Nullstellen, Polynomdivision < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Di 18.12.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = [mm] \bruch{1}{8}(x³-3x²-9x+11). [/mm] Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. |
Hallo Zusammen,
f(x) = [mm] \bruch{1}{8}(x³-3x²-9x+11)
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{1}{8}x³-\bruch{3}{8}x²-\bruch{9}{8}x+\bruch{11}{8}
[/mm]
wenn ich nun den Satz vom Nullprodukt anwenden will, indem ich die Funktion umforme und ein x ausklammere bleibt [mm] \bruch{11}{8} [/mm] übrig. Somit kann ich bei dieser Funktion nur die Polynomdivision anwenden. Ich weiß ich auch nicht, wo die Funktion schon eine Nullstelle hat, es ist nichts angegeben. Ich habe nun durch probieren
[mm] x_1=1 [/mm] herausgefunden und konnte die Polynomdivision anwenden:
[mm] (\bruch{1}{8}x³-\bruch{3}{8}x²-\bruch{9}{8}x+\bruch{11}{8}) [/mm] : (x-1) = [mm] \bruch{1}{8}x² [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}x [/mm] - [mm] \bruch{11}{8}
[/mm]
[mm] -(\bruch{1}{8}x³-\bruch{1}{8}x²)
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{4x²}-\bruch{9}{8}x-\bruch{11}{8}
[/mm]
[mm] -(-\bruch{1}{4x²}+\bruch{1}{4}x-\bruch{11}{8})
[/mm]
[mm] -\bruch{11}{8}x+\bruch{11}{8}
[/mm]
[mm] -(-\bruch{11}{8}x+\bruch{11}{8}
[/mm]
0, also bleibt kein Rest übrig
nun die Lösungsformel:
[mm] x_2,3 [/mm] = [mm] \bruch{-(-\bruch{1}{4})+/-\wurzel{(-\bruch{1}{4})²-4\cdot{}\bruch{1}{8}\cdot{}(-\bruch{11}{8})}}{2\cdot{}\bruch{1}{8}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}+/-\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] x_2= \bruch{\bruch{1}{4}+\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}} [/mm] = 4,5
[mm] x_3=\bruch{\bruch{1}{4}-\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}} [/mm] = -2,5
In der Lösung steht [mm] 1+2\wurzel{3} [/mm] und [mm] 1-2\wurzel{3}. [/mm] Wie haben die das bitte umgeformt? Zur Polynomdivion brauche ich ja immer eine Nullstelle. Wenn keine gegeben ist, muss ich diese durch ausprobieren herausbekommen. Ich setze immer von -10 bis +10 in die Funktionen ein. Nehmen wir mal an, die Funktion hat aber erst ab +20 eine Nullstelle, wie kriege ich das dann heraus? Gibt es dafür eine alternative Herangehensweise? Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> Wie haben die das bitte umgeformt?
$ [mm] x_2= \bruch{\bruch{1}{4}+\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}} [/mm] = = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{1}{4}}+\bruch{\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{1}{4}}+\bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{3}}{\bruch{1}{4}}$.
[/mm]
Der Rest ist klar, oder?
> Gibt es dafür eine alternative Herangehensweise?
Klar. Du kannst direkt mit den ![[]](/images/popup.gif) Formeln von Cardano.
Falls du aber eine einfache Nullstelle vermutest, kannst du ja mal einen Graphen grob skizzieren. Alternativ kannst du es ja mal mit einer Intervallschachtelung versuchen: Bestimme z.B. f(-1000) und f(1000). Wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind, dann liegt eine Nullstelle zwischen -1000 und 1000 und du kannst die beiden Grenzen immer enger fassen.
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Di 18.12.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > Wie haben die das bitte umgeformt?
> [mm]x_2= \bruch{\bruch{1}{4}+\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}} = = \bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{1}{4}}+\bruch{\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}} = \bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{1}{4}}+\bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{3}}{\bruch{1}{4}}[/mm].
>
> Der Rest ist klar, oder?
