Nullstellenberechnung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f:x --> [mm] 3x^{3} [/mm] + p [mm] \* x^{2} [/mm] + 3x; x [mm] \in \IR
[/mm]
a) Setzen Sie in den Funktionsterm p = -10 ein und bestimmen Sie dann alle Nullstellen der Funktion f.
b) Für welchen Wert von p hat f eine Nullstelle bei x = -3?
c) Für welchen Wert von p ist der Graph von f punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems? |
Ich hänge noch immer bei Aufgabe a). Ich habs mit Polynomdivision versucht, um auf eine Quadratische Gleichung zu kommen. Aber entweder, das ist grundsätzlich der falsche Weg, oder ich finde den passenden Divisor nicht (ich habs mit (x - 3) und mit (x - 1) versucht). Irgendwie hänge ich hier fest und finde die richtige Methode nicht. Und einfach ausprobieren wäre ja langweilig... ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Mo 25.08.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
Polynomdivision ist hier nicht sinnvoll.
> a) Setzen Sie in den Funktionsterm p = -10 ein und bestimmen Sie dann alle Nullstellen der Funktion f.
Dann machen wir das doch einfach mal:
Setzen wir p=-10:
[mm] f(x)=3x^{3}-10\cdot{}x^{2}+3x
[/mm]
Fällt dir was auf? Du kannst x doch ausklammern!!!
[mm] f(x)=x*(3x^2-10x+3)
[/mm]
f(x)=0, wenn einer der beiden Faktoren, also x oder [mm] 3x^2-10x+3 [/mm] gleich 0 ist.
Und [mm] 3x^2-10x+3 [/mm] ist ja eine quadratische Gleichung, die du ganz einfach lösen kannst.
Da du zu b) und c) keine Frage gestellt hast, nehme ich an, dass du damit zurecht kommst. Ansonsten: Nachfragen.
MfG barsch
P.S.: Kleiner Tipp: Schau dir das Verfahren der Polynomdivision doch noch einmal an. Denn wenn ich lese, dass du die Polynomdivision mit (x-3) und (x-1) versucht hast, kommt es mir so vor, als sei dir das Verfahren nicht allzu vertraut. 
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ok gut...also versuch ich das jetzt mit dieser p-q-Formel...aber was mache ich mit der 3 vor dem x?
Ich hab nämlich mal abgesehen von dieser Polynomdivision (die ich wirklich nicht ganz durchsteige), auch schon versucht, 3x auszuklammern, aber auch da bin ich dann hängen geblieben, weil mir mitten unter der Rechnung dieser p-q-Formel eingefallen ist, dass ich ja dann hinterher nicht weiß, was ich mit den 3x anfangen soll...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mo 25.08.2008 | | Autor: | barsch |
Hey,
stimmt, die 3 stört.
Aber du hast schon recht; du kannst 3x ausklammern, oder du teilst
[mm] 3x^2-10x+3 [/mm] durch 3. Beides hat denselben Effekt.
> Ich hab nämlich mal abgesehen von dieser Polynomdivision
> (die ich wirklich nicht ganz durchsteige), auch schon
> versucht, 3x auszuklammern, aber auch da bin ich dann
> hängen geblieben,
Klammern wir doch einmal die 3x aus:
[mm] 3x^3-10x^3+3x=3x*(x^2-\bruch{10}{3}x+1)
[/mm]
Selbes Spiel: Einer der beiden Faktoren, also 3x oder [mm] x^2-\bruch{10}{3}x+1 [/mm] muss gleich 0 sein, damit f(x)=0.
Und da [mm] x^2 [/mm] keinen Vorfaktor mehr hat, kannst du die p-q-Formel anwenden.
MfG barsch
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> Hi,
>
> Polynomdivision ist hier nicht sinnvoll.
Eben doch !
Nämlich die allereinfachste Form der Polynomdivision:
Division durch x ...... oder wer das lieber mag, durch (x-0) !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Leguan1983 |
> > Hi,
> >
> > Polynomdivision ist hier nicht sinnvoll.
>
>
> Eben doch !
