Nullstellen des Polynoms < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm] \IF_{343} [/mm] der Körper mit 343 Elementen.
Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms T^12-1 [mm] \in \IF_{343}[T]. [/mm] |
Kann mir jemand ein Tipp geben, wie ich die Aufgabe angehen kann oder eine Formel.
Brauche nur ein Hinweis, habe gerade garkeine Ahnung wie ich an die Aufgabe ran soll.
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:34 Sa 04.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm]\IF_{343}[/mm] der Körper mit 343 Elementen.
> Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms
> T^12-1 [mm]\in \IF_{343}[T].[/mm]
> Kann mir jemand ein Tipp geben,
> wie ich die Aufgabe angehen kann oder eine Formel.
> Brauche nur ein Hinweis, habe gerade garkeine Ahnung wie
> ich an die Aufgabe ran soll.
1. Das Polynom [mm] $T^{12} [/mm] - 1$ ist Quadratfrei.
2. Die Nullstellen von [mm] $ggT(T^{343} [/mm] - T, [mm] T^{12} [/mm] - 1)$ sind gerade die Nullstellen von [mm] $T^{12} [/mm] - 1$, die in [mm] $\IF_{343}$ [/mm] liegen.
3. Wenn du [mm] $T^{343}$ [/mm] modulo [mm] $T^{12} [/mm] - 1$ ausrechnest, und der Rest sagen wir $R$ ist, dann ist [mm] $ggT(T^{343} [/mm] - T, [mm] T^{12} [/mm] - 1) = ggT(R - T, [mm] T^{12} [/mm] - 1)$.
Damit und mit dem euklidischen Algorithmus bist du schnell am Ziel.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Tut mir leid habe, das jetzt nicht so richtig verstanden.
Wenn das normale Zahlen wären, wüsste ich wie ich den Euklidischen algorithmus einsetzen muss.
Aber so mit T^12 keine Ahnung.
Wo könnte ich den eventuell, was nachlesen oder kannst du mir ein beispiel geben.
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Tut mir leid habe, das jetzt nicht so richtig verstanden.
> Wenn das normale Zahlen wären, wüsste ich wie ich den
> Euklidischen algorithmus einsetzen muss.
> Aber so mit T^12 keine Ahnung.
na, der Algorithmus geht genauso mit Polynomen wie mit Zahlen.
Du musst halt Polynomdivision machen anstelle schriftliche Division von Zahlen.
Siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier.
LG Felix
|
|
|
|
