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Nullstellen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Fr 20.05.2005
Autor: Muffy

die nullstellen der funktion sollen berechnet werden.

[mm]f(x) x * e^{2-x²} -0,5x -1[/mm]

durch den newton kommt man auf die nullstellen, doch gibt es auch einen anderen weg ? Ich hab jetzt die -1 auf die andere Seite gebracht und dann die Gleichung mit ln logarythmiert.
somit erhält man:

[mm]ln(x) -x² -ln(0,5x) = -2[/mm]

soweit so gut... nun komme ich aber nicht weiter...
oder war dieser gedanke sinnlos ? :-)

        
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Nullstellen: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:26 Fr 20.05.2005
Autor: NanoSusi

Hallo erst ein maaal :))

Ein Gedanke:  [mm]e^b > 0[/mm]  , somit ist [mm]e^{2-x²} > 0[/mm]


kannst du jetzt was damit anfangen?

MfG NanoSusi


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Nullstellen: Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:11 Sa 21.05.2005
Autor: Muffy

das bringt mich doch nicht weiter, weil man doch nur in einem produkt das [mm] e^x [/mm] ausschließen kann ?

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Nullstellen: numerische Methode?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 Sa 21.05.2005
Autor: NanoSusi

Da hast du recht,
ich habe versucht auf unterschiedliche Weise die Gleichung zu lösen - vergeblich..

Einzige, was ich auch "konventionellen " Weg noch rausgefunden habe war die y-Achse- Abschnit bei -1 :
[mm] f(x) = x*\left(e^{2-x^2} - 0,5\right) \red{ \ - 1}[/mm]

Was mich brennend interessiert, ist die Methode, die es ermöglicht die Nulstellen zu bestimmen.

Kannst due mir die kurz erläutern ?

MfG

NanoSusi

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Nullstellen: Näherungsverfahren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo NanoSusi!


Sagen Dir die Begriffe MBNewton-Verfahren und/oder []Regula Falsi etwas?


Gruß
Loddar


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Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Sa 21.05.2005
Autor: NanoSusi

Hallo Loddar,

danke für deine schnelle Antwort:)

Ich habe jetzt die Erklärungen zu Newton-Verfahren und regula Falsi gelesen.

Da tauchen sofort paar Fragen auf :

1) Wie soll der Wahl des Startwerts bei Newton sein? soll ich da ungefähr der x-Wert wählen, wo ich die Nulstelle vermute? Wie erkenne ich bei dieser Funktion, wieviele Nulstellen es geben könnte ?

Die Funktion ist dieselbe:
[mm]f(x) = x*e^{2-x^2} - 0,5x - 1 \qquad f'(x) = (2x - x^3)*e^{2 - x^2} - 0,5 [/mm]

Die Funktion schneidet die y-Achse bei -1;

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f(x) = -\infty \qquad \limes_{x\rightarrow - \infty}f(x) = \infty[/mm]

Soll ich jetzt nach diese Überlegungen mein [mm] x_0 <0[/mm] wählen ?

2) Der Begriff der Iteration, bedeutet es , dass Produkt meines Startwerts und der ersten Ergebnis([mm]x_{n+1}[/mm]) negativ sein sollte ?

Könnten wir vielleicht die beiden Verfahren zusammen durchgehen?

MfG NanoSusi

P.S Ich mache mein Abitur auf dem Zweiten Bildungsweg, dies bedeutet, dass viele Themen in Mathematik einfach übersprungen wurden :((
Obwohl ich meine Abiturarbeit schon geschrieben habe, versuche ich jetzt selbständig die Wissenslücken aufzuarbeiten.
Exponentiale und Logarithmische Funktionen hat man bei uns ganz ausgelassen, wie so vieles anderes.. Ich verstehe, dass diese Erklärungen hier im Forum viel Zeit rauben.
Derswegen : es eilt nicht, wenn du Zeit hast, dann können wir dies hier auseinander klamüseln )


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Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Sa 21.05.2005
Autor: leduart

Hallo Susi> Hallo Loddar,

> Ich habe jetzt die Erklärungen zu Newton-Verfahren und
> regula Falsi gelesen.
>  
> Da tauchen sofort paar Fragen auf :
>  
> 1) Wie soll der Wahl des Startwerts bei Newton sein? soll
> ich da ungefähr der x-Wert wählen, wo ich die Nulstelle
> vermute? Wie erkenne ich bei dieser Funktion, wieviele
> Nulstellen es geben könnte ?
>  
> Die Funktion ist dieselbe:
>   [mm]f(x) = x*e^{2-x^2} - 0,5x - 1 \qquad f'(x) = (2x - x^3)*e^{2 - x^2} - 0,5[/mm]

das ist falsch! [mm]f'= (x - 2x^2)*e^{2 - x^2} - 0,5[/mm]
denn [mm](e^{2-x^2})'=-2x*e^{2-x^2}[/mm] und Produktregel

> Die Funktion schneidet die y-Achse bei -1;
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} f(x) = -\infty \qquad \limes_{x\rightarrow - \infty}f(x) = \infty[/mm]

Wenn man jetzt noch f(1)>0  weiss man, dass es rechts von Null mindestens zwei, links eine Nullstelle gibt.

