Nullstellen einer e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:51 So 30.09.2007 | | Autor: | FullMoon |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktionenschar [mm] f_t(x)=e^{t*x}-x, [/mm] t>0.
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Ich habe bis jetzt Definitionsbereich, Symmetrie und Randverhalten untersucht und bin jetzt dabei, die Nullstellen herauszufinden, was sich allerdings nicht so leicht lösen lässt. Ich habe sämtliche Methoden ausprobiert, komme jedoch nur zu sinnlosen Ergebnissen. Weiß jemand weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 So 30.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuchen Sie die Funktionenschar [mm]f_t(x)=e^{t*x}-x,[/mm] t>0.
>
> Ich habe bis jetzt Definitionsbereich, Symmetrie und
> Randverhalten untersucht und bin jetzt dabei, die
> Nullstellen herauszufinden, was sich allerdings nicht so
> leicht lösen lässt. Ich habe sämtliche Methoden
> ausprobiert, komme jedoch nur zu sinnlosen Ergebnissen.
Analytisch kannst du die Nullstellen nicht darstellen, mit einer Ausnahme.
Als Erstes solltest du dir die Funktion für verschiedene Werte von t aufmalen; ich empfehle: 0,1/4,1/3,1/2,1. Das gibt dir eine Vorstellung, wo die Nullstellen liegen. Da [mm]t>0[/mm], kann es überhaupt nur Nullstellen für [mm]0
Für [mm]t\ge1[/mm] kann [mm]f_t[/mm] keine Nullstellen haben, weil [mm]f_t(0)=1[/mm] und [mm]f_t'(x)>0[/mm] für [mm]x>0[/mm], [mm]t\ge1[/mm].
Für sehr kleine t zeigt dir dein Bild, dass [mm]f_t[/mm] zwei Nullstellen hat. Das musst du natürlich richtig nachweisen.
Zwischen diesen kleinen t und t=1 muss es ein [mm]t_0[/mm] geben, sodass [mm]f_{t_0}[/mm] die x-Achse berührt. Dort hat [mm]f_{t_0}[/mm] also eine Nullstelle und eine waagrechte Tangente. Aus diesen Bedingungen kannst du [mm]t_0[/mm] ausrechnen.
Damit hast du:
a) zwei Nullstellen für [mm]0
b) eine Nullstelle mit waagrechter Tangente für [mm]t=t_0[/mm],
c) keine Nullstellen für [mm]t>t_0[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:20 So 30.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Rainer,
deine ansonsten sehr schönen und korrekten Ausführungen enthalten einen kleinen Fehler: Es existieren durchaus - bei entsprechendem t - auch Nullstellen größer als 1.
Beispiel: Für $t = [mm] t_0$ [/mm] (das ich hier auch nicht preisgeben werde  ) liegt die Nullstelle bei x = e. (woraus nach kurzer Überlegung natürlich auch [mm] $t_0$ [/mm] klar ist)
Ergänzend wäre zu bemerken, daß für $0 < t < [mm] t_0$ [/mm] der Graph 2 Nullstellen (links und rechts vom Minimum) hat, die beide nur durch numerischen Verfahren zu ermitteln sind, wenn ein gewünschtes t festliegt. Es gibt also keine geschlossene Termdarstellung dieser Zahlen. Zu empfehlen wäre hier wegen der in diesem Fall ausgezeichneten Konvergenz das Newton-Verfahren.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:32 So 30.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo koepper,
du hast natürlich recht (offensichtlich war's zu früh heute morgen, um eine Ungleichung korrekt mit -1 malzunehmen)
Viele Grüße
Rainer
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