>
> Nämlich die allereinfachste Form der Polynomdivision:
>
> Division durch x ...... oder wer das lieber mag,
> durch (x-0) !
Aber ich komme damit aufs gleiche Ergebnis, oder? Mir leuchtet das mit der Polynomdivision noch nicht so ganz ein, deshalb frage ich so doof. Ich mach das alles per Fernstudium und es ist relativ umständlich, da jemanden zu fragen, wenn mir etwas unklar ist. Und die Polynomdivision ist eben so ein Fall. Ich hab noch immer nicht begriffen, woher ich weiß, ob hinter dem x ein plus oder ein minus kommt, und auch nicht, woher ich die Ziffer, die zu subtrahieren oder zu addieren ist, bekomme. Offenbar wohl durch erraten der ersten Nullstelle. Aber geht das denn nicht einfacher?
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> Mir leuchtet das mit der Polynomdivision noch nicht so ganz
> ein. Ich hab noch immer nicht begriffen,
> woher ich weiß, ob hinter dem x ein plus oder ein minus
> kommt, und auch nicht, woher ich die Ziffer, die zu
> subtrahieren oder zu addieren ist, bekomme. Offenbar wohl
> durch erraten der ersten Nullstelle. Aber geht das denn
> nicht einfacher?
Lineare und quadratische Gleichungen kann man sehr leicht
durch Umformen oder mit der p-q- oder der a-b-c-Formel
lösen. Für Gleichungen 3. und 4. Ordnung gibt es zwar (eher
komplizierte) Lösungsformeln, die aber heute kaum noch
verwendet und gelehrt werden. Für Gleichungen noch höherer
Grade gibt es nicht einmal allgemeine Lösungsformeln.
Man löst sie deshalb oft nicht algebraisch, sondern mit
numerischen Näherungsmethoden.
Für viele Gleichungen z.B. dritten, vierten oder fünften
Grades, die in Schulbüchern und manchmal auch in angewandten
Aufgaben auftreten, gibt es die Methode der Polynomdivision.
Die Idee dazu kann man auch schon an quadratischen Gleichungen
sehen:
Beispiel 1
[mm] 5x^2-7x=0
[/mm]
Man kann die linke Seite der Gleichung in Faktoren zerlegen:
x*(5x-7)=0
Ein Produkt wird genau dann gleich null, wenn einer seiner
Faktoren null ist, hier also:
x=0 oder 5x-7=0
Dies führt sofort auf die beiden Lösungen [mm] x_1=0 [/mm] , [mm] x_2=\bruch{7}{5}=1.4
[/mm]
Beispiel 2
[mm] x^2+3x-40=0
[/mm]
Auch hier kann man die linke Seite der Gleichung in Faktoren zerlegen:
(x+8)*(x-5)=0
Ein Produkt wird genau dann gleich null, wenn einer seiner
Faktoren null ist, hier also:
x+8=0 oder x-5=0
x+8=0 führt auf [mm] x_1=-8 [/mm] ; x-5=0 auf [mm] x_2=+5 [/mm] .
Beachte, dass im letzten Beispiel das Produkt der beiden
Lösungen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gerade -40 ergibt, also die Zahl,
die in der Gleichung als konstantes Glied auftrat.
Beispiel 3
Jetzt basteln wir eine kubische Gleichung zusammen, die
die drei vorgegebenen Lösungen [mm] x_1=2 [/mm] , [mm] x_2=5 [/mm] und
[mm] x_3=-1 [/mm] hat. Wir gehen dabei genau umgekehrt vor wie vorher:
x=2 kann man auch schreiben als (x-2)=0,
x=5 als (x-5)=0 und x=-1 als (x+1)=0.
