenzwerten müßtest du mit den Sätzen von l'Hôpital weiter kommen, ich probiere es mal für (b):
Und zwar berechne ich zunächst den Limes des Arguments von $\exp$, da
$\limes \exp\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right) = \exp\left( \limes \frac{f(x)}{g(x)}\right)$
gilt, wegen der Stetigkeit von $\exp$.
$\limes_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x}=\limes_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}}$
Es gilt $f(x)=\ln(1+x^2)\to+\infty$ und $g(x)=x\to+\infty$ für $x\to+\infty$, nach dem Satz von l'Hôpital wäre der Limes also gleich (unter der Voraussetzung, dass folgender Limes überhaupt exisitiert):
$=\limes_{x\to\+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
$=\limes_{x\to\+\infty}\frac{2x*\frac{1}{1+x^2}}{1}$
$=\limes_{x\to\+\infty}\frac{2x}{1+x^2}=0$
Damit haben wir
$\limes_{x\to+\infty}\exp\left( \frac{\ln(1+x^2)}{x}\right)$
$=\exp\left( \limes_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}}\right) $
$=\exp\left( \limes_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}}\right) $
$=\exp\left( 0 \right) $
$=1$
Kommst du nun zurecht mit den anderen Grenzwerten? Falls nicht, weißt du ja, wo du uns findest 
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Di 03.02.2004 | | Autor: | Nick |
Danke,
habe jetzt alles verstanden. Hatte wohl ein Brett vor dem Kopf.
Nick.
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