Nullstellen holomorphe Funkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mo 26.07.2010 | | Autor: | SEiCON |
Hallo ihr alle,
ich habe eine Frage zu den Nullstellen einer holomorphen Funktion:
Stimmt es , dass jede holomorphe Funktion nur abzählbar viele Nullstellen hat? Wie könnte man das zeigen oder wiederlegen ... ich habe da echt keine Idee... [mm] :\
[/mm]
Viele Grüße und danke für eure Hilfe
s.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mo 26.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo ihr alle,
>
> ich habe eine Frage zu den Nullstellen einer holomorphen
> Funktion:
>
> Stimmt es , dass jede holomorphe Funktion nur abzählbar
> viele Nullstellen hat? Wie könnte man das zeigen oder
> wiederlegen ... ich habe da echt keine Idee... [mm]:\[/mm]
Nun, es stimmt schon, wenn sie nicht gerade identisch 0 ist 
Dazu beachte:
* du kannst jedes Gebiet in [mm] $\IC$ [/mm] als Vereinigung abzaehlbar vieler kompakter Mengen schreiben;
* die Nullstellenmenge von $f : G [mm] \to \IC$ [/mm] (holomorph, $G$ Gebiet) ist diskret in $G$, sprich in jeder kompakten Teilmenge $K [mm] \subseteq [/mm] G$ liegen hoechstens endlich viele Nullstellen von $f$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 26.07.2010 | | Autor: | SEiCON |
Hallo Felix,
vielen Dank für eine Antwort! Ich habe das Prinzip verstanden , super ! :)
Eine Sache ist mir jedoch noch unklar... wie sehe ich , dass die Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion diskret ist ????
Viele Grüße
seicon
edit: Ich habe eine Idee, vielleicht kann man ja so argumentieren:
angenommen eine holomorphe Funktion (die nicht identisch 0 ist) hat eine Nullstelle Z die nicht disket im Definitionsbereich ist. D.h. also es gibt eine Folge von Nullstellen von f die gegen Z konvergiert. Aus dem Identitätssatz folgt sofor f identisch 0 ... was ja ein Widerspruch zu unserer Annahme ist.
Kann man das so machen ????
Viele Grüße !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mo 26.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin seicon!
> vielen Dank für eine Antwort! Ich habe das Prinzip
> verstanden , super ! :)
> Eine Sache ist mir jedoch noch unklar... wie sehe ich ,
> dass die Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion
> diskret ist ????
>
>
> edit: Ich habe eine Idee, vielleicht kann man ja so
> argumentieren:
>
> angenommen eine holomorphe Funktion (die nicht identisch 0
> ist) hat eine Nullstelle Z die nicht disket im
> Definitionsbereich ist.
Eine Nullstelle ist ein Element, und Elemente koennen nicht diskret sein. Du meinst es gibt eine Menge von Nullstellen, die einen Haeufungspunkt in $G$ (dem Definitionsbereich) hat.
> D.h. also es gibt eine Folge von
> Nullstellen von f die gegen Z konvergiert.
Also $Z$ ist der Haeufungspunkt.
> Aus dem
> Identitätssatz folgt sofor f identisch 0 ... was ja ein
> Widerspruch zu unserer Annahme ist.
Genau.
> Kann man das so machen ????
Ja, das ist der Standardbeweis fuer die Aussage :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mo 26.07.2010 | | Autor: | SEiCON |
Ok super :)
Vielen Dank für die schnelle Hilfe ! Hat mir echt geholfen :)
Viele Grüße
seicon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ihr alle,
>
> ich habe eine Frage zu den Nullstellen einer holomorphen
> Funktion:
>
> Stimmt es , dass jede holomorphe Funktion nur abzählbar
> viele Nullstellen hat? Wie könnte man das zeigen oder
> wiederlegen ... ich habe da echt keine Idee... [mm]:\[/mm]
>
> Viele Grüße und danke für eure Hilfe
Felix hat ja schon das Wesentliche gesagt. Allerdings sollte man etwas genauer sein, was den Definitionsbereich einer holomorphen Funktion betrifft.
Ist D [mm] \subseteq \IC [/mm] offen, f:D [mm] \to \IC$ [/mm] holomorph und f nicht konstant = 0, so kann die Nullstellenmenge von f durchaus überabzählbar sein.
Dies ist z.B. der Fall, wenn D die disjunkte Vereinigung zweier offener Kreischeiben [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2 [/mm] ist und wenn f auf [mm] K_1 [/mm] konstant = 0 ist und auf [mm] K_2 [/mm] gilt: f(z)=z.
Ist D allerdings zusammenhängend, so ist die Frage durch meine Vorredner geklärt.
FRED
>
> s.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Di 27.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> Dies ist z.B. der Fall, wenn D die disjunkte Vereinigung
> zweier offener Kreischeiben [mm]K_1[/mm] und [mm]K_2[/mm] ist und wenn f auf
> [mm]K_1[/mm] konstant = 0 ist und auf [mm]K_2[/mm] gilt: f(z)=z.
danke fuer den Hinweis! :) Ich bin davon ausgegangen, dass $G$ ein Gebiet ist, und das war zumindest in der Vorlesung die ich gehoert hab automatisch als zusammenhaengend definiert. (Und da SEiCON den Identitaetssatz bemueht hat, ohne von Zusammenhangskomponenten zu reden, ist es bei ihm vermutich genauso.)
Wenn man $G$ aber nur als offen voraussetzt, muss man definitiv aufpassen :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred,
>
> > Dies ist z.B. der Fall, wenn D die disjunkte Vereinigung
> > zweier offener Kreischeiben [mm]K_1[/mm] und [mm]K_2[/mm] ist und wenn f auf
> > [mm]K_1[/mm] konstant = 0 ist und auf [mm]K_2[/mm] gilt: f(z)=z.
>
> danke fuer den Hinweis! :) Ich bin davon ausgegangen, dass
> [mm]G[/mm] ein Gebiet ist, und das war zumindest in der Vorlesung
> die ich gehoert hab automatisch als zusammenhaengend
> definiert.
Ja, das wird häufig so gemacht, dabei wird aber viel verschenkt !
In der Funktionalanalysis, z.B. beim Dunfordschen Funktionalkalkül, sind die Definitionsbereiche hol. Funktionen selten Gebiete
FRED
> (Und da SEiCON den Identitaetssatz bemueht hat,
> ohne von Zusammenhangskomponenten zu reden, ist es bei ihm
> vermutich genauso.)
> Wenn man [mm]G[/mm] aber nur als offen voraussetzt, muss man
> definitiv aufpassen :)
>
> LG Felix
>
|
|
|
|
