Nullstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Yami |
Mal wieder mit einer frage... tut mir erlich leid, blo ich bin nicht gerade ein Ass in Mathe...
und zwar habe ich follgene funktion:
f(x) = [mm] arctan(\bruch{x³ - 1}{x - 1})
[/mm]
So ich sollte einmal überprüfen ob eine symmetriebedingung erfüllt wird, das habe ich so gemacht:
f(-x) = [mm] arctan(\bruch{(-x)³ - 1}{-x - 1})
[/mm]
das ist dann
f(-x) = [mm] arctan(\bruch{x³ - 1}{x - 1}), [/mm] weil ja - im Zähler und - Nenner machen den bruch +, also ist die Funktion gerade. Hoffe das ist richtig.
Die zweite sache ist bestimme alle Nulstellen der Funktion:
Nun habe ich verschiedene tipps bekommen, die meinten das ich bei sowas immer nur den Zähler betrachten darf weil der Nenner nicht 0 werden darf, das ist aber hier nicht der fall weil mit x=0 wird der Nenner nicht 0 sondern -1.... also wie gehe ich bei solchen aufgaben vor wenn es um Nulstellen geht?
Hier mal noch ne andere Aufgabe:
f(x) = [mm] arcsin(\bruch{x}{\wurzel{x² + 1}})
[/mm]
wie würde ich hier bei der nulstellen ermitlung vorgehen..?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
Deine Rechnung bzgl. der Symmetrie ist falsch.
Wenn du das Minus in Zähler und Nenner ausklammerst, dann steht da f(-x) = [mm] arctan(\bruch{x^{3}+1}{x+1}) \not= [/mm] f(x).
Die Funktion ist trotzdem symmetrisch, aber bzgl. der senkrechten Geraden durch x = -1/2.
Das siehst du, wenn du [mm] \bruch{x^{3}-1}{x-1} [/mm] kürzt zu [mm] x^{2}+x+1. [/mm] Das ist dann eine einfache Parabel mit Scheitel bei x = -1/2. Da der arctan eine ungerade Funktion ist, folgt, dass f eben die oben genannte Symmetrie aufweist.
Zeigen kannst du das in dem du f(x) = f(-(x+1/2)-1/2) zeigst.
Bei der Suche nach den Nullstellen musst du erstmal schauen wo die äußere Funktion Nullstellen hat.
Beim arctan wäre das der Punkt [mm] x_{0} [/mm] = 0. Jetzt schau, für welche x die innere Funktion diesen Wert annimmt. Das sind dann die Nullstellen.
Beim arcsin gehst du genauso vor.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Yami |
Hallo, danke für die Antwort, das mit der Symmetrie verstehe ich nicht so ganz, dadurch das ich das - ausklammere steht ja wie du sagtes:
f(-x) = [mm] arctan(\bruch{x³ - 1}{x - 1}) [/mm] und das ist dann doch eigentlich gerade weil ich habe fllgende rechenregel in meinem skript vom prof:
f(-x) = f(x) [mm] \forall x\in [/mm] Df -> heißt gerade
f(-x) = -f(x) [mm] \forall x\in [/mm] Df - > heißt ungerade
Da ich das nun gezeigt habe das wenn ich -x einsetze es positiv bleibt ist das richtig oder nicht?
hier mal ne Beispiel Aufgabe von unserem prof:
f(x) = x * [mm] arctan(\bruch{1}{x³})
[/mm]
Symmetrie:
f(-x) = (-x) * [mm] arctan(\bruch{1}{(-x)³})
[/mm]
f(-x) = (-x) * arctan(- [mm] \bruch{1}{x³})
[/mm]
f(-x) = (-x) * (- [mm] arctan(\bruch{1}{x³}))
[/mm]
f(-x) = x * [mm] arctan(\bruch{1}{x³})
[/mm]
f(-x) = f(x) also gerade
Daher dachte ich das das richtig sei....> Deine Rechnung bzgl. der Symmetrie ist falsch.
