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Nullstellen bestimmen: Rückfrage,Idee,Tipp,Hilfe
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:14 Mo 09/07/2018
Author: Dom_89

Hallo,

ich möchte bei folgender Gleichung die Nullstellen bestimmen:

[mm] x^4-2x^2+1=0 [/mm]

Hierzu habe ich dann zunächst [mm] x^2 [/mm] = u substituiert:

[mm] u^2-2u+1=0 [/mm]

[mm] (u-1)^2 [/mm] = 0

[mm] u_{1,2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1

Rücksubstituiert ergibt sich doch dann:

[mm] x_{1,2} [/mm] = 1
[mm] x_{3,4} [/mm] = -1

Ist das so vom Lösungsweg und der Schreibweise her richtig, oder muss ich etwas verändern?

Danke für die Hilfe

        
Bezug
Nullstellen bestimmen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:23 Mo 09/07/2018
Author: fred97


> Hallo,
>  
> ich möchte bei folgender Gleichung die Nullstellen
> bestimmen:
>  
> [mm]x^4-2x^2+1=0[/mm]
>  
> Hierzu habe ich dann zunächst [mm]x^2[/mm] = u substituiert:
>  
> [mm]u^2-2u+1=0[/mm]
>  
> [mm](u-1)^2[/mm] = 0
>  
> [mm]u_{1,2}[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1

Nein, die Gleichung [mm] (u-1)^2=0 [/mm] hat  nur  die Lösung u=1.


>  
> Rücksubstituiert ergibt sich doch dann:
>  
> [mm]x_{1,2}[/mm] = 1
>  [mm]x_{3,4}[/mm] = -1
>  

Na ja, Deine ursprüngliche Gleichung hat dann die Lösungen 1 und -1.


> Ist das so vom Lösungsweg und der Schreibweise her
> richtig, oder muss ich etwas verändern?
>  
> Danke für die Hilfe


Bezug
                
Bezug
Nullstellen bestimmen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:32 Di 10/07/2018
Author: Dom_89

Vielen Dank!

Bezug
        
Bezug
Nullstellen bestimmen: ohne Substitution
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:49 Mo 09/07/2018
Author: Loddar

Hallo Dom!


In diesem speziellen Fall kannst Du auch auf die Substitution verzichten, indem Du gleich an die binomischen Formeln denkst:

[mm]x^4-2*x^2+1 \ = \ 0[/mm]

[mm]\gdw \ \ \left(x^2-1\right)^2 \ = \ 0[/mm]

[mm]\gdw \ \ x^2-1 \ = \ 0[/mm]

[mm]\gdw \ \ (x+1)*(x-1) \ = \ 0[/mm]

usw.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Nullstellen bestimmen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Date: 18:53 Mo 09/07/2018
Author: Diophant

Hallo Loddar,

> In diesem speziellen Fall kannst Du auch auf die
> Substitution verzeichten, indem Du gleich an die
> binomischen Formeln denkst:

Soweit korrekt.

> [mm]x^4-2*x^2+1 \ = \ 0[/mm]

>

> [mm]\gdw \ \ \left(x^2-1\right)^2 \ = \ 0[/mm]

>

> [mm]\gdw \ \ x^2-1 \ = \ 0[/mm]

Diese Äquivalenz zu benutzen ist hier falsch und zwar auf eine ziemlich fatale Weise, denn:

> [mm]\gdw \ \ (x+1)*(x-1) \ = \ 0[/mm]

>

Du bekommst hier nur zwei Lösungen heraus, hast also die algebraischen Vielfachheiten platt gemacht.

Richtig wäre:

[mm]x^4-2x+1=(x^2-1)^2=(x-1)*(x+1)*(x-1)*(x+1)=0 \Rightarrow x_{1,2}=1\ ,\ x_{3,4}=-1 [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Nullstellen bestimmen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 08:58 Di 10/07/2018
Author: fred97

An der Antwort von Loddar gibt es nichts zu meckern !

Gefragt war nach den Lösungen der Gleichung

$ [mm] x^4-2x^2+1=0 [/mm] $

Wir haben

$ [mm] x^4-2x^2+1=0 \gdw (x^2-1)^2=0 \gdw x^2=1 \gdw [/mm] x [mm] \in \{-1,1\}$ [/mm]

Daran ist nichts falsch, schon gar nicht in fataler Weise.

Ich würde Diophant recht geben, wenn auch noch nach der Vielfachheit der Nullstellen gefragt worden wäre, was aber nicht der Fall war.



Bezug
                        
Bezug
Nullstellen bestimmen: DH
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 14:43 Di 10/07/2018
Author: Al-Chwarizmi

Eine analoge Bemerkung wollte ich auch gerade machen ...

LG ,   Al

Bezug
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