Nullstellen einer Kurvenschar < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar [mm] f_{t}(x)=2*x^{3}-t*x^{2}+8*x; t\in\IR
[/mm]
a) Für welche t [mm] \in \IR [/mm] hat [mm] f_{t} [/mm] drei verschiedene Nullstellen? |
hi,
ich habe das nun wie folgt gemacht:
Ich habe zuerst die Nullstellen der Funktionenschar in abhängigkeit von t bestimmt:
[mm] f_{t}(x)=0
[/mm]
[mm] 0=2*x^{3}-t*x^{2}+8*x
[/mm]
[mm] x_{1}=\bruch{-1}{4}*\left(\wurzel{t^{2}-64}-t\right)
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{1}{4}*\left(\wurzel{t^{2}-64}+t\right)
[/mm]
[mm] x_{2}=0
[/mm]
Nun hat die Funktion auf jeden fall mal eine Nullstelle für t<8, da [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] dafür nicht reel definiert sind.
Und sie hat 3 verschiedene Nullstellen für t [mm] \ge [/mm] 8.
Ist das soweit korrekt?
Und wie sieht es aus, wann hat die Funktion genau 2 Nullstellen ? Das CAS sagt für t=0, das kann aber doch nicht sein, weil dann ja [mm] \wurzel{-64} [/mm] da stehen würde und das wäre ja wieder nicht reel definiert oder lieg ich da falsch ?
Bis denne
Vielen dank schonmal für die Antworten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Mi 11.04.2007 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
kleine korrektur es soll heißen, dass die Funktion eine Nullstelle hat für -8<t<8
Bis denne
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Hallo,
die Nullstellen:
x=0 v [mm] x=\bruch{t+\wurzel{t^2+32}}{4} [/mm] v [mm] x=\bruch{t-\wurzel{t^2+32}}{4} [/mm] ... hast dich da irgendwo verrechnet 
für [mm] t\in\IR [/mm] hat Fkt. 3 Nullstellen
danke für den Hinweis, meine Nullstellen sind zwar richtig, hab aber jetzt folgend mich vertan bei den Angaben..
für [mm] t=-\wurzel{32} [/mm] oder [mm] t=\wurzel{32} [/mm] hat Fkt. genau eine Nullstelle, nämlich 0 das ist natürlich blödsinn,
Wenn du für t 0 einsetzt kommen doch auch 3 Nullstellen raus...
Liebe Grüße
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mi 11.04.2007 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
also mein CAS Sagt auch, dass mein Ergebnis stimmt ...
Hab vergessen nachzuschauen, aber die Lösung sagt, dass für t>8 und für t<-8 3 Nullstellen existieren und das deckt sich mit meinem Ergebnis für die Nullstellen.
Bis denne
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:11 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo musicandi88,
so kann es aber nicht stimmen,
[mm] f(x)=2x^{3}-tx^{2}+8x
[/mm]
[mm] 0=2x^{3}-tx^{2}+8x
[/mm]
[mm] 0=x(2x^{2}-tx+8)
[/mm]
ergibt [mm] x_1=0
[/mm]
[mm] 0=2x^{2}-tx+8
[/mm]
[mm] 0=x^{2}-\bruch{t}{2}x+4
[/mm]
[mm] x_2_3=\bruch{t}{4}\pm\wurzel{\bruch{t^{2}}{16}-4}
[/mm]
1. Fall: [mm] \bruch{t^{2}}{16}-4<0 [/mm] gibt es nur die Nullstelle [mm] x_1=0
[/mm]
2. Fall: [mm] \bruch{t^{2}}{16}-4=0 [/mm] gibt es die Nullstellen [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=-2 [/mm] für t=-8 und [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm] für t=8
3. Fall: [mm] \bruch{t^{2}}{16}-4>0 [/mm] gibt es drei Nullstellen
Steffi
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:34 Mi 11.04.2007 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
hab ich nu auch so, stümmt alles. deckt sich mit der lösung.
Vielen dank euch allen !!
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