Nullstellen eines Polynoms < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 19.10.2010 | | Autor: | schnacki |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Gleichung:
[mm] \wurzel{2x^2-1} [/mm] + x = 0 |
Hallo,
Um die Wurzel verschwinden zu lassen, quadriere ich alle Terme der Gleichung und komme auf:
[mm] 2x^2 [/mm] - 1 + [mm] x^2 [/mm] = 0
[mm] 3x^2 [/mm] = 1
[mm] x_{1} [/mm] = + [mm] \wurzel{1/3} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] - [mm] \wurzel{1/3}
[/mm]
Erschien mir alles richtig bis ich probiert hab die Lösung mal in die Ausgangsgleichung eingesetzt hab. Geht nicht. Anschließend hab ich den Graphen mit GeoGebra gezeichnet und mir die Nullstelle (x = -1) anzeigen lassen. Wie muss ich richtig vorgehen? es scheint so als hätte ich nicht quadrieren dürfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo schnacki und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Lösen Sie folgende Gleichung:
>
> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] + x = 0
> Hallo,
>
> Um die Wurzel verschwinden zu lassen, quadriere ich alle
> Terme der Gleichung und komme auf:
>
> [mm]2x^2[/mm] - 1 + [mm]x^2[/mm] = 0
Ich komme darauf nicht, [mm](a+b)^2\neq a^2+b^2[/mm] - im Allgemeinen, es gab da doch diese komischen binomischen Formeln ...
Bringe lieber mal in der Ausgangsgleichung das x rüber auf die rechte Seite und quadriere dann. Damit bist du die Wurzel direkt los.
Aber Achtung, das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.
Mache am Ende die Probe!
> [mm]3x^2[/mm] = 1
> [mm]x_{1}[/mm] = + [mm]\wurzel{1/3}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] - [mm]\wurzel{1/3}[/mm]
>
> Erschien mir alles richtig bis ich probiert hab die Lösung
> mal in die Ausgangsgleichung eingesetzt hab. Geht nicht.
> Anschließend hab ich den Graphen mit GeoGebra gezeichnet
> und mir die Nullstelle (x = -1) anzeigen lassen. Wie muss
> ich richtig vorgehen? es scheint so als hätte ich nicht
> quadrieren dürfen.
Doch, du hast nur sträflichst die binomischen Formeln missachtet ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Di 19.10.2010 | | Autor: | schnacki |
irgendwie merkwürdig, dass es einen unterschied macht auf welcher seite das x steht. was das ganze mit binomischen formeln auf sich hat verstehe ich nicht.
wenn das x auf der anderen seite steht, dann komme ich auf:
[mm] x_{1} [/mm] = 1 und [mm] x_{2} [/mm] = -1
wobei aber [mm] x_{2} [/mm] = -1 richtig sein kann
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> irgendwie merkwürdig, dass es einen unterschied macht auf
> welcher seite das x steht. was das ganze mit binomischen
> formeln auf sich hat verstehe ich nicht.
Nun, du kennst doch die 1.binomische Formel [mm](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/mm]
Wenn du direkt quadrierst, bekommst du [mm](\sqrt{2x^2-1}+x)^2=0^2[/mm]
Also [mm]2x^2-1+2\sqrt{2x^2-1}\cdot{}x+x^2=0[/mm]
Da musst du also noch etwas weiterrechnen ...
>
> wenn das x auf der anderen seite steht, dann komme ich
> auf:
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 1 und [mm]x_{2}[/mm] = -1
>
> wobei aber [mm]x_{2}[/mm] = -1 richtig sein kann ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist der effizientere Weg.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 19.10.2010 | | Autor: | schnacki |
Wenn ich mit der Gleichung [mm] 2x^2-1+2\wurzel{2x^2-1}x +x^2 [/mm] = 0 weiterrechne, dann komme ich auf
[mm] 3x^2 [/mm] + [mm] 2\wurzel{2x^2-1} [/mm] x = 0
Wie kriege ich denn da jetzt die Wurzel raus?
|
|
|
| |
|
Hallo,
.
Bring' den Ausdruck mit der Wurzel auf die rechte Seite und quadriere dann.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Di 19.10.2010 | | Autor: | schnacki |
Ok. Hab es den Wurzelterm mal auf die rechte Seite gebracht und dann quadriert
[mm] (3x^2-1)^2 [/mm] = [mm] (-2\wurzel{2x^2-1})^2
[/mm]
[mm] 9x^4 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 1 = [mm] 4(2x^2-1)
[/mm]
[mm] 9x^4 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 1 = [mm] 8x^2 [/mm] -4
[mm] 9x^4 [/mm] - [mm] 14x^2 [/mm] + 5 = 0
[mm] x^4 -(14/9)x^2 [/mm] + 5/9 = 0
z = [mm] x^2
[/mm]
[mm] z^2 [/mm] -(14/9)z + 5/9 = 0
mit der pq-formel komme ich dann auf
[mm] z_{1,2} [/mm] = 14/18 [mm] \pm \wurzel{196/324 - 5/9}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = 14/18 [mm] \pm \wurzel{196/324 - 180/324}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = 14/18 [mm] \pm \wurzel{16/324}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = 14/18 [mm] \pm \4/18
[/mm]
[mm] z_{1} [/mm] = 1 daraus folgt [mm] x_{1} [/mm] = 1 und [mm] x_{2} [/mm] = -1
[mm] z_{2} [/mm] = 10/18 daraus folft [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \wurzel{10/18}
[/mm]
und [mm] x_{4} [/mm] = [mm] -\wurzel{10/18}
[/mm]
jetzt habe ich 4 Lösung, aber nur eine ist richtig.
ist ja irgendwie doof. kriegt man irgendwie raus, dass 3 falsch sind? außer durch simples einsetzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Di 19.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schnacki!
> [mm](3x^2-1)^2[/mm] = [mm](-2\wurzel{2x^2-1})^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Bereits hier hast Du einen Faktor [mm]x_[/mm] auf der linken Seite "verloren".
Mach es Dir doch nicht so schwer und rechne von Beginn an:
[mm]\wurzel{2x^2-1} +x \ = \ 0[/mm]
[mm]\wurzel{2x^2-1} \ = \ -x[/mm]
[mm]\left( \ \wurzel{2x^2-1} \ \right)^2 \ = \ (-x)^2[/mm]
usw.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:25 Mi 20.10.2010 | | Autor: | schnacki |
Ok. Hab's jetzt endllich 
Vielen Dank an alle
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Di 19.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
durch das Quadrieren erhält man manchmal (nicht immer) zusätzliche (Schein-)Lösungen, denn das Quadrieren ist ja keine Äquivalenzumformung.
Deshalb muss am Ende immer die Probe durch Einsetzen stehen.
Was so alles möglich ist können dir vielleicht diese Aufgaben zeigen :
1. [mm] \wurzel{x+3} [/mm] + [mm] \wurzel{7-x} [/mm] = 4
2. [mm] \wurzel{4x-3} [/mm] + [mm] \wurzel{x+6} [/mm] = 6
3. [mm] \wurzel{2x+3} [/mm] - [mm] \wurzel{4x-8} [/mm] = 5
4. [mm] \wurzel{x+6*\wurzel{x-9}} [/mm] + [mm] \wurzel{x-6*\wurzel{x-9}} [/mm] = 6
Gruß Sax.
|
|
|
|
