Nullstellen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
hallo ich hab in bezug dieses lösungsverfahren mal ne frage und zwar gibts eine funktion 4 grades daon wollt ich die nullstellen ermitteln eigentlich würd ich hornerschema oder polynomdivision furchführen .. hier wurde aber einfach die funktion einfach gekürtz und p/q formel angewandt . ISt das möglich das man sowas machen darf???
Lösen der biquadratischen Gleichung [mm] 0,1x^4 [/mm] - 2,9x² + 10 = 0
In dieser Gleichung kommt die Unbekannte nur in der vierten und in der zweiten Potenz vor.
Man wandelt sie durch die Substitution x² = y in eine quadratische Gleichung um:
0,1y² - 2,9y + 10 = 0 (*)
Diese wird gelöst:
Lösen der Gleichung 0,1x² - 2,9x + 10 = 0
An der Normalform werden p und q abgelesen,
p ist der Faktor vor dem x, und q ist die einzelne Zahl:
p = -28,999999999999996 q = 100
Diese Werte werden in die p-q-Lösungsformel für x und x eingesetzt:
1 2
___________ ___________
p | p² | p | p² |
x = - - | - q x = - + | - q
1 2 [mm] \| [/mm] 4 2 2 [mm] \| [/mm] 4
x = -(-28,999999999999996)/2 - sqr( (-28,999999999999996)²/4 - 100 )
1
= 14,499999999999998 - sqr( 210,24999999999994 - 100 )
= 14,499999999999998 - sqr(110,24999999999994)
= 14,499999999999998 - 10,499999999999996
= 4
x = -(-28,999999999999996)/2 + sqr( (-28,999999999999996)²/4 - 100 )
2
= 14,499999999999998 + sqr( 210,24999999999994 - 100 )
= 14,499999999999998 + sqr(110,24999999999994)
= 14,499999999999998 + 10,499999999999996
= 25
Es ergaben sich also die Lösungen
y = x² = 4
1 1
y = x² = 25
2 2
Da die ursprüngliche Gleichung mit y = x² substituiert wurde, gewinnt man x aus
diesen Lösungen mit x = sqr(y). Hierbei ist zu beachten, daß die Wurzel eine positive
und eine negative Lösung hat; mithin verdoppelt sich gegebenenfalls die Zahl der
Lösungen.
x = + sqr(4)
1
x = - sqr(4)
2
x = + sqr(25)
3
x = - sqr(25)
4
gruß hasso
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Do 07.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Dieses Verfahren - man nennt es Substitution - ist ein durchaus gängiges Verfahren zur Lösung biquadratischer Gleichungen.
(Auf jeden Fall ist es das eleganteste und schnellste)
Ach ja: Dein Artikel ist deutlich einfacher zu lesen (und zu schreiben), wenn du den Formeleditor nutzt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
hii
ok werd ich demnächst machen .. gibts es irgend welche vorraussetung für dieses "substitionsverfahren" ??
gruß hasso
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo ich hab die funktion f(x) [mm] 0,1x^4-2,9x^2+10 [/mm] mit hilfe des substitionsverfahren habe ich die nullstellen ermittelt x1=5 und x2=2
frage1)
notwendige bedingung ist f'(x) = 0 darf man einfach die nullstellen die mithilfe des substitionsverfahren ermittelt wurden sind in die f''(x) einsetzen ? weil man ja eigentlich die nullstellen der 1 Ableitung gleich nullsetzen muss und die einfügt.?
frage2)
f''(x) =0 (Wendepunkte)
[mm] f''(x)=1,2x^2-5,8=0
[/mm]
hier könnte man ja keine p/qformel einsetzen weil nur q gegeben wär was müsste man hier machen um die wendepunkte rauszufinden .. oder die funktion hat keien wendepunkte , was meint ihr?
gruß hasso
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo ich hab die funktion f(x) $ [mm] 0,1x^4-2,9x^2+10 [/mm] $ mit hilfe des substitionsverfahren habe ich die nullstellen ermittelt x1=5 und x2=2
frage1)
notwendige bedingung ist f'(x) = 0 darf man einfach die nullstellen die mithilfe des substitionsverfahren ermittelt wurden sind in die f''(x) einsetzen ? weil man ja eigentlich die nullstellen der 1 Ableitung gleich nullsetzen muss und die einfügt.?
frage2)
f''(x) =0 (Wendepunkte)
$ [mm] f''(x)=1,2x^2-5,8=0 [/mm] $
hier könnte man ja keine p/qformel einsetzen weil nur q gegeben wär was müsste man hier machen um die wendepunkte rauszufinden .. oder die funktion hat keien wendepunkte , was meint ihr?
gruß hasso
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Hallo hasso,
> Hallo ich hab die funktion f(x) [mm]0,1x^4-2,9x^2+10[/mm] mit hilfe
> des substitionsverfahren habe ich die nullstellen ermittelt
> x1=5 und x2=2
Da hast du aber 2 Nullstellen verschlabbert
Du hast mit der Substitution [mm] $y:=x^2$ [/mm] bestimmt $y=25$ und $y=4$ herausbekommen, oder?
