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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Jennifer |
Die Funtkion lautet
f(x)=cosx-2cos(2x)
Wie kommt man denn da auf die Nullstellen? Gibt es da eine allgemeine Formel? Wenn ich die Gleichung Null setze und nach x auflöse, bzw, erst substituiere, komme ich ja nur auf Näherungswerte. kann man das füreine "nullstellengleichung" nutzen?
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Hallo Jennifer!
Das sollte mit Hilfe der Additionstheoreme und des "trigonometrischen Pythagoras" zu lösen sein:
cos (2x) = cos²x-sin²x
und sin²x+cos²x=1 [mm] \Rightarrow [/mm] sin²x = 1 - cos²x
Wenn du diese beiden Beziehungen verwendest, solltest du auf eine quadratische Gleichung kommen, die sich ja recht simpel lösen lässt.
Viel Erfolg dabei!
Gruß Tran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Jennifer |
Da habe ich mich wohl falsch ausgedrückt...das kann ich ohne probleme. aber ich muss ja einen allgemeinen ausdruck für die nullstellen finden und das macht sich mit dem Nährungswert wie [mm] x_1=0,567 [/mm] recht schwer ;(
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Achso OK!
Du hast recht, schön ist tatsächlich anders....
Vermutlich kam bei dir soetwas raus:
cos²x - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] cosx - 0.5
[mm] \Rightarrow [/mm] cos x = [mm] \bruch{1}{8} \pm \wurzel{\bruch{33}{64}}
[/mm]
wobei es ja in Wirklichkeit sogar
cos (x+ [mm] \bruch{(2k+1)\pi}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} \pm \wurzel{\bruch{33}{64}}
[/mm]
heißen muss, wobei [mm] k\in \IZ.
[/mm]
Ich würde hier immer die exakten Terme der Lösung mitschleppen, auch wenn es viel Schreibarbeit ist. Denn so behälst du bis zum Schluss den genauen Wert....
Letzen Endes kommt dann für x ein Wert mit Arccos nicht schön, aber exakt.
Ich hoffe, ich konnte dir damit etwas helfen
LG Tran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 So 12.06.2005 | | Autor: | Jennifer |
Vielen Dank, genau das wollte ich wissen :) aber jetzt habe ich doch noch ein problem beim auflösen
cos( [mm] \bruch{2x+2k \pi+ \pi}{2}= \bruch{1}{8}+ \wurzel{ \bruch{33}{64}}
[/mm]
Hier an dieser Stelle komme ich absolut nicht weiter :/ Wäre schön, wenn mir jemand noch etwas auf die Sprünge helfen könnte.
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Hallo Jennifer,
> [m]\cos \left( {\frac{{2x + 2k\pi + \pi }}{2}} \right) = \frac{1}{8} + \sqrt {\frac{{33}}{{64}}}[/m]
>
> Hier an dieser Stelle komme ich absolut nicht weiter :/
> Wäre schön, wenn mir jemand noch etwas auf die Sprünge
> helfen könnte.
Hier kannst Du die Umkehrfunktion zum Kosinus benutzen:
[m]\begin{gathered}
\cos \left( {\frac{{2x + 2k\pi + \pi }}
{2}} \right) = \frac{1}
{8} + \sqrt {\frac{{33}}
{{64}}} \Rightarrow \arccos \left( {\cos \left( {\frac{{2x + 2k\pi + \pi }}
{2}} \right)} \right) = \arccos \left( {\frac{1}
{8} + \sqrt {\frac{{33}}
{{64}}} } \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \frac{{2x + 2k\pi + \pi }}
{2} = \arccos \left( {\frac{1}
{8} + \sqrt {\frac{{33}}
{{64}}} } \right) \Leftrightarrow 2x + 2k\pi + \pi = 2\arccos \left( {\frac{1}
{8} + \sqrt {\frac{{33}}
{{64}}} } \right) \hfill \\
\Leftrightarrow x = \frac{{2\arccos \left( {\frac{1}
{8} + \sqrt {\frac{{33}}
{{64}}} } \right) - 2k\pi - \pi }}
{2} = \arccos \left( {\frac{1}
{8} + \sqrt {\frac{{33}}
{{64}}} } \right) - k\pi - \frac{\pi }
{2} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 So 12.06.2005 | | Autor: | Jennifer |
Nein, du hast mich schon richtig verstanden. Vielen dank :) aber gibt es wirklich keinen einfacherern weg, wenn man die nullstellen von
f(x)=cosx-2cos(2x) bestimmen soll?
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Hi, Jennifer,
bei solchen Aufgaben genügt es im allgemeinen, das jeweilige Ergebnis auf 3 oder 4 Nachkommastellen genau anzugeben.
Und so kriegst Du hier 2 Lösungen der quadratischen Gleichung:
cos(x) [mm] \approx [/mm] 0,84307 bzw. cos(x) = -0,59307.
Wenn Du nun mit dem Taschenrechner nach x auflöst, erhältst Du:
[mm] x_{1} \approx [/mm] 0,5678 bzw. [mm] x_{2} \approx [/mm] 2,2057.
Natürlich sind das nicht alle Lösungen, aber wenn Du Dir die Cosinusfunktion mal hinskizzierst, wirst Du sehen, dass es 4 "Sorten" von Nullstellen gibt:
[mm] x=x_{1} [/mm] + [mm] 2k\pi; [/mm]
[mm] x=-x_{1} [/mm] + [mm] 2k\pi;
[/mm]
[mm] x=x_{2} [/mm] + [mm] 2k\pi; [/mm]
[mm] x=-x_{2} [/mm] + [mm] 2k\pi
[/mm]
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