Nullstellen von Sinusfunktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Einen schönen Abend,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe einer schafft es meinen Wissensdurst zu stillen. Und zwar musste ich eig. nur einen Winkel [mm] \alpha [/mm] ausrechnen, den ich über folgende Formel herausbekommen würde:
sin(x)/2 = sin(180-74-x)/3.8
Nun möchte ich aber wissen, da ich nicht will, dass ich auf einen Taschenrechner angewiesen bin und das im Notfall auch im Kopf lösen können will, wie man die Nullstellen von folgender Funktion rausbekommt, die eine verallgemeinerte umgestellte Gleichung der oben stehenden ist:
a*sin(x+c) - b*sin(x) = 0
Wenn mir einer dann noch erklären könnte, wie er die Nullstellen-formel herausbekommen hat, wäre ich vollauf zufrieden.
Die Nullstellen von a*sin(x+c) wären ja k*180-c
und die von b*sin(x) wären k*180
, wieso ist es dann bei obiger Gleichung so kompliziert, ich versuche mich hier schon seit 3 Tagen dran.
Und was ich bisher auch noch rausbekommen habe, ist, dass für den Spezialfall, dass c=90° sind, es folgende Nullstellen gibt, aber da es bei meiner Anfangsaufgabe 74° sind hilft mir das nicht viel weiter:
x = (180 * [mm] (n*\pi [/mm] + ( [mm] (tan^1(2/3.8)*\pi)/180))/\pi)
[/mm]
Vielen Dank schonmal im vorraus, Maximilian.
|
|
| |
|
Hallo maxiantor,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Einen schönen Abend,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich hoffe einer schafft es meinen Wissensdurst zu stillen.
> Und zwar musste ich eig. nur einen Winkel [mm]\alpha[/mm]
> ausrechnen, den ich über folgende Formel herausbekommen
> würde:
>
> sin(x)/2 = sin(180-74-x)/3.8
>
> Nun möchte ich aber wissen, da ich nicht will, dass ich auf
> einen Taschenrechner angewiesen bin und das im Notfall auch
> im Kopf lösen können will, wie man die Nullstellen von
> folgender Funktion rausbekommt, die eine verallgemeinerte
> umgestellte Gleichung der oben stehenden ist:
>
> a*sin(x+c) - b*sin(x) = 0
Fasse dies als eine Funktion [mm]d*\sin\left(x+e\right)[/mm] auf:
Wende dann auf diese Funktion als auch auf
[mm]a*\sin\left(x+c\right)-b*\sin\left(x\right)[/mm]
das trigonometrische Additonstheorem für [mm]\sin\left(\alpha+\beta)[/mm] an.
Vergleiche dann die Koeffizienten die vor [mm]\sin\left(x\right)[/mm] bzw. vor [mm]\cos\left(x\right)[/mm] stehen (Koeffizientenvergleich)
Konkret:
[mm]a*\sin\left(x+c\right)-b*\sin\left(x\right)=a_{1}*\sin\left(x\right)+a_{2}*\cos\left(x\right)[/mm]
[mm]d*\sin\left(x+e\right)=b_{1}*\sin\left(x\right)+b_{2}*\cos\left(x\right)[/mm]
Hier muß dann gelten:
[mm]b_{1}=a_{1}[/mm]
[mm]b_{2}=a_{2}[/mm]
Aus diesen 2 Gleichungen ergibt sich die Phasenverschiebung e und die Amplitude d.
Somit kannst Du die Nullstellen dieser neuen Funktion bestimmen.
>
> Wenn mir einer dann noch erklären könnte, wie
er die
> Nullstellen-formel herausbekommen hat, wäre ich vollauf
> zufrieden.
>
> Die Nullstellen von a*sin(x+c) wären ja k*180-c
> und die von b*sin(x) wären k*180
> , wieso ist es dann bei obiger Gleichung so kompliziert,
> ich versuche mich hier schon seit 3 Tagen dran.
>
> Und was ich bisher auch noch rausbekommen habe, ist, dass
> für den Spezialfall, dass c=90° sind, es folgende
> Nullstellen gibt, aber da es bei meiner Anfangsaufgabe 74°
> sind hilft mir das nicht viel weiter:
>
> x = (180 * [mm](n*\pi[/mm] + ( [mm](tan^1(2/3.8)*\pi)/180))/\pi)[/mm]
>
> Vielen Dank schonmal im vorraus, Maximilian.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
> Hallo maxiantor,
>
>
Danke schön, ich war positiv überrascht, wie schnell das hier mit der Antwort ging und wie lebendig dieses Forum hier scheint, das bin ich von anderen Foren garnicht gewohnt, deswegen tut es mir schon fast leid, dass ich so spät antworte.
>
> Fasse dies als eine Funktion [mm]d*\sin\left(x+e\right)[/mm] auf:
>
> Wende dann auf diese Funktion als auch auf
>
> [mm]a*\sin\left(x+c\right)-b*\sin\left(x\right)[/mm]
>
> das trigonometrische Additonstheorem für
> [mm]\sin\left(\alpha+\beta)[/mm] an.
>
> Vergleiche dann die Koeffizienten die vor
> [mm]\sin\left(x\right)[/mm] bzw. vor [mm]\cos\left(x\right)[/mm] stehen
> (Koeffizientenvergleich)
>
> Konkret:
>
> [mm]a*\sin\left(x+c\right)-b*\sin\left(x\right)=a_{1}*\sin\left(x\right)+a_{2}*\cos\left(x\right)[/mm]
>
> [mm]d*\sin\left(x+e\right)=b_{1}*\sin\left(x\right)+b_{2}*\cos\left(x\right)[/mm]
>
> Hier muß dann gelten:
>
> [mm]b_{1}=a_{1}[/mm]
>
> [mm]b_{2}=a_{2}[/mm]
>
> Aus diesen 2 Gleichungen ergibt sich die Phasenverschiebung
> e und die Amplitude d.