Bei den Nulsstellen wäre die erste Stelle dann NST ja 0 klar wegen weil sie bei x = 0 durch 0 ght also f(0) = 0,
Weiter würde ich so vorgehen ich nehme den Zähler arctan(x³ - 1) und würde dann weiter Nulstellen ausrechnen, oder?
Bei der zweiten Aufgabe:
f(x) = [mm] arcsin(\bruch{x}{\wurzel{x² + 1}})
[/mm]
Dort habe ich eine Df von [0 , [mm] \infty)
[/mm]
wegen der Wurzel die darf nicht negativ werden und so bleibt auch der nenner ungleich 0.
Jetzt meine Symmetrie:
f(-x) = [mm] arcsin(\bruch{-x}{\wurzel{(-x)² + 1}})
[/mm]
f(-x) = [mm] arcsin(\bruch{-x}{\wurzel{x² + 1}}) [/mm] hier habe ich im nenner das - entfernt da es sowie so positiv bleiben muss... habe ich da richtig argumentiert?
f(-x) = arcsin(- [mm] \bruch{x}{\wurzel{x² + 1}})
[/mm]
f(-x) = - [mm] arcsin(\bruch{x}{\wurzel{x² + 1}})
[/mm]
f(-x) = -f(x) also ungerade
Bei den Nulstellen habe ich dann follgende betrachtung:
arcsin(x) = 0
x = 0
Also Nulstelle bei x = 0
Jetzt soll ich das Verhalten am rand von Df feststellen:
mein Df [0 , [mm] \infty)
[/mm]
also einmal mein lim von 0 linksseitig und lim [mm] \infty [/mm] rechtsseitig, doch muss ich jetzt normal den grenzwert ausrechnen, könnt ih mir hier nen beispiel geben, weil einige sagten du musst das einfach gegen 0 und [mm] \infty [/mm] laufen lassen, aber das sagt mir wenig, gibt es für all diese dinge irgendwie einen trick oder ein muster wie ich da vorgehen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 19.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Yami,
lies bzgl der Symmetrie bitte zuerst meine Korrekturmitteilung.
> Bei den Nulsstellen wäre die erste Stelle dann NST ja 0
> klar wegen weil sie bei x = 0 durch 0 ght also f(0) = 0,
Folge dem Hinweis von Merle bzw Loddar:
Der arctan verschwindet nur bei 0.
Der Bruch wird aber nie Null, weil die 1 nicht im Definitionsbereich liegt.
Folglich hat die Funktion keine Nullstelle.
> Bei der zweiten Aufgabe:
>
> f(x) = [mm]arcsin(\bruch{x}{\wurzel{x² + 1}})[/mm]
>
> Dort habe ich eine Df von [0 , [mm]\infty)[/mm]
> wegen der Wurzel die darf nicht negativ werden und so
> bleibt auch der nenner ungleich 0.
überleg noch einmal... Der Radikand kann nicht negativ werden.
> Jetzt meine Symmetrie:
> f(-x) = [mm]arcsin(\bruch{-x}{\wurzel{(-x)² + 1}})[/mm]
> f(-x) =
> [mm]arcsin(\bruch{-x}{\wurzel{x² + 1}})[/mm] hier habe ich im nenner
> das - entfernt da es sowie so positiv bleiben muss... habe
> ich da richtig argumentiert?
> f(-x) = arcsin(- [mm]\bruch{x}{\wurzel{x² + 1}})[/mm]
> f(-x) = -
> [mm]arcsin(\bruch{x}{\wurzel{x² + 1}})[/mm]
>
> f(-x) = -f(x) also ungerade
das stimmt.
> Bei den Nulstellen habe ich dann follgende betrachtung:
>
> arcsin(x) = 0
> x = 0
>
> Also Nulstelle bei x = 0
wohl wahr, obwohl mir die Begründung nicht ausreichen würde.
