Nullstellen Orthogonalpolynome < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Jellal |
Hallo Leute,
kann mir jemand bei dem Beweis im Anhang helfen?
Ich verstehe die Idee davon nicht so wirklich.
Im Beweis wird anfangs einfach davon ausgegangen, dass das zu beweisene auch stimmt. Nur sehe ich dann keine Bestätigung darin.
Anstatt den Satz zu beweisen, habe ich meiner Meinung nach nur etwas bewiesen, was auf dem Satz bereits aufbaut...
Satz:
Sei [mm] \phi_{k} [/mm] das k-te Orthtogonalpolynom bezüglich des gewichteten [mm] L^{2}-Skalarprodukts [/mm] <.,.>. Die Nullstellen von [mm] \phi_{k} [/mm] sind reell, einfach und liegen im offenen Intervall (a,b).
Beweis:
Seien [mm] \lambda_{j}, [/mm] j=1,...,r, die Nullstellen von [mm] \phi_{k}, [/mm] die reell sind, in (a,b) liegen und bei denen [mm] \phi_{k} [/mm] das Vorzeichen wechselt. Offensichtlich ist r [mm] \le [/mm] k.
Für [mm] g(x)=\produkt_{i=1}^{r}(x-\lambda_{i} [/mm] gilt:
[mm] 0\not=\integral_{a}^{b}{w(x)\phi_{k}(x)g(x) dx}=<\phi_{k},g>,
[/mm]
denn nach Konstruktion wechselt [mm] g*\phi_{k} [/mm] das Vorzeichen in (a,b) nicht. Außerdem ist [mm] \phi_{k} \perp P_{k-1}, [/mm] daher r [mm] \ge [/mm] k.
Gruß
Jellal
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Sa 02.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Ein Scan macht Dich nicht zum Urheber. Es sollte kein Problem sein, diese Stelle hier mit dem Formeleditor einzugeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:27 So 03.05.2015 | | Autor: | Jellal |
Ich finde das zwar unnötig übertrieben, aber habe es entsprechend geändert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich finde das zwar unnötig übertrieben,
das hat einen rechtlichen Grund. Lies Dir die Forenregeln bitte mal durch,
insbesondere den Punkt
7. Beachte die Urheberrechte von Autoren
Jeder findet sowas meist unnötig, bis es darum geht, dass die Urheberrechte
an dem eigenen Werk verletzt werden/wurden. Dann ist das plötzlich alles
ganz selbstverständlich. 
> aber habe es entsprechend geändert.
Danke!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 So 03.05.2015 | | Autor: | hippias |
Beachte, dass im Beweisanfang nicht behauptet wird, dass die [mm] $\lambda_{i}$ [/mm] alle Nullstellen von [mm] $\phi_{k}$ [/mm] sind; es werden lediglich ersteinmal diejenigen reellen Nullstellen von [mm] $\phi_{k}$ [/mm] betrachtet, die im Intervall liegen und bei denen [mm] $\phi_{k}$ [/mm] einen Vorzeichenwechsel hat. Dann wurde bewiesen, dass dies tatsaechlich alle sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 03.05.2015 | | Autor: | Jellal |
Hallo,
danke für deine Antwort!
Ah, ich verstehe. Das habe ich nicht bedacht.
Ok, aber wieso kann ich davon ausgehen, dass [mm] \phi_{k} [/mm] das Vorzeichen in jenen [mm] \lambda_{i} [/mm] ändert?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 So 03.05.2015 | | Autor: | hippias |
Aus dem selben Grund: dies ist Teil der Definition der speziell gewaehlten Nullstellen. Nachher stellt sich heraus, dass [mm] $\phi_{k}$ [/mm] sein Vorzeichen in allen Nulstellen wechselt.
Man koennte sich einmal fragen, weshalb [mm] $\phi_{k}$ [/mm] ueberhaupt eine Nullstelle haben muss, in der sein Vorzeichen wechselt. Denn ich vermute, dass es mindestens ein [mm] $\phi_{k}$ [/mm] gibt, auf das dies nicht zutrifft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 03.05.2015 | | Autor: | Jellal |
[mm] 0\not=\integral_{a}^{b}{w(x)\phi_{k}(x)g(x) dx}
[/mm]
Wieso weiß ich, dass das gilt?
Das ist nur dann [mm] \not= [/mm] 0, wenn g und [mm] \phi_{k} [/mm] das selbe Vorzeichen haben, also [mm] g*\phi_{k}\ge [/mm] 0 oder [mm] \le [/mm] 0 auf ganz (a,b). Aber woher weiß ich das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 So 03.05.2015 | | Autor: | hippias |
Naja, natuerlich liegt es an der speziellen Wahl der [mm] $\lambda_{i}$. [/mm] Nach Konstruktion haben [mm] $\phi_{k}$ [/mm] und $g$ in [mm] $\lambda_{i}$ [/mm] einen gemeinsamen Vorzeichenwechsel. Was kannst Du nun ueber deren Produkt sagen...?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 So 03.05.2015 | | Autor: | Jellal |
Aber welche Wahl? Da wurde doch nichts gewählt, Nullstellen sind Nullstellen.
Und woher weiß ich, dass g auch Vorzeichenwechsel wie [mm] \phi_{k} [/mm] macht?