Wenn wir nun diese drei Gleichungen beidseitig miteinander
multiplizieren, erhalten wir:
(x-2)*(x-5)*(x+1)=0*0*0=0
Diese Gleichung hat offensichtlich genau die drei gewünschten
Lösungen [mm] x_1=2 [/mm] , [mm] x_2=5 [/mm] und [mm] x_3=-1 [/mm] . Daran ändert sich
auch nichts, wenn man links ausmultipliziert und die Gleichung
so schreibt:
[mm] x^3-6x^2+3x+10=0
[/mm]
Aus dieser Gleichung kann man zwar die Lösungen nicht mehr
unmittelbar ablesen, aber ein wichtiges Indiz ist noch vorhanden:
Auch hier ist das konstante Glied (hier also 10) das Produkt
der drei Lösungen, also [mm] x_1*x_2*x_3 [/mm] . Wenn man Grund
zur Vermutung hat, dass die Lösungen (oder wenigstens eine
davon) ganzzahlig sind - dies ist vor allem bei Aufgaben aus
Schulbüchern mit grosser Wahrscheinlichkeit der Fall - dann
hat man recht leichtes Spiel:
Eine solche ganzzahlige Lösung müsste einer der (positiven
oder negativen) ganzzahligen Teiler von 10 sein. Da es davon
nur recht wenige gibt, kann man mit etwas Glück und probieren
leicht eine Lösung finden - und dann die Polynomdivision
anwenden, um den kubischen Term in ein Produkt aus dem
linearen Term [mm] (x-x_1), [/mm] wobei [mm] x_1 [/mm] die durch Probieren
ermittelte Lösung ist, und einem verbleibenden quadratischen
Term zu zerlegen. Auf die entstehende Gleichung kann man
das gleiche Verfahren nochmals anwenden oder aber sie nach
einer der Lösungsformeln auflösen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:14 Di 26.08.2008 | | Autor: | Leguan1983 |
Ui, vielen vielen Dank, jetzt hab ich das verstanden. Vielen Dank für die Mühe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Mo 25.08.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich bin es noch einmal 
Nein, Polynomdivision ist nicht grundsätzlich falsch. Hier geht es ohne Polynomdivision einfacher.
Um die Polynomdivision anwenden zu können, muss man meistens die erste Nullstelle [mm] x_0 [/mm] raten (sofern man diese nicht gleich sieht). Hast du eine Nullstelle gefunden, lautet der Divisor [mm] (x-x_0). [/mm] Würden wir bei deiner Funktion f die Polynomdivision anwenden, würde uns 0 als Nullstelle ins Auge springen. Dann müssten wir durch (x-0)=x teilen. Denselben Effekt hat hier auch das Ausklammern von x.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Leguan1983 |
Uns springt die 0 als Nullstelle ins Auge?? vielleicht ist es auch einfach zu spät für Mathe, aber ich seh das nicht...?!?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Mo 25.08.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
doch, das siehst du auch. Aber es ist ja schon spät.
Wir haben doch
[mm] f(x)=3*\red{x}^3-10*\red{x}^2+3*\red{x}
[/mm]
Und jetzt sehen wir sofort:
[mm] 3*\red{0}^3-10*\red{0}^2+3*\red{0}=0, [/mm] also ist x=0 Nullstelle.
MfG barsch
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Ja, ok, jetzt seh ichs auch *schäm*
Aber ok, ich hab jetzt die p-q-Formel angewendet. Einmal mit plus und einmal mit minus.
Ich hab da raus [mm] x\approx [/mm] -0.34 und x = -3
Zusätzlich zu der 0 von oben hätten wir dann 3 Nullstellen. Das könnte ja vom Grad her hinhauen, aber das ist gar so ungleichmäßig. Kann das stimmen? Außerdem beißt sich das dann irgendwie mit Teilfrage b)... Ich bin skeptisch...
Ich kann auch den Lösungsweg reinschreiben, dauert dann aber etwas, weil ich immer mit diesen Zeichensätzen kämpfen muss.
Vielen Dank für Eure Geduld,
Mfg Mandy
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> Ja, ok, jetzt seh ichs auch *schäm*
>
> Aber ok, ich hab jetzt die p-q-Formel angewendet. Einmal
> mit plus und einmal mit minus.
>
> Ich hab da raus [mm]x\approx[/mm] -0.34 und x = -3
Hallo,
irgendwas ist da schiefgelaufen.
ich bekomme die Nullstellen [mm] 3,\bruch{1}{3} [/mm] und 0,
also genau mit dem umgekehrten Vorzeichen.
Es geht doch noch um [mm] f(x)=3x^3-10x^2+3x [/mm] ?