Setze mal wieder für $y$ das [mm] $x^2$ [/mm] ein, dann sind die Lösungen [mm] $x^2=25$ [/mm] und [mm] $x^2=4$, [/mm] also [mm] $x=\pm [/mm] 5, [mm] x=\pm [/mm] 2$
>
>
> frage1)
> notwendige bedingung ist f'(x) = 0 darf man einfach die
> nullstellen die mithilfe des substitionsverfahren ermittelt
> wurden sind in die f''(x) einsetzen ?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") verstehe ich nicht ganz, was genau meinst du?
Die Nullstellen der Funktion f sind doch nicht die der Ableitung f'
Hier ist die 1. Ableitung f'(x) vom Grade 3 (also was mit [mm] x^3 [/mm] als höchster Potenz), also ist da nix mit Substitution...
> weil man ja
> eigentlich die nullstellen der 1 Ableitung gleich
> nullsetzen muss und die einfügt.?
Ja, die Nullstellen [mm] $x_N$ [/mm] von f', die du - wie auch immer  - ermittelst, sind potentielle Extrema, diese setzt du dann in f'' ein, also [mm] $f''(x_N)$ [/mm] ermitteln usw.
> frage2)
>
> f''(x) =0 (Wendepunkte)
> [mm]f''(x)=1,2x^2-5,8=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
2. Ableitung stimmt !
>
> hier könnte man ja keine p/qformel einsetzen weil nur q
> gegeben wär
du könntest, um die p/q-Formel zu nehmen, [mm] $\red{p=0}$ [/mm] ansetzen, einfacher ist es aber, einfach umzustellen, alles ohne x auf die rechte Seite:
[mm] $f''(x)=0\gdw 1,2x^2-5,8=0\gdw 1,2x^2=5,8\quad\mid [/mm] :1,2$ auf beiden Seiten usw...
> was müsste man hier machen um die wendepunkte
> rauszufinden .. oder die funktion hat keien wendepunkte ,
> was meint ihr?
>
>
> gruß hasso
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
hey schuzipus ich hab mir überlegt um das thema schnell und unkomplitziert zu verstehen mit einer einfachen funktion das ganze zu starten.
und zwar mit der funktion:
f(x) = [mm] 3x^3 -5x^2 [/mm] + 8
f'(x)= [mm] 9x^2 [/mm] -10x
f''(x)=18x-10
f'''(x)=18
Extrema
[mm] f'=9x^2-10x=0 [/mm] |/9
[mm] x^2-\bruch{10}{9}x
[/mm]
[mm] p=-\bruch{10}{9}x [/mm] q=0
[mm] f''(-\bruch{10}{9}) [/mm] = [mm] 18(-\bruch{10}{9})-10=10 [/mm] Minimum
f''(0)=18*0-10=-10 Maximum
Wendepunkte
f''(x)18x-10=0 |+10
18x=10/18
[mm] x=\bruch{10}{18} [/mm] =5/9
f'''(5/9)=18
es liegt ein Wendepunkt vor ! ist er bei 18 oder bei 5/9 ??
Ist das alle so ok oder hab ich was vergessen ?
lieben gruß hasso
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Hallo!
Deine Ableitungen sind in Ordnung!
Für Extrema gilt:
1. notwendige Bedingung: f'(x)=0
2. hinreichende Bedingung: f'(x)=0 [mm] \wedge [/mm] f''(x) [mm] \not=0
[/mm]
So jetzt nehmen wir deine 1. Ableitung: f'(x)=9x²-10x und setzen sie 0.
9x²-10x=0 Hier brauchst du gar nicht die p-q Formel denn du kannst ausklammern. Also Kandidaten für Extrema (Nullstellen der 1. Ableitung) solltest du [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=\bruch{10}{9} [/mm] herausbekommen.