>  
> Soll ich jetzt nach diese Überlegungen mein [mm]x_0 <0[/mm] wählen
> ?

mit f(0)<0und f(1)>0 würd ich mit einer Stelle dazwischen anfangen.
mit f(0)<0 und f(-2)>0 dazwischen anfangen!  

> 2) Der Begriff der Iteration, bedeutet es , dass Produkt
> meines Startwerts und der ersten Ergebnis([mm]x_{n+1}[/mm]) negativ
> sein sollte ?

Nein! Iteration bedeutet, dass man immer wieder dasselbe tut:einfaches Bsp:immer mit derselben Zahl multiplizieren also [mm] x_{n}=q*x_{n-1}: x_{0}=1 [/mm] q= [mm] \bruch{3}{4}, x_{1}= \bruch{3}{4}*1 [/mm]
[mm] x_{2}= \bruch{3}{4}*\bruch{3}{4}*1 x_{n}=( \bruch{3}{4})^{n} [/mm]

> Könnten wir vielleicht die beiden Verfahren zusammen
> durchgehen?

Um das Newton Verfahren zu verstehen, zeichnest du dir am besten ein Stück einer Funktion, die die x-Achse schneidet. dann wählst du einen Punkt, auf dem Graph.x0,f(x0) wenn du nun die Tangente an diesem Punkt an den Graph legst, ist diese Tangente eine "Näherung" des Graphen in der Nähe des Punktes. Die Tangente schneidet die x-Achse im Punkt x1. Dieser ist i.A. näher an der Nullstelle als x0.
Bei x1 suchst du wieder f(x1), wieder die Tangente, sie schneidet bei x2 noch näher. usw. Du iterierst also das Verfahren: Tangente bestimmen (f'(xi) berechnen), Schnittpunkt mit x Achse bestimmen, neues x, f(x) suchen . Und die Formeln tun genau das. ob die xi ihr Vorzeichen wechseln hängt von der genauen Form ders Graphen ab, das kannst du mit ner Zeichnung ausprobieren
Die Regula falsi verwendet man, wenn die Ableitung aufwändig auszurechnen ist, dann startet man mit 2 Punkten und nimmt die Sehne zw. den 2 Punkten, und als neuen Punkt den Schnittpunkt der Sehne. und iteriert das.
Probier das Verfahren doch mal mit was einfachem wie z, Bsp [mm] x^{2}-2=0, [/mm] dann weisst du auch gleich wie man Wurzeln bestimmen kann!Fanf bei x=1an. hier kannst du das Ergebnis ja überprüfen, und sehen, wie schnell es funktioniert.
MfG leduart


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Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Sa 21.05.2005
Autor: NanoSusi

Hallo leduart,

Danke für die Erklärungen :-)

Du hast ja recht - ich habe falsch abgeleitet, aber jetzt, vo ich noch mal nachgerechnet habe komme ich zu eine "dritte" erste Ableitung :

[mm]f'= (1 - 2x^2)*e^{2 - x^2} - 0,5[/mm]
  

> Wenn man jetzt noch f(1)>0  weiss man, dass es rechts von
> Null mindestens zwei, links eine Nullstelle gibt.

Woher weisst du das ? Durch ausprobieren ? Mir wäre die Vorgehensweise sehr wichtig..
Woran kann ich erkennen, wieviele Nulstellen zu erwarten sind? Bei ganzrationalen Fkt-nen ist es einfach, bei dieser hier habe ich keinen Plan :-(

>  Probier das Verfahren doch mal mit was einfachem wie z,
> Bsp [mm]x^{2}-2=0,[/mm] dann weisst du auch gleich wie man Wurzeln
> bestimmen kann!Fanf bei x=1an. hier kannst du das Ergebnis
> ja überprüfen, und sehen, wie schnell es funktioniert.

Die Idee hatte ich auch, und zwar genau mit dieser Funktion [mm]f(x) = x^{2}-2=0,[/mm]
mit  [mm]x_0 = -5[/mm]
Und da bin ich tatsachlich auf die eine der Nulstellen durch Näherung gekommen, und zwar an die bei  [mm]\wurzel {2}[/mm] ... Da sollte aber eine zweite Nulstelle bei  [mm]- \wurzel {2}[/mm] sein.

Kannst du mir die Vorgehensweise bei der Wahl der  [mm]x_0 [/mm]  genauer erklären ?