Gruß v. Angela
>
> Zusätzlich zu der 0 von oben hätten wir dann 3 Nullstellen.
> Das könnte ja vom Grad her hinhauen, aber das ist gar so
> ungleichmäßig. Kann das stimmen? Außerdem beißt sich das
> dann irgendwie mit Teilfrage b)... Ich bin skeptisch...
>
> Ich kann auch den Lösungsweg reinschreiben, dauert dann
> aber etwas, weil ich immer mit diesen Zeichensätzen kämpfen
> muss.
>
> Vielen Dank für Eure Geduld,
>
> Mfg Mandy
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> > Ja, ok, jetzt seh ichs auch *schäm*
> >
> > Aber ok, ich hab jetzt die p-q-Formel angewendet. Einmal
> > mit plus und einmal mit minus.
> >
> > Ich hab da raus [mm]x\approx[/mm] -0.34 und x = -3
>
> Hallo,
>
> irgendwas ist da schiefgelaufen.
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> ich bekomme die Nullstellen [mm]3,\bruch{1}{3}[/mm] und 0,
>
> also genau mit dem umgekehrten Vorzeichen.
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> Es geht doch noch um [mm]f(x)=3x^3-10x^2+3x[/mm] ?
>
> Gruß v. Angela
> >
> > Zusätzlich zu der 0 von oben hätten wir dann 3 Nullstellen.
> > Das könnte ja vom Grad her hinhauen, aber das ist gar so
> > ungleichmäßig. Kann das stimmen? Außerdem beißt sich das
> > dann irgendwie mit Teilfrage b)... Ich bin skeptisch...
> >
> > Ich kann auch den Lösungsweg reinschreiben, dauert dann
> > aber etwas, weil ich immer mit diesen Zeichensätzen kämpfen
> > muss.
> >
> > Vielen Dank für Eure Geduld,
> >
> > Mfg Mandy
>
ja, genau um die geht es...ok, dann jetzt mal mein Rechenweg: vielleicht hab ich da ja was verwurschtelt...
[mm]f(x)=3x^3-10x^2+3x
=3x(x^2-\bruch{10}{3}x+1)
x={-\bruch{p}{2}} + \wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q}[/mm] argh, ich bekomms nich hin...ihr wisst, was gemeint ist...
= - 3,33/2 + [mm] \wurzel{2,78 - 1}
[/mm]
= -1,67 + 1,33
analog dazu dann eben
-1,67 - 1,33
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Hallo Mandy,
> > > Ja, ok, jetzt seh ichs auch *schäm*
> > >
> > > Aber ok, ich hab jetzt die p-q-Formel angewendet. Einmal
> > > mit plus und einmal mit minus.
> > >
> > > Ich hab da raus [mm]x\approx[/mm] -0.34 und x = -3
> >
> > Hallo,
> >
> > irgendwas ist da schiefgelaufen.
> >
> > ich bekomme die Nullstellen [mm]3,\bruch{1}{3}[/mm] und 0,
> >
> > also genau mit dem umgekehrten Vorzeichen.
> >
> > Es geht doch noch um [mm]f(x)=3x^3-10x^2+3x[/mm] ?
> >
> > Gruß v. Angela
> > >
> > > Zusätzlich zu der 0 von oben hätten wir dann 3 Nullstellen.
> > > Das könnte ja vom Grad her hinhauen, aber das ist gar so
> > > ungleichmäßig. Kann das stimmen? Außerdem beißt sich das
> > > dann irgendwie mit Teilfrage b)... Ich bin skeptisch...
> > >
> > > Ich kann auch den Lösungsweg reinschreiben, dauert dann
> > > aber etwas, weil ich immer mit diesen Zeichensätzen kämpfen
> > > muss.
> > >
> > > Vielen Dank für Eure Geduld,
> > >
> > > Mfg Mandy
> >
> ja, genau um die geht es...ok, dann jetzt mal mein
> Rechenweg: vielleicht hab ich da ja was verwurschtelt...
