matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Gruppe, Ring, Körper > Nullstellen von Polynomen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Nullstellen von Polynomen
Nullstellen von Polynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nullstellen von Polynomen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Fr 03.01.2014
Autor: derriemann

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Polynome [mm] x^{3}+2x^{2}-x-1 [/mm] und [mm] x^{2}+x-3 [/mm] keine gemeinsame Nullstelle in [mm] \IC [/mm] besitzen, ohne Nullstellen auszurechnen.

Hallo liebe Leute, :-)

habe so überhaupt keinen Ansatz, wie man das durch bloßes "Sehen" herausfinden könnte. Würde mich über einen kleinen Tipp sehr freuen :-)

LG
        
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Fr 03.01.2014
Autor: reverend

Hallo derriemann,

eine Idee hätte ich für Dich. ;-)

> Zeigen Sie, dass die Polynome [mm]x^{3}+2x^{2}-x-1[/mm] und
> [mm]x^{2}+x-3[/mm] keine gemeinsame Nullstelle in [mm]\IC[/mm] besitzen, ohne
> Nullstellen auszurechnen.
>  
> habe so überhaupt keinen Ansatz, wie man das durch bloßes
> "Sehen" herausfinden könnte. Würde mich über einen
> kleinen Tipp sehr freuen :-)

Sehen wird nicht reichen. Dir ist sicher bekannt, dass Polynome über [mm] \IC [/mm] komplett in Linearfaktoren zerlegt werden können, wobei jeder Faktor eine Nullstelle "liefert".

Wenn diese beiden Polynome nun keine gemeinsame Nullstelle haben sollen, darf ihr [mm] \ggT [/mm] nicht von x abhängen.

Also: bemühe den euklidischen Algorithmus (hier mit Polynomdivision) und finde den größten gemeinsamen Teiler.

Grüße
reverend
Bezug
                
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Sa 04.01.2014
Autor: derriemann

Ok, dann habe ich mich mal auf die Aufgabe gestürzt :-)

  [mm] (x^{3}+2x^{2}-x-1):(x^{2}+x-3)=x+1+(x+2) [/mm]
[mm] \underline{-(x^{3}+x^{2}-3x)} [/mm]
     [mm] x^{2}+2x-1 [/mm]
   [mm] \underline{-(x^{2}+x-3)} [/mm]
         x+2


  [mm] (x^{2}+x-3):(x+2)=x-1+(-1) [/mm]
[mm] \underline{-(x^{2}+2x)} [/mm]
     -x-3
   [mm] \underline{-(-x-2)} [/mm]
       -1


  (x+2):(-1)=-x-2
[mm] \underline{-(-x)} [/mm]
     2
    [mm] \underline{-2} [/mm]
     0

Also [mm] ggT(x^{3}+2x^{2}-x-1,x^{2}+x-3)=-1 [/mm]

Da der ggT nicht von x abhängt, folgt die Nichtexistenz einer gemeinsamen Nullstelle in [mm] \IC [/mm]

Wäre das so i.O.? :-)
Bezug
                        
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Sa 04.01.2014
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Ok, dann habe ich mich mal auf die Aufgabe gestürzt :-)
>  
> [mm](x^{3}+2x^{2}-x-1):(x^{2}+x-3)=x+1+(x+2)[/mm]
>  [mm]\underline{-(x^{3}+x^{2}-3x)}[/mm]
>       [mm]x^{2}+2x-1[/mm]
>     [mm]\underline{-(x^{2}+x-3)}[/mm]
>           x+2
>  
>
> [mm](x^{2}+x-3):(x+2)=x-1+(-1)[/mm]
>  [mm]\underline{-(x^{2}+2x)}[/mm]
>       -x-3
>     [mm]\underline{-(-x-2)}[/mm]
>         -1
>  
>
> (x+2):(-1)=-x-2
>  [mm]\underline{-(-x)}[/mm]
>       2
>      [mm]\underline{-2}[/mm]
>       0
>  
> Also [mm]ggT(x^{3}+2x^{2}-x-1,x^{2}+x-3)=-1[/mm]
>  
> Da der ggT nicht von x abhängt, folgt die Nichtexistenz
> einer gemeinsamen Nullstelle in [mm]\IC[/mm]
>  
> Wäre das so i.O.? :-)

Ja, das sieht alles richtig aus. [daumenhoch]

Grüße
reverend
Bezug
        
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Fr 03.01.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Zeigen Sie, dass die Polynome [mm]x^{3}+2x^{2}-x-1[/mm] und
> [mm]x^{2}+x-3[/mm] keine gemeinsame Nullstelle in [mm]\IC[/mm] besitzen, ohne
> Nullstellen auszurechnen.
>  Hallo liebe Leute, :-)
>  
> habe so überhaupt keinen Ansatz, wie man das durch bloßes
> "Sehen" herausfinden könnte. Würde mich über einen
> kleinen Tipp sehr freuen :-)


Hallo derriemann,

auch mir ist ein Lösungsweg eingefallen - aber auch
nicht einfach durch Anschauen. Zwar habe ich zuerst
auch einmal einfach die Polynome angeschaut und
dann zu Stift und Papier gegriffen. Dabei nahm ich
einmal an, es gäbe eine gemeinsame Nullstelle x
für f und g. Bezeichnen wir die beiden Polynome
mit f und g, habe ich mir untereinander die Glei-
chungen f(x) = 0 und x*g(x) = 0  und dann die
Differenzgleichung

      d(x) = f(x) - x*g(x) = 0

notiert. Irgendwie drängte sich dies meinem
"Sehsinn" geradezu auf ...
Und dann war es fast zwangsläufig, auch noch
das Polynom p mit p(x) = x*d(x) zu notieren -
und dann wieder zu schauen ...     ;-)

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Nullstellen von Polynomen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:34 Sa 04.01.2014
Autor: derriemann

Ist auf jeden Fall ein sehr interessanter Ansatz. Da werde ich mir nachher in Ruhe nochmal darüber Gedanken machen :-)

LG
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]