> Jetzt soll ich das Verhalten am rand von Df feststellen:
das erübrigt sich.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Yami |
ach ja ich glaube ich weiß was du meinst da bei der funktion
[mm] arcsin(\bruch{x}{\wurzel{x² + 1}})
[/mm]
der nener [mm] \wurzel{x² + 1} [/mm] kann ganz [mm] \IR [/mm] als Df genommen werden da egal ob eine negative zahl eingesetzt wird sie wird ja wegen x² positiv und mit der 0 ist das so weil wenn wir fü x = 0 einsetzten wird ja noch die 1 draufaddiert, dadurch wird der nener nie 0, ich würde sagen das wäre jetzt richtig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Sa 19.01.2008 | | Autor: | koepper |
> ach ja ich glaube ich weiß was du meinst da bei der
> funktion
>
> [mm]arcsin(\bruch{x}{\wurzel{x² + 1}})[/mm]
>
> der nener [mm]\wurzel{x² + 1}[/mm] kann ganz [mm]\IR[/mm] als Df genommen
> werden da egal ob eine negative zahl eingesetzt wird sie
> wird ja wegen x² positiv und mit der 0 ist das so weil wenn
> wir fü x = 0 einsetzten wird ja noch die 1 draufaddiert,
> dadurch wird der nener nie 0, ich würde sagen das wäre
> jetzt richtig.
korrekt
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:29 Sa 19.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Merle,
> Deine Rechnung bzgl. der Symmetrie ist falsch.
> Wenn du das Minus in Zähler und Nenner ausklammerst, dann
> steht da f(-x) = [mm]arctan(\bruch{x^{3}+1}{x+1}) \not=[/mm] f(x).
> Die Funktion ist trotzdem symmetrisch, aber bzgl. der
> senkrechten Geraden durch x = -1/2.
nicht ganz. Die stetig hebbare Lücke vereitelt die Symmetrie.
> Das siehst du, wenn du [mm]\bruch{x^{3}-1}{x-1}[/mm] kürzt zu
> [mm]x^{2}+x+1.[/mm] Das ist dann eine einfache Parabel mit Scheitel
> bei x = -1/2.
sehen wir von der Lücke ab, hast du bis hier Recht.
> Da der arctan eine ungerade Funktion ist,
> folgt, dass f eben die oben genannte Symmetrie aufweist.
Die Begründung ist nicht korrekt/überflüssig. Ist die innere Funktion einer Verkettung achsensymmetrisch, dann schlägt diese Symmetrie immer auf die Verkettung durch, egal wie die äußere(n) Funktion(en) aussehen.
> Zeigen kannst du das in dem du f(x) = f(-(x+1/2)-1/2)
> zeigst.
das ist mir leider schleierhaft und stimmt auch nicht.
> Bei der Suche nach den Nullstellen musst du erstmal schauen
> wo die äußere Funktion Nullstellen hat.
> Beim arctan wäre das der Punkt [mm]x_{0}[/mm] = 0. Jetzt schau, für
> welche x die innere Funktion diesen Wert annimmt. Das sind
> dann die Nullstellen.
> Beim arcsin gehst du genauso vor.
das ist wahr 
LG
Will
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(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 16:04 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ok, dass die Lücke die Symmetrie vereitelt, da haste Recht. Das hab ich nicht bedacht.
Dass meine Begründung dazu fehlerhaft war, weil die Symmetrie der äußeren Funktion gar keine Rolle spielt, da hast du auch Recht.
Aber dass f(x) [mm] \not= [/mm] f(-(x+1/2)-1/2) sein soll, da hast du diesmal Unrecht.
Denn es gilt f(-(x+1/2)-1/2) = f(-x-1) = arctan [mm] \bruch{(-x-1)^{3}-1}{(-x-1)-1} [/mm] = arctan [mm] \bruch{-x^{3}-3x^{2}-3x-2}{-x-2} [/mm] = arctan [mm] \bruch{x^{3}+3x^{2}+3x+2}{x+2} [/mm] = arctan [mm] (x^{2}+x+1) [/mm] = arctan [mm] \bruch{x^{3}-1}{x-1} [/mm] = f(x).