>
> [mm]f(x)=3x^3-10x^2+3x
=3x(x^2-\bruch{10}{3}x+1) [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm] x={-\bruch{p}{2}} + \wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q}[/mm]
> argh, ich bekomms nich hin...ihr wisst, was gemeint ist...
Ich tippe es mal ein
[mm] $x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q} [/mm] \ [mm] \leftarrow$ klick
>
> = - 3,33/2 + [/mm] [mm]\wurzel{2,78 - 1}[/mm]
> = -1,67 + 1,33
>
> analog dazu dann eben
>
> -1,67 - 1,33
Da haste was verhutzelt, es kommen positive Werte heraus!
Es ist hier [mm] $p=-\frac{10}{3}$, [/mm] dann ist doch [mm] $-\frac{p}{2}=-\left(\frac{-\frac{10}{3}}{2}\right)=+\frac{10}{6}$
[/mm]
Also [mm] $\left(\frac{p}{2}\right)^2=\frac{100}{36}$
[/mm]
Rechne damit nochmal nach und rechne bitte in Brüchen, damit lässt sich hier wunderbar rechnen ohne TR einfach auf dem Blatt ...
LG
schachuzipus
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aaaah...ok, das war wohl dieser berühmte Leichtsinnsfehler...
Vielen Dank. Ok, gut. Dann komme ich jetzt auch auf die Werte von Angela, nämlich 0, 3 und [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Wenn ich mit meiner falschen Rechnung auf -3 gekommen bin, dann müsste der Wert von p in Teilaufgabe b) ja p=10 sein, oder?
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Hallo, so ist es, für p=10, hast du eine Nullstelle bei x=-3, Steffi
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wow, genial, ich bin ganz allein auf die Antwort gekommen, und dazu noch durch einen Fehler *freu*...
Nun gut, jetzt fehlt noch Teilaufgabe c).
Könnte die mir jemand umformulieren, dass Handwerker wie ich die auch verstehen? Mal abgesehen davon, dass ich keinen blassen Schimmer habe, wie der Graph von f aussieht, verstehe ich auch dieses "punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems" nicht. Was ist denn der Ursprung? 0/0? Und wenn das so ist, was bedeutet denn dann dieses Punktsymmetrisch?
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Hallo, zunächst einmal das Bild der Funktion [mm] f(x)=3x^{3}-10x^{2}+3x, [/mm] gezeichnet mit FunkyPlot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
der Ursprung des Koordinatensystems ist der Punkt (0; 0), Schnittpunkt der Achsen,
jetzt gibt es zwei Möglichkeiten der Symmetrie:
- Achsensymmetrie, z.B. ist die Funktion [mm] f(x)=x^{2}-1 [/mm] achsensymmetrisch zur y-Achse, du spiegelst jeweils an der y-Achse, es gilt f(-x)=f(x), setze mal -2 und 2 in deine Funktion ein,
- Punktsymmetrie, es wird am Punkt (0; 0) gespiegelt, es gilt f(-x)=-f(x)
[mm] -3x^{3}+px^{2}-3x=-(3x^{3}+px^{2}+3x)
[/mm]
links vom Gleichheitszeichen: setze -x in die Funktionsgleichung ein,
löse die Klammer auf, du bekommst p= ...
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Di 26.08.2008 | | Autor: | thobika |
ergibt sich für p=0 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo thobika!
Wenn Du Teilaufgabe c.) meinst ... richtig!
Gruß
Loddar
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Hallo an alle lieben Helferlein mit ihrer riiiiiesen Geduld...
Tut mir leid, aber ich begreife es einfach nicht. Ich hab jetzt mein Buch gewälzt auf der Suche nach einer für mich nachvollziehbaren Erklärung für diese Formeln. Einzig dazu gefunden habe ich folgendes:
Potenzfunktionen geraden Grades sind achsensymmetrisch zur y-Achse und solche ungeraden Grades sind punktsymmetrisch zum Ursprung. So: was ich daran nicht verstehe ist folgendes: was bedeutet dieses punktsymmetrisch zum Ursprung? Dass eine dieser "Spitzen" auf (0/0) liegt?
