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Forum "Rationale Funktionen" - Nullstellen und Polstellen
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Nullstellen und Polstellen: Rückfrage, Idee, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Fr 06.01.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Nullstellen und Polstellen der Funktion:

f(x) = [mm] \bruch{x^3-8x^2+11x+20}{x^2-25} [/mm]

Hinweis: Eine Nullstelle des Zählers ist x = -1

Hallo,

ich möchte einmal mein Vorgehen vorstellen:

Zuerst habe ich die Nullstellen des Zählers mit Hilfe der Polynomdivision und der P-Q-Formel bestimmt:

[mm] (x^3-8x^2+11x+20)(x+1)= x^2-9x+20 [/mm]

[mm] -\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q} [/mm]

[mm] \bruch{9}{2}\pm\wurzel{(\bruch{9}{2})^2-20} [/mm]

Dann habe ich [mm] x_{1} [/mm] = -1 , [mm] x_{2} [/mm] = 5 und [mm] x_{3} [/mm] = 4 herraus bekommen.

Für die Nullstelle des Nenners habe ich geschaut, welche Zahl man einsetzten muss, damit 0 herraus kommt ==> [mm] x_{4} [/mm] = 5

Ist das soweit Ok?

Bedeutet das, dass meine Polstelle hier nur die Zahl 5 ist?

Vielen Dank


        
Bezug
Nullstellen und Polstellen: Definition
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Fr 06.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,

allgemeiner aufgeschrieben ist deine Funktion ja eine gebrochen rationale Funktion , die so aussieht:

f(x) = [mm] \bruch{p(x)}{q(x)} [/mm]

Man spricht von einer Polstelle [mm] x_p, [/mm] wenn gilt:

[mm] q(x_p) [/mm] = 0 und [mm] p(x_p) \not= [/mm] 0

Wenn du 5 hast, ist der Zähler auch 0. 5 ist somit keine Polstelle, aber -5 ist eine Polstelle. Denn bei -5 wird dein Nenner 0, aber dein Zähler ist ungleich null. Somit ist -5 die Polstelle. (plotte die Funktion mal, dann siehst du, dass sich die Funktion an die vertikale Asymptote -5 anschmiegt)
5 ist eine hebbare Definitionslücke, man kann die FUnktion also an der Stelle 5 stetig fortsetzen.


Bezug
        
Bezug
Nullstellen und Polstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Fr 06.01.2017
Autor: M.Rex

Hallo

> Bestimmen Sie alle Nullstellen und Polstellen der
> Funktion:

>

> f(x) = [mm]\bruch{x^3-8x^2+11x+20}{x^2-25}[/mm]

>

> Hinweis: Eine Nullstelle des Zählers ist x = -1
> Hallo,

>

> ich möchte einmal mein Vorgehen vorstellen:

>

> Zuerst habe ich die Nullstellen des Zählers mit Hilfe der
> Polynomdivision und der P-Q-Formel bestimmt:

>

> [mm](x^3-8x^2+11x+20)(x+1)= x^2-9x+20[/mm]

>

> [mm]-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q}[/mm]

>

> [mm]\bruch{9}{2}\pm\wurzel{(\bruch{9}{2})^2-20}[/mm]

>

> Dann habe ich [mm]x_{1}[/mm] = -1 , [mm]x_{2}[/mm] = 5 und [mm]x_{3}[/mm] = 4 herraus
> bekommen.

Der Gedanke ist bis hierher ok.
(Ach ja: Herausbekommen hat nur ein "r")

>

> Für die Nullstelle des Nenners habe ich geschaut, welche
> Zahl man einsetzten muss, damit 0 herraus kommt ==> [mm]x_{4}[/mm] =
> 5

>

> Ist das soweit Ok?

Es gibt noch eine weitere Nullstelle des Nenners, bei -5, beachte die binomische Formel.

>

> Bedeutet das, dass meine Polstelle hier nur die Zahl 5
> ist?

Nein. Faktorisierst du den Zähler und Nenner, bekommst du
[mm] f(x)=\frac{x^3-8x^2+11x+20}{x^2-25}=\frac{(x+1)(x-4)(x-5)}{(x-5)(x+5)} [/mm]

Nun erkennst du, dass der Linearfaktor x-5 sowohl im Zähler als auch im Nenner auftaucht, du kannst diesen dann "herauskürzen".
Die zugehörige Definitionslücke bei x=5 ist also hebbar. Dennoch ist dort immer noch eine Definitionslücke von f(x). Du kannst die Funktion aber stetig fortsetzen, wenn du in der "gekürzten Hilfsfunktion" [mm] h(x)=\frac{(x+1)(x-4)}{x+5} [/mm] einsetzt. Da [mm] h(5)=\frac{3}{5} [/mm] berechenbar ist, kannst du f(x) an der Stelle x=5 stetig fortsetzen mit [mm] f(5):=\frac{3}{5} [/mm]


>

> Vielen Dank

>

Marius

Bezug
                
Bezug
Nullstellen und Polstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Fr 06.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

Verstehe ich dich dann richtig, dass meine Polstelle -5 ist, da meine Funktion mit +5 weiter wächst?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen und Polstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Fr 06.01.2017
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo,

>

> danke für die Antwort!

>

> Verstehe ich dich dann richtig, dass meine Polstelle -5
> ist,

Das stimmt.

> da meine Funktion mit +5 weiter wächst?

Ab hier wird es dann leider komplett falsch, und zwar leider sogar vom Grundverständnis her.

Das Verhalten bei x=+5 hat für die Polstelle x=-5 keine Relevanz - und ist schon gar keine Begründung für die Polstelle. Bei x=5 liegt hier eine hebbare Definitionslücke von f(x) vor. Wenn du auch noch f(5) als [mm] \frac{3}{5} [/mm] festlegst, ist f(x) dann an der (eigentlich nicht definierten Stelle) x=5 sogar stetig fortsetzbar.

>

> Viele Grüße

Marius

Bezug
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