Wieso schreib ich das so kompliziert mit f(-(x+1/2)-1/2)? Da die Symmetrieachse bei x=-1/2 liegt muss die Funktion erst um 1/2 nach Rechts verschoben, dann gespiegelt und dann wieder um 1/2 zurückgeschoben werden.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:02 Sa 19.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Merle,
> Aber dass f(x) [mm]\not=[/mm] f(-(x+1/2)-1/2) sein soll, da hast du
> diesmal Unrecht.
> Denn es gilt f(-(x+1/2)-1/2) = f(-x-1) = arctan
> [mm]\bruch{(-x-1)^{3}-1}{(-x-1)-1}[/mm] = arctan
> [mm]\bruch{-x^{3}-3x^{2}-3x-2}{-x-2}[/mm] = arctan
> [mm]\bruch{x^{3}+3x^{2}+3x+2}{x+2}[/mm] = arctan [mm](x^{2}+x+1)[/mm] =
> arctan [mm]\bruch{x^{3}-1}{x-1}[/mm] = f(x).
> Wieso schreib ich das so kompliziert mit f(-(x+1/2)-1/2)?
> Da die Symmetrieachse bei x=-1/2 liegt muss die Funktion
> erst um 1/2 nach Rechts verschoben, dann gespiegelt und
> dann wieder um 1/2 zurückgeschoben werden.
Sieht man von der Lücke ab, hast du Recht!
Aber bedenke bitte, daß zum Nachweis der Symmetrie die gesamte Gleichungskette aus Identitäten bestehen (d.h. für alle $x [mm] \in [/mm] D(f)$ gelten) muß. Dabei sind deine Brucherweiterungen und Kürzungen problematisch wegen der damit verbundenen Einschränkung bzw Erweiterung des Def-Bereichs.
Deine ansonsten korrekte Idee habe ich aber hier offenbar nicht hinreichend gewürdigt, sorry!
Weiterhin viel Freude im Forum!
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Yami |
Da jetzt hier ein reges hin und her herschte und ich keine mathe student/prof/lehrer bin :-D wollte ich nachfragen ob meine betrachtung beim
f(-x) = [mm] arctan(\bruch{x³ - 1}{x - 1}) [/mm] = f(x) stimmt und somit gerade ist....?
Was mich noch ein wenig stört ist... wenn ich f(x) an den rändern von Df prüfe muss ich da eine Grenzwert betrachtung machen?
und wie kann ich mir erklären das wenn ich eine Funktion habe wo ich die Nulstellen suchen soll einfach hergehen kann und bei einer funktion:
[mm] arctan(\bruch{x³ - 1}{x - 1})
[/mm]
einfach sagen kann ich muss nur den zähler untersuchen also arctan(x³ - 1) weil dann kommt neben 0 ja noch + 1 und - 1 raus.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
> f(-x) = [mm]arctan(\bruch{x³ - 1}{x - 1})[/mm] = f(x) stimmt und
> somit gerade ist....?
Nein, stimmt nicht. Denn es ist f(-x) = [mm]arctan(\bruch{x³ + 1}{x + 1})[/mm] [mm] \not=[/mm] [mm]arctan(\bruch{x³ - 1}{x - 1})[/mm] = f(x).
Lies dir den ganzen Gesprächsverlauf durch - wir haben schon geschrieben zu welcher Achse die Funktion symmetrisch ist, wie man das zeigt und was der Haken bei der Sache ist (nämlich die Definitionslücke).
Wieso willste die Funktion an den Rändern des Definitionsbereiches überprüfen?
Aber ja, dazu musst du die drei Grenzübergänge [mm] x\to\infty, x\to-\infty [/mm] und [mm] x\to1 [/mm] betrachten.
