Nullstellen, Abschätzung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie die Abschätzungen für die Nullstellen folgender Funktionen:
(i) p(x) = [mm] x^{5}+5x^{4}-x-1
[/mm]
(ii) p(x) = [mm] x^{8}+0,5x^{7}-0,02x^{3}-0,1
[/mm]
(iii) p(x) = [mm] x^{6}-0.4x^{5}+0,16x^{4}-0,064x^{3}+0,0256x^{2}-0,01024x-0,004096
[/mm]
(iv) p(x)= [mm] x^{7}+0,5x^{6}+2x^{5}+4x^{4}+20x^{3}+100x^{2}+1000x+1
[/mm]
b) Welche der beiden Abschätzungen (1) [mm] |x|\le [/mm] max {1, [mm] \summe_{i=1}^{n}|a_{i}|} [/mm] und (2) [mm] |x|\le [/mm] 2 max [mm] {\wurzel[i]{|a_{i}|}, i=1,...,n} [/mm] ist in Abhängigkeit von a [mm] \in \IR [/mm] günstiger für das Polynom p(x)= [mm] x^{n}+ax^{n-1}+ax^{n-2}+...+ax+a? [/mm] |
bei der b) weiß ich nicht wie ich vorgehen soll um zu beweisen was günstiger ist. Welche Kriterien gibt es für die Entscheidung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie die Abschätzungen für die Nullstellen folgender Funktionen:
(i) p(x) =
(ii) p(x) =
(iii) p(x) =
(iv) p(x)= |
Wollte fragen ob folgende Antworten bzw. Berechnungen zu a) richtig sind, bin mir besonders bei (i) und (ii) nicht sicher, da ich nicht weiß ob ich die fehlende potenz auch berücksichtigen soll, und zwar sieht es bei mir folgendermaßen aus:
(i) (1) |x| [mm] \le [/mm] max {1, 5+1+1} = max {1, 7} = 7
(2) |x| [mm] \le [/mm] 2*max [mm] {\wurzel[1]{5}, \wurzel[2]{0}, \wurzel[3]{0}, \wurzel[4]{1}, \wurzel[5]{1}} [/mm] = [mm] 2*\wurzel[1]{5} [/mm] = 10
(ii)(1) |x| [mm] \le [/mm] max {1, 0.5+0.02+0.1} = max {1, 0.62} = 1
(2) |x| [mm] \le [/mm] 2*max [mm] {\wurzel[1]{0.5}, \wurzel[2]{0}, \wurzel[3]{0}, \wurzel[4]{0}, \wurzel[5]{0.02}, \wurzel[6]{0.1}} [/mm] = [mm] 2*\wurzel[6]{0.1} \approx [/mm] 2.39
(iii)(1) |x| [mm] \le [/mm] max {1, 0.663936} = 1
(2) |x| [mm] \le [/mm] 2*max [mm] {\wurzel[1]{0.4}, \wurzel[2]{0.4}, \wurzel[3]{0.4}, \wurzel[4]{0.4}, \wurzel[5]{0.4}, \wurzel[6]{0.4}} [/mm] = 2*0.4 = 0.8
(iv) (1) |x| [mm] \le [/mm] max {1, 1127.5} = 1127.5
(2) |x| [mm] \le [/mm] 2*max [mm] {\wurzel[1]{0.5}, \wurzel[2]{2}, \wurzel[3]{4}, \wurzel[4]{20}, \wurzel[5]{100}, \wurzel[6]{1000}, \wurzel[7]{1}} [/mm] = [mm] 2*\wurzel[6]{1000} \approx [/mm] 6.32
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Di 06.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Denise!
> a) Berechnen Sie die Abschätzungen für die Nullstellen
> folgender Funktionen:
> (i) p(x) =
> (ii) p(x) =
> (iii) p(x) =
> (iv) p(x)=
> Wollte fragen ob folgende Antworten bzw. Berechnungen zu a)
> richtig sind, bin mir besonders bei (i) und (ii) nicht
> sicher, da ich nicht weiß ob ich die fehlende potenz auch
> berücksichtigen soll, und zwar sieht es bei mir
> folgendermaßen aus:
Ich bin mir auch nicht sicher, da ich die Abschätzung mit den Wurzeln nicht kenne, aber mir sind ein paar Kleinigkeiten aufgefallen.