Wenn dem so wäre, könnte ich sagen, dass [mm] g*\phi [/mm] immer das gleiche Vorzeichen hat und damit kann das Integral nur 0 werden, wenn g oder [mm] \phi_{k} [/mm] Nullfunktionen wären, was man ja ausschließt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Mo 04.05.2015 | | Autor: | hippias |
> Aber welche Wahl? Da wurde doch nichts gewählt,
> Nullstellen sind Nullstellen.
Zitat aus Deiner Eingangsfrage:
Seien $ [mm] \lambda_{j}, [/mm] $ j=1,...,r, die Nullstellen von $ [mm] \phi_{k}, [/mm] $ die reell sind, in (a,b) liegen und bei denen $ [mm] \phi_{k} [/mm] $ das Vorzeichen wechselt.
Diese Wahl meine ich.
>
> Und woher weiß ich, dass g auch Vorzeichenwechsel wie
> [mm]\phi_{k}[/mm] macht?
Das sollst Du Dir ueberlegen. Tip: Es hat etwas mit der Vielfachheit der Nullstellen zu tun.
>
> Wenn dem so wäre, könnte ich sagen, dass [mm]g*\phi[/mm] immer das
> gleiche Vorzeichen hat und damit kann das Integral nur 0
> werden, wenn g oder [mm]\phi_{k}[/mm] Nullfunktionen wären, was man
> ja ausschließt.
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 04.05.2015 | | Autor: | Jellal |
Ok, ich nähere mich dem Verständnis.
Wenn die [mm] \lambda_{i} [/mm] so gewählt sind, dass [mm] \phi_{k} [/mm] dort Vorzeichenwechsel hat, dann haben sie die Vielfachheit 1, sie müssen also pw verschieden sein.
Bildet man die Funktion g aber mit pw verschiedenen [mm] \lambda_{i} [/mm] so sind sie auch einfache Nullstellen von g und sorgen auch dort für Vorzeichenwechsel.
Das bedeutet das [mm] g*\phi [/mm] immer das gleiche Vorzeichen hat und wegen w>0 ist das Integral immer ungleich 0.
Da aber [mm] \phi_{k}\perp P_{k-1} [/mm] muss g deshalb mindestens den Grad k haben. Ursprünglich war aber klar, dass [mm] deg(g)=r\le [/mm] k, also folgt: r=k.
--> Alle Nullstellen liegen im Intervall (a,b).
Aber: Das gilt nur unter den anfangs gewählten Bedingungen.
Was ich doch nur gezeigt habe:
Liegt in (a,b) auch nur eine reelle Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, dann liegen ALLE Nullstellen in (a,b), sind reell und haben einen Vorzeichenwechsel.
Wieso ist es denn legitim, davon auszugehen, dass ich überhaupt solche Nullstellen in (a,b) habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Di 05.05.2015 | | Autor: | hippias |
> Ok, ich nähere mich dem Verständnis.
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> Wenn die [mm]\lambda_{i}[/mm] so gewählt sind, dass [mm]\phi_{k}[/mm] dort
> Vorzeichenwechsel hat, dann haben sie die Vielfachheit 1,
> sie müssen also pw verschieden sein.
>
> Bildet man die Funktion g aber mit pw verschiedenen
> [mm]\lambda_{i}[/mm] so sind sie auch einfache Nullstellen von g und
> sorgen auch dort für Vorzeichenwechsel.
>
> Das bedeutet das [mm]g*\phi[/mm] immer das gleiche Vorzeichen hat
> und wegen w>0 ist das Integral immer ungleich 0.
>
> Da aber [mm]\phi_{k}\perp P_{k-1}[/mm] muss g deshalb mindestens den
> Grad k haben. Ursprünglich war aber klar, dass [mm]deg(g)=r\le[/mm]
> k, also folgt: r=k.
> --> Alle Nullstellen liegen im Intervall (a,b).
Ja, so wurde der Beweis gefuehrt.
>
>
> Aber: Das gilt nur unter den anfangs gewählten
> Bedingungen.
> Was ich doch nur gezeigt habe:
> Liegt in (a,b) auch nur eine reelle Nullstelle mit
> Vorzeichenwechsel, dann liegen ALLE Nullstellen in (a,b),
> sind reell und haben einen Vorzeichenwechsel.
>
> Wieso ist es denn legitim, davon auszugehen, dass ich
> überhaupt solche Nullstellen in (a,b) habe?
Genau diese Frage habe ich auch schon in einem frueheren Post gestellt. Und vermutet, dass der Beweis in voller Allgemeinheit sogar falsch ist, denn [mm] $\phi_{0}$ [/mm] ist hoechstwahrscheinlich konstant und hat gar keine Nullstelle. Der Beweis duerfte also nur fuer $k>0$ gueltig sein. Man muesste etwas mehr ueber $w$ wissen, um etwas ueber die Nullstellen der [mm] $\phi_{k}$ [/mm] sagen zu koennen. Wenn beispielsweise $w>0$ ist, dann sollten alle [mm] $\phi_{k}$, [/mm] $k>0$, eine Nullstelle im Intervall besitzen, wegen ihrer Orthogonalitaet zu [mm] $\phi_{0}$. [/mm]
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