MfG NanoSusi


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Nullstellen: Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo NanoSusi!


> [mm]f'= (1 - 2x^2)*e^{2 - x^2} - 0,5[/mm]

[daumenhoch] Diese Ableitung habe ich auch erhalten!


> Kannst du mir die Vorgehensweise bei der Wahl der  [mm]x_0[/mm]  
> genauer erklären ?

Hier würde ich im Vorfeld einfach etwas Probieren, so daß ich ungefähr weiß, wo meine Nullstelle liegt.


Gruß
Loddar


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Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:31 So 22.05.2005
Autor: leduart

Hallo Susi

> > Wenn man jetzt noch f(1)>0  weiss man, dass es rechts von
> > Null mindestens zwei, links eine Nullstelle gibt.
>  
> Woher weisst du das ? Durch ausprobieren ? Mir wäre die
> Vorgehensweise sehr wichtig..

bei 0 ist die Funktion negativ, bei 1 positiv und sie ist stetig, dazwischen muss sie also durch Null. bei [mm] +\infty [/mm] ist sie wieder negativ, also muss sie nochmal durch 0! ohne sie genauer anzusehen kann man deshalb aus den 3 Werten auf 2 Nullstellen schließen. ebenso wegen -1 bei 0 und positiv bei - [mm] \infty [/mm]
weiss man eine 0 datzwischen.

>  Woran kann ich erkennen, wieviele Nulstellen zu erwarten
> sind? Bei ganzrationalen Fkt-nen ist es einfach, bei dieser
> hier habe ich keinen Plan :-(

Ohne ein paar Werte auszurechnen geht das nicht! immer, wenn man irgendwo einen pos wert und wo anders einen negativen findet, muss dazwischen ne Nullstelle liegen! Aber wenn man ein paar werte ausrechnet, kriegt man ein Gefühl dafür, ob sie nun pos oder negativ bleibt, oder wahrscheinlich noch mal umdreht. Wenn man das Vorzeichen der Ableitung ansieht, kann man auch schon sehen, ob sie weiter steigt oder fällt.

>  
> >  Probier das Verfahren doch mal mit was einfachem wie z,

> > Bsp [mm]x^{2}-2=0,[/mm] dann weisst du auch gleich wie man Wurzeln
> > bestimmen kann!Fanf bei x=1an. hier kannst du das Ergebnis
> > ja überprüfen, und sehen, wie schnell es funktioniert.
>  Die Idee hatte ich auch, und zwar genau mit dieser
> Funktion [mm]f(x) = x^{2}-2=0,[/mm]
> mit  [mm]x_0 = -5[/mm]
> Und da bin ich tatsachlich auf die eine der Nulstellen
> durch Näherung gekommen, und zwar an die bei  [mm]\wurzel {2}[/mm]

Da musst du einen Fehler gemacht haben, es muss die [mm] -\wurzel [/mm] {2} rauskommen.

> ... Da sollte aber eine zweite Nulstelle bei  [mm]- \wurzel {2}[/mm]
> sein.

dazu muss man mit einem anderen Anfangswert anfangen!
(Wenn du Exel kannst, kannst dus rasch reintippen und viele Versuche machen)(Exel lernen ist eh sehr nützlich!)

> Kannst du mir die Vorgehensweise bei der Wahl der  [mm]x_0[/mm]  
> genauer erklären ?

Ein bissel muss man die Funktion angucken, manchmal sieht man dann einfach, wo etwa sie positiv, und wo negativ ist. dazwischen muss dann ne Nullstelle sein. auch wenn man die Nullstellen von [mm] x^{2}-2 [/mm] nicht kennt, weiss man schnell, dass sie bei 0 negativ, und für grosse neg. und pos. x positiv ist, also mindestens 2 Nullstellen, um in die Nähe zu kommen, probiert man dann einfache Zahlen aus, und stellt fest, dass sie bei 2 positiv ist. und dann ist es naheliegend, bei 1 anzufangen, bei 2 schadet aber auch nicht. Wenn man ganz grosses Pech hat, und bei 0 anfängt scheitert man. aber da ist ja die Steigung 0, und wenn das passiert, sollte man nen anderen Punkt nehmen.
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Nullstellen: Geht nicht!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:30 Sa 21.05.2005
Autor: Stefan

Hallo Muffy!

> die nullstellen der funktion sollen berechnet werden.
>  
> [mm]f(x) x * e^{2-x²} -0,5x -1[/mm]
>  
> durch den newton kommt man auf die nullstellen, doch gibt
> es auch einen anderen weg ?

Nein, solche gemischt-polynomial-transzendenten Gleichungen lassen sich nicht elementar lösen, nur numerisch.

>  oder war dieser gedanke sinnlos ? :-)

Ja. :-)

Viele Grüße
Stefan

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