> und wie kann ich mir erklären das wenn ich eine Funktion
> habe wo ich die Nulstellen suchen soll einfach hergehen
> kann und bei einer funktion:
> [mm]arctan(\bruch{x³ - 1}{x - 1})[/mm]
>
> einfach sagen kann ich muss nur den zähler untersuchen also
> arctan(x³ - 1) weil dann kommt neben 0 ja noch + 1 und - 1
> raus.....
Du willst wissen, wann f(x) = 0 ist, also betrachteste erstmal nur die äußere Funktion.
Diese wäre hier arctan. Der arctan hat nur eine Nullstelle, nämlich den Nullpunkt selber, also arctan(0)=0 und ansonsten für jeden anderen Punkt immer [mm] \not= [/mm] 0.
Jetzt schauste dir die innere Funktion (bei uns also [mm] \bruch{x^{3}-1}{x-1}) [/mm] an und guckst wo sie den Wert annimmt, bei dem die äußere Funktion Null wird (bei uns ist das, wie wir vorher festgestellt haben, nur der Nullpunkt selber).
Also musst du [mm] \bruch{x^{3}-1}{x-1} [/mm] = 0 auflösen. Wenn du jetzt beide Seiten mit den Nenner multiplizierst, dann steht da [mm] x^{3}-1 [/mm] = 0.
Jetzt würde eigentlich noch die Betrachtung für x = 1 kommen, da du ja mit dem Nenner multipliziert hast, dieser aber für x = 1 zu 0 wird, man aber nicht beide Seiten einer Gleichung mit 0 multiplizieren darf.
Diese Betrachtung kannst du dir aber hier sparen, da ja die 1 eh nicht im Definitionsbereich unserer Funktion liegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Yami |
Das mit den Ränder betrachtung sollte ich machen da es in der Aufgabe steht. Weil mir ist das, um erlich zu sein, so egal wie die an den rändern aussieht 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Yami |
Jetzt wo ich mir das mit den rändern genauer angeguckt habe, ist desto größer x wird also gegen [mm] -\infty [/mm] oder [mm] +\infty [/mm] geht, an dem Rand gegen [mm] +\infty [/mm] uberschreitet er niemals [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
also läuft f(x) gegen [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
und bei [mm] -\infty [/mm] nie [mm] -\bruch{\pi}{2}
[/mm]
also läuft hier f(x) gegen [mm] -\bruch{\pi}{2}
[/mm]
ist die argumentation richtig? Das einzige was noch bleibt ist wenn lim bei x - > 1, was passiert den dort?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Jetzt wo ich mir das mit den rändern genauer angeguckt
> habe, ist desto größer x wird also gegen [mm]-\infty[/mm] oder
> [mm]+\infty[/mm] geht, an dem Rand gegen [mm]+\infty[/mm] uberschreitet er
> niemals [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> also läuft f(x) gegen [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> und bei [mm]-\infty[/mm] nie [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> also läuft hier f(x) gegen [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> ist die argumentation richtig?
Für x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] geht f auch gegen [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] da sich hier das Minus wegkürzt bei dem Bruch beim Grenzübergang.
Am besten siehst du das aber, wenn du den Bruch kürzt zu [mm] x^{2}+x+1; [/mm] und das geht ja in beiden Richtungen gegen Plus Unendlich.
> Das einzige was noch bleibt
> ist wenn lim bei x - > 1, was passiert den dort?
Da ist die Funktion ja nicht definiert, weil der Bruch dann eine Null im Nenner hat. Wenn du aber den Bruch so kürzt wie ich es oben gesagt hab, dann hast du auf einmal keine Probleme mehr einfach die 1 einzusetzen.
Das bedeutet, dass dich die Funktion f stetig fortsetzen lässt in den Punkt 1.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yami!
Die Tipps, welche Du erhalten hast, sind richtig:
Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist. Nur musst Du in Deinem Falle aufpassen, da die Nullstelle des Zählers auch Nullstelle des Nenners ist (und damit eine Definitionslücke).
Gruß
Loddar
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