So und nun setzen wir die zwei gefundenen Kandidaten in die 2. Ableitung ein und schauen was raus kommt. Ist f''(x)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt oder ist f''(x)<0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt. Hast du nun herausgefunden ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt dann setzt du den Kandidaten in die Ausgangsfunktion und das ist dein y-Wert des Extrema.  Du hast das alles schon gemacht wie ich sehe aber du hast nur geschrieben dass ein Minimum bzw ein Maximum vorliegt aber hast diese nicht bestimmt. Für einen Punkt des Extremas gilt [mm] EP(x_{Kandidat} [/mm] / y-Wert)
Zu den Wendepunkten:
1. notwendige Bedingung f''(x)=0
2. hinreichende Bedingung f'''(x) [mm] \not=0 [/mm]
Also setze die 2.ableitung null dann bekommst du den Kandidaten diesen setzt du in die 3. Ableitung ein und es muss etwas [mm] \not=0 [/mm] heruaskommen. wenn dies so ist dann setzt du den kandidaten in die ausgangsgleichung ein. Du erhälst den y-Wert. Dann lautet dein Wendepunkt [mm] WP(x_{Kandidat} [/mm] / y_wert)
Ich gebe dir noch die Lösungen zur Selbstkontrolle: HP(8 / 0), [mm] TP(\bruch{10}{9} [/mm] / [mm] \bruch{1444}{243}) [/mm] und [mm] WP(\bruch{5}{9} [/mm] / [mm] \bruch{1694}{243})
[/mm]
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
> Hallo hasso,
>
> > Hallo ich hab die funktion f(x) [mm]0,1x^4-2,9x^2+10[/mm] mit hilfe
> > des substitionsverfahren habe ich die nullstellen ermittelt
> > x1=5 und x2=2
>
> Da hast du aber 2 Nullstellen verschlabbert
>
> Du hast mit der Substitution [mm]y:=x^2[/mm] bestimmt [mm]y=25[/mm] und [mm]y=4[/mm]
> herausbekommen, oder?
>
> Setze mal wieder für [mm]y[/mm] das [mm]x^2[/mm] ein, dann sind die Lösungen
> [mm]x^2=25[/mm] und [mm]x^2=4[/mm], also [mm]x=\pm 5, x=\pm 2[/mm]
>
genau ich hab 25 und 4 raus bekommen und jeweils von jedem die Wurzel .
Ich versteh nicht ganz, wo soll ich das einfügen?
gruß hasso
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Hallo nochmal,
> > Hallo hasso,
> >
> > > Hallo ich hab die funktion f(x) [mm]0,1x^4-2,9x^2+10[/mm] mit hilfe
> > > des substitionsverfahren habe ich die nullstellen ermittelt
> > > x1=5 und x2=2
> >
> > Da hast du aber 2 Nullstellen verschlabbert
> >
> > Du hast mit der Substitution [mm]y:=x^2[/mm] bestimmt [mm]y=25[/mm] und [mm]y=4[/mm]
> > herausbekommen, oder?
> >
> > Setze mal wieder für [mm]y[/mm] das [mm]x^2[/mm] ein, dann sind die Lösungen
> > [mm]x^2=25[/mm] und [mm]x^2=4[/mm], also [mm]x=\pm 5, x=\pm 2[/mm]
> >
>
> genau ich hab 25 und 4 raus bekommen und jeweils von jedem
> die Wurzel .
> Ich versteh nicht ganz, wo soll ich das einfügen?
Was meinst du?
Das sind deine 4 Nullstellen der Funktion f
f(-5)=f(5)=f(-2)=f(2)=0
>
>
> gruß hasso
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Fr 08.02.2008 | | Autor: | hasso |
hii,
> > Da hast du aber 2 Nullstellen verschlabbert
also ich meinte das ich nur 2 Nullstellen ermitteln konnte . 5 und 2 die anderen beiden hab ich nicht ermitteln können ..
Wie ermittelt man die anderen zwei .. war die frage
gruß haso
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Hallo,
nein das stimmt doch nicht. Du musst am Ende resubstituieren, also:
[mm] x^{2}=25 \gdw x_{1;2}=\pm\wurzel{25}=\pm5
[/mm]
[mm] x^{2}=4 \gdw x_{1;2}=\pm\wurzel{4}=\pm2
[/mm]
Wenn du die Wurzel ziehst hast du immer [mm] \pm [/mm] , weil sowohl [mm] (-2)^{2} [/mm] 4 ergibt, also auch [mm] 2^{2}, [/mm] genau so bei (-5) und 5.
Lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Fr 08.02.2008 | | Autor: | hasso |
hey schuzipus .. nun haben wir ja die 4 nullstellen der Funktion
[mm] f(x)0,1x^4-2x^2+10
[/mm]
[mm] f'(x)=0,4x^3-4x
[/mm]
[mm] f''(x)=1,2x^2-4
[/mm]
f'''(x)=2,4x
4 Nullstellen gibt es 5,-5,2,-2
frage1)
Um jetzt extrema zu berechnen muss man ja die erste Ableitung nicht gleich nullsetzen weill wir schon die Nullstellen haben, stimmts?
frage2)
Welche Nullstellenkombination soll dann in der f''(x) um Maxima und Minima zu berechnen ? ich glaub eine positive und eine Negative Zahl oder ?
gruß hasso
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Hallo hasso,
nein, die Nullstellen der Funktion f haben doch so gar nix mit den Extremstellen zu tun.
Dazu musst du die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen, also
$f'(x)=0$......
Diese errechneten NST der 1. Ableitung dann in die 2.Ableitung reinstopfen und schauen, ob der Wert, der dabei herauskommt >0 [mm] \rightarrow [/mm] Minimum oder <0 [mm] \rightarrow [/mm] Maximum ist
> hey [mm] sch\red{ach}uzipus [/mm] .. nun haben wir ja die 4 nullstellen der
> Funktion
>
> [mm]f(x)0,1x^4-2x^2+10[/mm]
> [mm]f'(x)=0,4x^3-4x[/mm]
> [mm]f''(x)=1,2x^2-4[/mm]
> f'''(x)=2,4x
die Ableitungen stimmen alle !!
>
> 4 Nullstellen gibt es 5,-5,2,-2
> frage1)
> Um jetzt extrema zu berechnen muss man ja die erste
> Ableitung nicht gleich nullsetzen weill wir schon die
> Nullstellen haben, stimmts? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, s. oben, wir haben nur die NST der Funktion, du brauchst die NST der ersten Ableitung:
[mm] $f'(x)=0\gdw 0,4x^3-4x=0\gdw x(0,4x^2-4)=0 [/mm] .....$
Den Rest du ...
>
> frage2)
> Welche Nullstellenkombination soll dann in der f''(x) um
> Maxima und Minima zu berechnen ? ich glaub eine positive
> und eine Negative Zahl oder ?
Alle Kandidaten, also alle NST [mm] x_N [/mm] der ersten Ableitung musst du probieren
Ist [mm] f''(x_N)>0 [/mm] hast du ein Minimum, ist [mm] f''(x_N)<0 [/mm] ein Maximum
>
> gruß hasso
>
dito
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:10 Fr 08.02.2008 | | Autor: | hasso |
> Hallo hasso,
>
> nein, die Nullstellen der Funktion f haben doch so gar nix
> mit den Extremstellen zu tun.
achsooooo endlich das war mir nicht so ganz klar!!
ok, was mir noch nicht so ganz klar ist: Funktion ist 4 grades [mm] -0,1x^4-2,9x^2+10 [/mm] soll man erst die 1 Ableitung machen und dann Polynomdivision oder erst die Polynomdivision oder Honerschema und dann die erste Ableitung und die p/q Formel anzuwenden und im anschluss die Nullstellen zu berechnen.
Ich hoffe du weißt was ich meine..
Ist dein name dito? damit ich dich damit ansprechen kann weil schachuzipus heißt du sicherlich nicht
gruß hasso
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Hallo hasso,
nein, der Name ist schachuzipus, dito heißt "ebenfalls"
Du solltest die Antworten, die du bekommst, etwas sorgfältiger lesen.
Irgendwo weit oben hatte ich etwas dazu geschrieben:
Die Funktion ist ein Polynom 4. Grades, da konntest du die NST elegant durch ne Substitution bestimmen.
Die 1. Ableitung ist dann ein Polynom 3.Grades, da hilft dann in den meisten Fällen nur Raten oder ein Näherungsansatz weiter, um eine NST zu bestimmen.
Wenn du "Glück" hast und eine "nette" NST [mm] x_{\text{nett}} [/mm] bekommst, kannst du mittels Polynomdivision [mm] $f'(x):(x-x_{\text{nett}})$ [/mm] das Polynom auf eines mit Grad 2 herunterschrauben und dann mit der p/q-Formel oder quadrat. Ergänzung weitermachen
Hier hast du gar noch mehr Glück, du kannst ja direkt bei der 1. Ableitung ein x ausklammern und hast direkt ne NST, die anderen - wenn es denn noch welche gibt - kannst du dann mit der p/q-Formel bzw. durch direktes Umstellen nach [mm] x^2 [/mm] bestimmen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:03 Fr 08.02.2008 | | Autor: | hasso |
hey schachuzipus
> Die 1. Ableitung ist dann ein Polynom 3.Grades, da hilft
> dann in den meisten Fällen nur Raten oder ein
> Näherungsansatz weiter, um eine NST zu bestimmen.
