Nullstellen in einem Intervall < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 So 08.12.2013 | | Autor: | jonescom |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Die Funktion [mm] f(x)=x^6-3x^5+x^3-5x+3 [/mm] besitzt zwei Nullstellen im Intervall [0,3] |
Hallo,
ich bin schon an der algebraischen Berechnung der Nullstellen im Allgemeinen verzweifelt, weil ich keine Linearfaktorzerlegung anwenden konnte.
Der Taschenrechner spuckt mir als Nullstellen [mm] x_{1}\approx0,61 [/mm] und [mm] x_{2}\approx2,94 [/mm] aus.
Wie aber kann ich die "zu Fuß" berechnen?
Außerdem weiß ich überhaupt nicht, wie ich den Beweise anlege, dass diese Nullstellen im vorgegebenen Intervall liegen, da es doch offensichtlich ist mit 0<0,61<2,94<3
Danke im Vorraus,
jonescom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 So 08.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beweisen Sie: Die Funktion [mm]f(x)=x^6-3x^5+x^3-5x+3[/mm] besitzt
> zwei Nullstellen im Intervall [0,3]
> Hallo,
>
> ich bin schon an der algebraischen Berechnung der
> Nullstellen im Allgemeinen verzweifelt, weil ich keine
> Linearfaktorzerlegung anwenden konnte.
> Der Taschenrechner spuckt mir als Nullstellen
> [mm]x_{1}\approx0,61[/mm] und [mm]x_{2}\approx2,94[/mm] aus.
>
> Wie aber kann ich die "zu Fuß" berechnen?
Darum geht es gar nicht. Du musst nur zeigen, dass es zwei NST gibt.
Berechne dazu mal f(0), f(1) f(2) und f(3) und nutze dann den Mittelwertsatz. Prüfe natürlich auch die Voraussetzungen des MWS
>
> Außerdem weiß ich überhaupt nicht, wie ich den Beweise
> anlege, dass diese Nullstellen im vorgegebenen Intervall
> liegen, da es doch offensichtlich ist mit 0<0,61<2,94<3
>
> Danke im Vorraus,
> jonescom
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 So 08.12.2013 | | Autor: | jonescom |
Hallo Marius und Danke für die Antwort,
das verstehe ich jedoch nicht. Den Mittelwertsatz haben wir noch nicht benutzt und diese Definition habe ich gefunden:
Sei a < b und f:[a,b] [mm] \to\IR [/mm] stetig und in (a,b) differenzierbar. Dann existiert mind. ein [mm] \varepsilon \in [/mm] (a,b) mit [mm] f'(\varepsilon)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
Wofür benötige ich dann f(1) und f(2)?
Und wenn ich einsetze erhalte ich: [mm] \bruch{15-3}{3-0}=\bruch{12}{3}=4
[/mm]
Was sagt das überhaupt für mich aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 08.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius und Danke für die Antwort,
>
> das verstehe ich jedoch nicht. Den Mittelwertsatz haben wir
> noch nicht benutzt und diese Definition habe ich gefunden:
>
> Sei a < b und f:[a,b] [mm]\to\IR[/mm] stetig und in (a,b)
> differenzierbar. Dann existiert mind. ein [mm]\varepsilon \in[/mm]
> (a,b) mit [mm]f'(\varepsilon)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
>
Sorry, ich meinte den Zwischenwertsatz, dazu schau mal
![[]](/images/popup.gif) hier
> Wofür benötige ich dann f(1) und f(2)?
Es gilt:
f(0)=...>0
f(1)=...<0
f(2)=...<0
und
f(3)=...>0
Nun schaue mal den Zwischenwertsatz an
>
> Und wenn ich einsetze erhalte ich:
> [mm]\bruch{15-3}{3-0}=\bruch{12}{3}=4[/mm]
>
> Was sagt das überhaupt für mich aus?
Sorry, die Steigung sagt hier nicht viel im Bezug auf die Aufgabe aus, ich hatte dich mit dem "falschen Satz" verwirrt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 08.12.2013 | | Autor: | jonescom |
Ah, okay, den Zwischenwertsatz kenne ich.
Der setzt doch aber vorraus, dass f(a)<0 ist und in diesem Falls ist f(a)=f(0)>0, d.h. ich kann den Satz doch gar nicht anwenden, oder?
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Hallo jonescom,
> Ah, okay, den Zwischenwertsatz kenne ich.
> Der setzt doch aber vorraus, dass f(a)<0 ist
Nein, das tut er nicht. Schau hier.
> und in diesem
> Falls ist f(a)=f(0)>0, d.h. ich kann den Satz doch gar
> nicht anwenden, oder?
Doch. Er garantiert Dir, dass auf [0;1] eine Nullstelle liegt und eine weitere auf [2;3], und das solltest Du zeigen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 So 08.12.2013 | | Autor: | jonescom |
Hab es jetzt verstanden, danke für die Antworten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 So 08.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
für mich ist die Aufgabenstellung unpräzise. Sollen das mindestens zwei oder genau zwei Nullstellen sein?
Im ersten Fall siehe die Antwort von M.Rex. Im zweiten Fall wird es ein wenig komplizierter. Da sollte man so grob wissen, was alles an Mitteln erlaubt ist (insbesondere Differenzialrechnung?)
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 08.12.2013 | | Autor: | jonescom |
Hallo,
ich denke, der Prof meinte damit genau zwei Nullstellen. Inwiefern wird es dann komplizierter?
Was die Mittel angeht, die wir benutzen dürfen, da sind wir sehr frei, wir müssen halt nur Definitonen angeben, wenn wir sie benutzen, ansonsten dürfen wir nutzen, was wir in Lehrbüchern finden..
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Hallo nochmal,
> Hallo,
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> ich denke, der Prof meinte damit genau zwei Nullstellen.
Das will ich nicht hoffen. Es ist der Nachweis von mindestens zwei NSt gefordert, und zwei kannst Du nachweisen, das reicht dann also.
> Inwiefern wird es dann komplizierter?
Na, es könnte ja noch zwei geben, z.B. bei 1,5003 und bei 1,5004. Die würdest Du mit der gleichen Methode, also dem Zwischenwertsatz, wohl nur finden, wenn Du zufällig den Funktionswert irgendwo dazwischen bestimmst, z.B. bei 1,50035. Das ist doch recht unwahrscheinlich.
> Was die Mittel angeht, die wir benutzen dürfen, da sind
> wir sehr frei, wir müssen halt nur Definitonen angeben,
> wenn wir sie benutzen, ansonsten dürfen wir nutzen, was
> wir in Lehrbüchern finden..
Wenn Du nachweisen wolltest, dass auf [0;3] keine weitere Nullstelle liegt, müsstest Du entweder noch Maxima und Minima, das Krümmungsverhalten etc. bestimmen, oder z.B. zeigen, dass es vier weitere NSt. außerhalb von [0:3] gibt. Schließlich kann eine Polynomfunktion sechsten Grades höchstens sechs NSt. haben.
Grüße
reverend
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