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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Nullstellenberechnung
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Nullstellenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Do 06.05.2021
Autor: Delia00

Aufgabe
Bestimme die Ableitungen und berechne anschließend die Nullstellen aller Funktionen. (f(x), f‘(x), f‘‘(x))

f(x)= [mm] -2x^2+e^{4x-8} [/mm]


Hallo zusammen,

die Ableitungen konnte ich bilden.

f '(x) = [mm] -4x+4*e^{4x-8} [/mm]
f ''(x) = [mm] -4+16*e^{4x-8} [/mm]
f(3)(x) = [mm] 64*e^{4x-8} [/mm]

Leider weiß ich nicht, wie ich die Nullstellen berechnen soll.

Das Ausklammern und Substituieren funktioniert da nicht.

Danke.

        
Bezug
Nullstellenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Do 06.05.2021
Autor: chrisno

Fang mal mit der dritten Ableitung an. Da ist es mit den Nullstellen sehr einfach. Danach die zweite Ableitung, das wird Dir auch nicht so schwer fallen.
Bei der Funktion selbst und der ersten Ableitung bin ich skeptisch, ob die Lösung nicht nur mit einem Nullstellenverfahren numerisch zu finden ist. Da suche ich noch ein wenig.

Nach kurzer Suche: Ich sehe da keine Chance, außer mit der numerischen Nullstellenuche.
Um alle Nullstellen zu erwischen, lohnt es sich, mal den Funktonsgraphen zu plotten.

Für $x [mm] \to -\infty$ [/mm] wird der Term mit der Exponentialfunktion verschwindend klein. Also bleibt praktisch die nach unten geöffnete Parabel übrig. Also $f(x) [mm] \to -\infty$ [/mm]
Für $x [mm] \to \infty$ [/mm] dominiert der Term mit der Exponentialfunktion. Also $f(x) [mm] \to \infty$ [/mm]
Dazwischen muss eine Nullstelle liegen.
Für x = 0 bleibt nur die Exponentialfunktion übrig, es muss also eine Nullstelle bei x < 0 geben.
Für x = 2 wird die Exponentialfünktion 1, der Funktionswert also -7. Es müssen also noch weitere Nullstellen zwischen 0 und 1, sowie bei x > 2 liegen.

Ähnlich kannst Du herausbekommen, dass die erste Ableitung mindestens zwei Nullstellen haben muss.
Dass es nicht mehr sind, verrät Dir die zweite Ableitung...



Ich habe leider vergessen, auf "teilweise beantwortet" zu stellen.

Bezug
                
Bezug
Nullstellenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Do 06.05.2021
Autor: Delia00

Die Nullstellen von der zweiten und dritten Ableitung habe ich raus.

Bei der ersten Ableitung und der Ausgangsfunktion bin ich überfragt

Bezug
                        
Bezug
Nullstellenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:42 Fr 07.05.2021
Autor: chrisno

Das Entscheidende ist, ob Du wissen willst, mit welchen Methoden dann die Nullstellen gesucht und näherungsweise angegeben werden.

Bezug
                
Bezug
Nullstellenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 Do 06.05.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich habe leider vergessen, auf "teilweise beantwortet" zu stellen.

ich hab es mal auf vollständig beantwortet gestellt.
Du hast völlig recht mit den Nullstellen, mehr gibt es dazu mMn nicht zu sagen :-)

Gruß,
Gono


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