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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Mi 17.05.2023 | | Autor: | Spica |
Die Zahl n! endet auf N Nullen gemäß folgender Formel:
[mm] N=\summe_{i=1}^{I}[\bruch{n}{5^{i}}] [/mm] , [mm] I=[\bruch{lg(n)}{lg(5)}]
[/mm]
Von den Quotienten in eckigen Klammern wird immer nur der ganzzahlige Anteil betrachtet, also immer abgerundet.
Weiß jemand den Hintergrund zu dieser Formel? Wie kann man sie herleiten bzw. begründen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Mi 17.05.2023 | | Autor: | Fulla |
Hallo Spica,
eine Zahl endet auf so viele Nullen, wie oft sie durch 10 teilbar ist.
Durch 10 teilbar sein heißt, durch 2 und durch 5 teilbar sein.
Bei Fakultäten kommt der Primfaktor 2 viel öfter vor als 5, d.h. die Anzahl der Endnullen wird durch die Anzahl der "5er" in der Primfaktorzerlegung bestimmt.
Deine Formel gibt dir den Exponent [mm]r_5[/mm] in der Primfaktorzerlegung von [mm]n![/mm] aus:
[mm]n!=2^{r_2}3^{r_3}5^{r_5}7^{r_7}\ldots[/mm]
Lieben Gruß
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 17.05.2023 | | Autor: | Spica |
Hallo Fulla,
danke erst mal für deine Antwort.
<<..die Anzahl der Endnullen wird durch die Anzahl der "5er" in der Primfaktorzerlegung bestimmt.<<
Das war mir bereits bewusst.
<<Deine Formel gibt dir den Exponent $ [mm] r_5 [/mm] $ in der Primfaktorzerlegung von $ n! $ aus:
$ [mm] n!=2^{r_2}3^{r_3}2^{r_5}2^{r_7}\ldots [/mm] $<<
Da hänge ich aber jetzt, wie da die Brücke zu der Formel zu schlagen wäre. Kannst du mir als dilettierenden Mathe-Amateur da noch etwas auf die Sprünge helfen? 
LG Spica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:52 Do 18.05.2023 | | Autor: | Fulla |
Der Teil [mm] N=\summe_{i=1}^{I}[\bruch{n}{5^{i}}] [/mm] geht die ganzen Potenzen von 5 durch. Also, ist die Zahl teilbar durch 5, dann plus 1; ist sie auch teilbar durch [mm] $5^2$ [/mm] dann wieder plus 1, etc.
Für jeden (Prim)Faktor 5 von $n!$ wird hier also mitgezählt, weil jeder davon eine Null am Ende erzeugt (mit jeweils dem Partner "2").
Im Prinzip sagt deine Formel: "Ist die Zahl durch 5 teilbar? Und wenn ja, wie oft?"
Die Anzahl "wie oft" ist dann die Anzahl der Nullen am Ende.
Vielleicht mag sich auch noch jemand anderes dazu Äußern, darum lasse ich die Frage noch auf halb offen.
Beste Grüße
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Do 18.05.2023 | | Autor: | Spica |
Danke, Fulla,
das ist mir soweit klar.
Wo ich halt stutze, ist eben dieses I. Einfach nur n durch 5 teilen funktioniert ja nicht. Und warum dieser Quotient aus lg n und lg 5 das richtige I liefert, ist mir nicht klar.
Aber damit kann ich leben.
VG Spica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Fr 19.05.2023 | | Autor: | Fulla |
Hallo Spica,
das $I$ gibt gerade die Potenz des Primfaktors 5 an. Es gilt [mm] $\frac{\lg(n)}{\lg(5)}=\log_5(n)$, [/mm] d.h. "womit muss ich 5 potenzieren, damit $n$ herauskommt?".
Lieben Gruß
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Mi 24.05.2023 | | Autor: | Spica |
Danke, Fulla,
<<Es gilt $ [mm] \frac{\lg(n)}{\lg(5)}=\log_5(n) [/mm] $ <<
Diese Umrechnung der Logarithmen kenne ich.
LG Spica
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