>
> (i) (1) |x| [mm]\le[/mm] max {1, 5+1+1} = max {1, 7} = 7
> (2) |x| [mm]\le[/mm] 2*max [mm]{\wurzel[1]{5}, \wurzel[2]{0}, \wurzel[3]{0}, \wurzel[4]{1}, \wurzel[5]{1}}[/mm]
> = [mm]2*\wurzel[1]{5}[/mm] = 10
>
> (ii)(1) |x| [mm]\le[/mm] max {1, 0.5+0.02+0.1} = max {1, 0.62} =
> 1
> (2) |x| [mm]\le[/mm] 2*max [mm]{\wurzel[1]{0.5}, \wurzel[2]{0}, \wurzel[3]{0}, \wurzel[4]{0}, \wurzel[5]{0.02}, \wurzel[6]{0.1}}[/mm]
> = [mm]2*\wurzel[6]{0.1} \approx[/mm] 2.39
Hier müsste es doch [mm] $\wurzel[8]{0,1}$ [/mm] heißen, oder? Und 2.39 kann nicht richtig sein, das muss zwischen 1 und 2 liegen, da alle Radikanden kleiner als 1 sind.
>
> (iii)(1) |x| [mm]\le[/mm] max {1, 0.663936} = 1
> (2) |x| [mm]\le[/mm] 2*max [mm]{\wurzel[1]{0.4}, \wurzel[2]{0.4}, \wurzel[3]{0.4}, \wurzel[4]{0.4}, \wurzel[5]{0.4}, \wurzel[6]{0.4}}[/mm]
> = 2*0.4 = 0.8
Da hast du es falsch aufgeschrieben, aber richtig gerechnet:
[mm]|x| \le 2*\max \{\wurzel[1]{0.4}, \wurzel[2]{0.16}, \wurzel[3]{0.064}, \wurzel[4]{0.0256}, \wurzel[5]{0.01024}, \wurzel[6]{0.004096}\} = 0.8[/mm]
>
> (iv) (1) |x| [mm]\le[/mm] max {1, 1127.5} = 1127.5
> (2) |x| [mm]\le[/mm] 2*max [mm]{\wurzel[1]{0.5}, \wurzel[2]{2}, \wurzel[3]{4}, \wurzel[4]{20}, \wurzel[5]{100}, \wurzel[6]{1000}, \wurzel[7]{1}}[/mm]
> = [mm]2*\wurzel[6]{1000} \approx[/mm] 6.32
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Di 06.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Denise!
> a) Berechnen Sie die Abschätzungen für die Nullstellen
> folgender Funktionen:
> (i) p(x) = [mm]x^{5}+5x^{4}-x-1[/mm]
> (ii) p(x) = [mm]x^{8}+0,5x^{7}-0,02x^{3}-0,1[/mm]
> (iii) p(x) =
> [mm]x^{6}-0.4x^{5}+0,16x^{4}-0,064x^{3}+0,0256x^{2}-0,01024x-0,004096[/mm]
> (iv) p(x)=
> [mm]x^{7}+0,5x^{6}+2x^{5}+4x^{4}+20x^{3}+100x^{2}+1000x+1[/mm]
>
> b) Welche der beiden Abschätzungen (1) [mm]|x|\le \max \{1, \summe_{i=1}^{n}|a_{i}|\}[/mm] und (2) [mm]|x|\le 2 \max
\{\wurzel[i]{|a_{i}|}, i=1,...,n\}[/mm] ist in Abhängigkeit von [mm]a \in \IR[/mm] günstiger für das Polynom [mm]p(x)= x^{n}+ax^{n-1}+ax^{n-2}+...+ax+a?[/mm].
> bei der b) weiß ich nicht wie ich vorgehen soll um zu
> beweisen was günstiger ist. Welche Kriterien gibt es für
> die Entscheidung?
Setze dein Polynom in beide Abschätzungen ein: du hast doch:
[mm]a_n = a_{n-1} = \dots = a_1 = a [/mm].
Tipp: für die Wurzeln unterscheide die drei Fälle $|a|<1$, $|a|=1$, $|a|>1$.
Viele Grüße
Rainer
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