>
> Somit kannst Du die Nullstellen dieser neuen Funktion
> bestimmen.
>
Ich habe mir heute deine Antwort durch den Kopf gehen lassen und versucht diese umzusetzen, aber wie es scheint harpert es bei mir an dem mir unbekannten Koeffizientenvergleich und das was wikipedia hergebt will so garnicht auf diese Rechnung hier anwendbar sein.
bei mir sieht das nämlich momentan so aus:
$ [mm] a\cdot{}\sin\left(x+c\right)-b\cdot{}\sin\left(x\right)=a\cdot{}\cos\left(c\right)\cdot{}\sin\left(x\right)+a\cdot{}\sin\left(c\right)\cdot{}\cos\left(x\right)-b\cdot{}sin\left(x\right) [/mm] $
womit $ [mm] a_{1},a_{2} [/mm] $ folgendes sein würde
$ [mm] a_{1}=a\cdot{}\cos\left(c\right)-b [/mm] $
$ [mm] a_{2}=a\cdot{}\sin\left(c\right) [/mm] $
für $ [mm] b_{1},b_{2} [/mm] $ hab ich dann folgendes:
$ [mm] d\cdot{}\sin\left(x+e\right)=d\cdot{}\cos\left(e\right)\cdot{}\sin\left(x\right)+d\cdot{}\sin\left(e\right)\cdot{}\cos\left(x\right)
[/mm]
$ [mm] b_{1}= d\cdot{}\cos\left(e\right) [/mm] $
$ [mm] b_{2}= d\cdot{}\sin\left(e\right) [/mm] $
daraus ergibt sich:
$ [mm] a\cdot{}\cos\left(c\right)-b=d\cdot{}\cos\left(e\right) [/mm] $
$ [mm] a\cdot{}\sin\left(c\right)= d\cdot{}\sin\left(e\right) [/mm] $
Irgendwie hörts dann hier auf, aber vlt. hab ich ja schon hier was falsch gemacht...
fürs erste würde dann ja gelten:
$ [mm] d=\bruch{a\cdot{}\cos\left(c\right)-b}{\cos\left(e\right)} [/mm] $
und das zweite würde nach d umgestellt sein:
$ [mm] d=\bruch{a\cdot{}\sin\left(c\right)}{\sin\left(e\right)} [/mm] $
was mich hieran verwirrt, ist dass zwei variablen gesucht sind...
aha...
$ [mm] \bruch{a\cdot{}\cos\left(c\right)-b}{\cos\left(e\right)}=\bruch{a\cdot{}\sin\left(c\right)}{\sin\left(e\right)} [/mm] $
ok, ich gebs auf, der taschenrechner ist einfach unverzichtbar, oder weiß hier noch jemand einen rat, wie ich das nach e umstellen kann?
Mein Taschenrechner meint $ [mm] \bruch{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}=\tan\left(x\right) [/mm] $
womit sich als endgültige Formel für e ergeben würde:
$ [mm] e=tan^-1\left(\bruch{a*\sin\left(c\right)}{a*\cos\left(c\right)-b}\right) [/mm] $
und d muss man ja einfach durch einsetzen in eine der beiden Gleichungen weiter oben errechnen.
Ich bin beeindruckt, wie "leicht" das plötzlich von der Hand ging, nachdem ich das hier nochmal als Frage gestellt habe und ich über meine selbst gestellte konkrete Frage nachgedacht habe xD".
FAZIT:
Nullstelle von $ [mm] a\cdot{}\sin\left(x+c\right)-b\cdot{}\sin\left(x\right) [/mm] $ ist bei $ [mm] k*180-tan^-1\left(\bruch{a*\sin\left(c\right)}{a*\cos\left(c\right)-b}\right) [/mm] $
Ich hoffe es stimmt alles, wenn nicht, korrigiert mich bitte, ansonsten:
DANKE VIELMALS !!!
Ich hoffe ich komme dazu dieses Forum hier häufiger zu frequentieren.
>
> Gruß
> MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mo 29.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig, bis auf nen kleinen Fluechtigkeitsfehler
> FAZIT:
> Nullstelle von
> [mm]a\cdot{}\sin\left(x+c\right)-b\cdot{}\sin\left(x\right)[/mm]
> ist bei
> [mm]k*180-tan^-1\left(\bruch{\sin\left(c\right)}{\cos\left(c\right)-b}\right)[/mm]
hier fehlt im letzten Bruch ein a im Zaehler und a im Nenner (ich hoff, du hast nicht aus ner Summe gekuerzt?)
richtig ist :
[mm]k*180-tan^-1\left(\bruch{a*\sin\left(c\right)}{a*\cos\left(c\right)-b}\right)[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Di 30.09.2008 | | Autor: | maxiantor |
Nein, zum Glück nicht, danke für die Korrektur , ich hatte das schonmal mit dem Rechner an einem Dreieck versucht zu berechnen, wo ich eig. alle Winkel und Seiten ausmessen konnte, und da hatte ich schon gemerkt, dass ich das a vergessen hatte, mein Fehler das hier wieder falsch einzutippen. :)
|
|
|
|