Ich hab nochwas gefunden: "Alle Graphen der Potenzfunktionen haben den Punkt (1/1) gemeinsam." Ich kann mir ja vorstellen, dass man alle diese Graphen irgendwie verschieben und dehnen kann und so, sodass dieser Punkt nicht mehr da ist. AAAber: woran erkenne ich in meinem Term, welche dieser Zahlen genau das hervorruft?
Ich stehe total auf dem Schlauch und sehe außer Zahlen und Variablen nur noch Zahlen und Variablen. Aber sie geben keinen Sinn... *verzweifel*
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Di 26.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo an alle lieben Helferlein mit ihrer riiiiiesen
> Geduld...
>
> Tut mir leid, aber ich begreife es einfach nicht. Ich hab
> jetzt mein Buch gewälzt auf der Suche nach einer für mich
> nachvollziehbaren Erklärung für diese Formeln. Einzig dazu
> gefunden habe ich folgendes:
>
> Potenzfunktionen geraden Grades sind achsensymmetrisch zur
> y-Achse und solche ungeraden Grades sind punktsymmetrisch
> zum Ursprung. So: was ich daran nicht verstehe ist
> folgendes: was bedeutet dieses punktsymmetrisch zum
> Ursprung? Dass eine dieser "Spitzen" auf (0/0) liegt?
> Ich hab nochwas gefunden: "Alle Graphen der
> Potenzfunktionen haben den Punkt (1/1) gemeinsam." Ich kann
> mir ja vorstellen, dass man alle diese Graphen irgendwie
> verschieben und dehnen kann und so, sodass dieser Punkt
> nicht mehr da ist. AAAber: woran erkenne ich in meinem
> Term, welche dieser Zahlen genau das hervorruft?
>
> Ich stehe total auf dem Schlauch und sehe außer Zahlen und
> Variablen nur noch Zahlen und Variablen. Aber sie geben
> keinen Sinn... *verzweifel*
Ich glaube, du kommst mit den Begriffen nicht klar.
"Potenzfunktionen" nennt man nur solche "alleinstehenden" Funktionen wie [mm] y=x^2, y=x^3, y=x^{-5}, y=x^{\bruch{2}{3}} [/mm] usw.
Dort gilt tatsächlich, dass man für y immer 1 erhält, wenn man x=1 setzt.
Die Summen von Vielfachen verschiedener Potenzfunktionen nennt man nicht mehr "Potenzfunktionen", sondern ganzrationale (z.B. [mm] y=5*x^3-3*x^2 [/mm] )bzw. gebrochenrationale Funktionen (z.B. [mm] y=x^3+2x+5*x^{-4}). [/mm] Dort muss der Funktionswert an der Stelle 1 nicht wieder 1 ergeben.
Gruß Abakus
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Mh, ja ok. Stimmt. Aber das führt mich meiner Lösung noch nicht näher. Ich kann das natürlich einfach so übernehmen und quasi abschreiben, aber beim nächsten mal weiß ich es ja wieder nicht, weil ichs einfach nicht verstanden hab...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Di 26.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Wo liegt denn noch konkret dein Problem?
Alles, was du für das Lösen dieser Aufgabe wirklich brauchst ist die Tatsache, dass alle ganzrationalen Gleichungen, welche NUR gerade Exponenten enthalten, stets eine Symmetrie zu den Achsen aufweist.
Wenn die ganzrationale Gleichung NUR ungerade Exponenten enthält, liegt eine Symmetrie zum Ursprung vor.
Das liegt konkreterweise daran, dass bei der Symmetrie zu den Achsen "rechts immer das gleiche wie links passiert".
Wenn du z.b. bei f(5) den y- Wert 7 erhälst, muss es zwangsweise auch bei f(-5)=7.
Durch die geraden Exponenten werden alle Ergebnisse quasi positiviert, bilanziert, wie auch immer du es nennen möchtest. Es gibt nur positive Ergebnisse. Am einfachsten zeichnest du mal ebend x² und [mm] x^{4}, [/mm] da wird es dir ganz schnell klar.
Bei ungeraden Exponenten liegt die identische Analogie vor.
Zeichne auch da einfach mal x³ und [mm] x^{5}.
[/mm]
Wenn noch Fragen offen sind, frag :)
Lg
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