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Nullstellen Exponentialfunk: Brauche einen Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Sa 02.05.2015
Autor: Anubis2k

Aufgabe
[mm]0=4^{x-2}-17*2^{x-4}+1[/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab die Gleichung soweit umgestellt:
[mm]0=\bruch{1}{16}4^x-\bruch{17}{16}*2^x+1[/mm]

nun komm ich nicht weiter. durch Zeichnen des Graphen weis ich das die Nullstellen bei 0 und 4 für x sind.

Kann mir jemand zeigen was ich noch umstellen muss?

        
Bezug
Nullstellen Exponentialfunk: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 Sa 02.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]0=4^{x-2}-17*2^{x-4}+1[/mm]
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Ich hab die Gleichung soweit umgestellt:
>  [mm]0=\bruch{1}{16}4^x-\bruch{17}{16}*2^x+1[/mm]
>  
> nun komm ich nicht weiter. durch Zeichnen des Graphen weis
> ich das die Nullstellen bei 0 und 4 für x sind.
>  
> Kann mir jemand zeigen was ich noch umstellen muss?

ich würde so rechnen:

     [mm] $0=4^{x-2}-17*2^{x-4}+1=2^{2(x-2)}-17*2^{x+4}+1$ [/mm]

    [mm] $=2^{2x}*2^{-4}-17*2^{4}*2^{x}+1=2^x*\left(\frac{2^x}{16}-\frac{17}{16}\right)+1$ [/mm]

Jetzt sieht man ganz schön, dass für [mm] $x=0\,$ [/mm] die Klammer den Wert -1 hat
(1/16-17/16=-16/16=-1).
Man sieht auch, was für x=4 passiert.

Um zu argumentieren, dass das die einzigen Nullstellen sind, würde ich mir
überlegen, ob ich vielleicht irgendwas über *stückweises Monotonieverhalten*
der Funktion

    $x [mm] \longmapsto 2^x*\left(\frac{2^x}{16}-\frac{17}{16}\right)+1$ [/mm]

aussagen kann.

Einen algebraischen Weg, die Gleichung

    [mm] $0=2^x*\left(\frac{2^x}{16}-\frac{17}{16}\right)+1$ [/mm]

nach x aufzulösen, sehe ich nicht hat Fred uns ja gezeigt. ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Nullstellen Exponentialfunk: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 Sa 02.05.2015
Autor: Anubis2k

Dank deines Ansatzes bin ich auf die Substitution gekommen die ich gebraucht habe. Tausend Dank


Bezug
        
Bezug
Nullstellen Exponentialfunk: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Sa 02.05.2015
Autor: fred97

Setze [mm] z=2^x. [/mm] Dann bekommst Du eine quadratische Gleochung für z.

FRED

Bezug
                
Bezug
Nullstellen Exponentialfunk: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 Sa 02.05.2015
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> Setze [mm]z=2^x.[/mm] Dann bekommst Du eine quadratische Gleochung
> für z.

[bonk]

Gut aufgepasst. :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
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