$ [mm] x_2= \bruch{\bruch{1}{4}+\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{1}{4}}+\bruch{\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{3}}{\bruch{1}{4}}$
[/mm]
den Schritt versteh ich nicht ganz, das mit der eins ist klar, nur woher kommt auf einmal das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{\bruch{3}{4}}{\bruch{1}{4}} [/mm] = 3. nur komm ich mit der wurzel nicht klar. kann ich diese einfach vernachlässigen? Danke für die schnelle Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Di 18.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier wurde Teilweise Radiziert.
Also:
[mm] \bruch{\bruch{1}{4}+\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{1}{4}}+\bruch{\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{4}}}{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{\bruch{1}{2}*\wurzel{3}}{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] =1+\underbrace{4*\bruch{1}{2}\wurzel{3}}_{\text{Auflösen des Doppelbruchs}}
[/mm]
[mm] =1+2\wurzel{3}
[/mm]
Genauso ergibt sich dann [mm] x_{3}=1-2\wurzel{3}
[/mm]
Zum Erraten der Nullstellen bei Funktionen höheren Grades als 2.
Schau dir mal den Faktor ohne x an, also das Absolutglied.
Ist die zu erratende Nullstelle ganzzahlig, muss diese ein Teiler des Absolutgliedes sein.
Also in deinem Beispiel:
[mm] f(x)=\bruch{1}{8}(x³-3x²-9x+11)
[/mm]
Hier bleiben als ganzzahlige Nullstellen nur [mm] \pm1, [/mm] und [mm] \pm11, [/mm] denn 1|11 und 11|11
Weiteres Beispiel:
g(x)=...+8
Hier bleiben als ganzzahlige Nullstellen nur [mm] \pm1, \pm2, \pm4 [/mm] und [mm] \pm8.
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Di 18.12.2007 | | Autor: | itse |
Hallo
>
> Hier wurde Teilweise Radiziert.
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{4}+\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\bruch{1}{4}}{\bruch{1}{4}}+\bruch{\wurzel{\bruch{3}{4}}}{\bruch{1}{4}}[/mm]
> [mm]=1+\bruch{\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{4}}}{\bruch{1}{4}}[/mm]
Okay, soweit verstehe ich es noch, die Aufteilung der Wurzel, gibt es dafür eine Regel? Warum teilt man dies so auf?
> [mm]=1+\bruch{\bruch{1}{2}*\wurzel{3}}{\bruch{1}{4}}[/mm]
Wo kommt das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und die 3 unter der Wurzel her? Ergibt natürlich das gleiche wie eine Zeile weiter oben. Gibt es dafür irgendwelche Regeln?
> [mm]=1+\underbrace{4*\bruch{1}{2}\wurzel{3}}_{\text{Auflösen des Doppelbruchs}}[/mm]
um nun den Bruch aufzulösen muss ich doch mit [mm] \bruch{1}{4} [/mm] malnehmen, oder? Wo kommt dann die vier her?
> [mm]=1+2\wurzel{3}[/mm]
Vielen Dank für den Tipp mit dem Absulutglied.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 18.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Es gibt u.a. folgendes Wurzelgesetz, welches hier angewendet wird:
[mm] $$\wurzel{\bruch{a}{b}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}$$
[/mm]
> Okay, soweit verstehe ich es noch, die Aufteilung der
> Wurzel, gibt es dafür eine Regel? Warum teilt man dies so auf?
Das nennt man "teilweises Wurzelziehen", um Wurzelausdrücke im Nenner zu vermeiden.
> > [mm]=1+\bruch{\bruch{1}{2}*\wurzel{3}}{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> Wo kommt das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und die 3 unter der Wurzel her?
Siehe oben zum genannten Wurzelgesetz.
[mm] $$\wurzel{\bruch{3}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{3}$$
[/mm]
> Ergibt natürlich das gleiche wie eine Zeile weiter oben.
> Gibt es dafür irgendwelche Regeln?
Siehe oben!
> um nun den Bruch aufzulösen muss ich doch mit [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> malnehmen, oder? Wo kommt dann die vier her?
Nein, man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert malnimmt. Und der Kehrwert von [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] lautet [mm] $\bruch{4}{1} [/mm] \ = \ 4$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Di 18.12.2007 | | Autor: | itse |
Vielen Dank!
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