>
> Wenn du "Glück" hast und eine "nette" NST [mm]x_{\text{nett}}[/mm]
> bekommst, kannst du mittels Polynomdivision
> [mm]f'(x):(x-x_{\text{nett}})[/mm] das Polynom auf eines mit Grad 2
> herunterschrauben und dann mit der p/q-Formel oder quadrat.
> Ergänzung weitermachen
man könnte doch die Nullstellen des Substitionsverfahren für die Polynomdivision verwenden oder darf man das nicht ?
> Hier hast du gar noch mehr Glück, du kannst ja direkt bei
> der 1. Ableitung ein x ausklammern und hast direkt ne NST,
> die anderen - wenn es denn noch welche gibt - kannst du
> dann mit der p/q-Formel bzw. durch direktes Umstellen nach
> [mm]x^2[/mm] bestimmen
hab das mit dem ausklammern noch nie so wikrlich gemacht
[mm] f'(x)=x(0,4x^2-5,8)
[/mm]
dann -5,8 /0,4
[mm] x^2=14,5
[/mm]
gruß hasso
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Hallo nochmal,
> hey schachuzipus
>
> > Die 1. Ableitung ist dann ein Polynom 3.Grades, da hilft
> > dann in den meisten Fällen nur Raten oder ein
> > Näherungsansatz weiter, um eine NST zu bestimmen.
> >
> > Wenn du "Glück" hast und eine "nette" NST [mm]x_{\text{nett}}[/mm]
> > bekommst, kannst du mittels Polynomdivision
> > [mm]f'(x):(x-x_{\text{nett}})[/mm] das Polynom auf eines mit Grad 2
> > herunterschrauben und dann mit der p/q-Formel oder quadrat.
> > Ergänzung weitermachen
>
> man könnte doch die Nullstellen des Substitionsverfahren
> für die Polynomdivision verwenden oder darf man das nicht
> ?
Nein, nochmal: die NST, die du mit dem Substitutionsverfahren bestimmt hast, sind die Nullstellen der Funktion [mm] \red{f(x)}
[/mm]
Was du für die Extrema brauchst, sind die Nullstellen der 1. Ableitung [mm] \green{f'(x)}
[/mm]
Und die hast du (fast) richtig, es ist nur kuddelmuddel aufgeschrieben
> > Hier hast du gar noch mehr Glück, du kannst ja direkt bei
> > der 1. Ableitung ein x ausklammern und hast direkt ne NST,
> > die anderen - wenn es denn noch welche gibt - kannst du
> > dann mit der p/q-Formel bzw. durch direktes Umstellen nach
> > [mm]x^2[/mm] bestimmen
>
> hab das mit dem ausklammern noch nie so wikrlich gemacht
> [mm]f'(x)=x(0,4x^2-5,8)[/mm]
> dann -5,8 /0,4
> [mm]x^2=14,5[/mm]
Jein, also ist dann [mm] $f'(x)=0\gdw x(0,4x^2-5,8)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x=0 [mm] \vee 0,4x^2-5,8=0\gdw [/mm] x=0 [mm] \vee x^2=14,5$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x=0 [mm] \vee x=\sqrt{14,5} \vee x=-\sqrt{14,5}$
[/mm]
Diese 3 potentiellen Extremstellen nun in die 2.Ableitung [mm] \blue{f''(x)} [/mm] einsetzen und schauen, ob das > oder < 0 ist für Min oder Max
>
> gruß hasso
Jo
schachuzipus
Ich mach Feierabend
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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Hallo!
Bevor du weiterrechnest solltest du dir nochmal deine Ausgangsfunktion anschauen. Ich dachte sie heisst [mm] f(x)=0,1x^{4}-2,9x²+10
[/mm]
Damit stimmen deine Ableitungen nicht mehr
Gruß
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Hallo hasso,
ja, da hat Tyskie recht !
Versuche doch bitte, die Sachen genau abzuschreiben, die threads sind eh sehr unübersichtlich
Da kommt das sonst schnell durcheinander.
Du musst nun deine Ableitungen nur etwas nachbessern, die bleiben ja fast richtig.
Das weitere allg. Vorgehen bleibt dasselbe.
Bestimme die NST der (dann richtigen) 1.Ableitung, setze diese in die (korrigierte) 2. Ableitung ein und schaue, ob's > oder < 0 ist...
Gruß
schachuzipus
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![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
