Nullstellenbestimmung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
| Aufgabe | | [mm] x^3 [/mm] - [mm] 11x^2 [/mm] + 35x – 25 = 0 |
Hallo
Ich versuche für die nachstehende Funktion die Nullstelle zu berechnen und komme nicht weiter.....
[mm] x^3 [/mm] - [mm] 11x^2 [/mm] + 35x – 25 = 0
kann mir jemand einen Tipp geben
VIELEN Dank
Klaus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo
danke für den Tipp.
also [mm] .....(x^3 [/mm] - [mm] 11x^2 [/mm] + 35x – 25):(x+1)
Habe ich das richtig verstanden?
Danke Klaus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Klaus!
> also [mm].....(x^3[/mm] - [mm]11x^2[/mm] + 35x – 25):(x+1)
Ist [mm]x \ = \ \red{-}1[/mm] eine Nullstelle? Ich denke mal nicht. 
Aber [mm]x_N \ = \ \red{+}1[/mm] ist eine Nullstelle, so dass Du rechnen musst:
[mm]\left(x^3-11x^2+35x-25\right) \ : \ (x \ \red{-} \ 1) \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo Loddar
hmmmm.
Warum ist +1 eine Nullstelle ..... und nicht - 1. Und warum muss ich mit -1 rechnen, wenn +1 die Nullstelle ist?
Ich habe es gerde mit x-1 durch gerechnet - klappt mit der Polynomdivision.
Danke für eine Info -- habe das Thema nicht wirklich verinnerlicht
Danke - Klaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Klaus!
> Warum ist +1 eine Nullstelle ..... und nicht - 1.
Setze doch mal beide Werte ein. Welcher der Werte erfüllt die Gleichung, und welcher nicht?
> Und warum muss ich mit -1 rechnen, wenn +1 die Nullstelle ist?
Weil man die Polynomdivision durch den Term [mm] $\left(x \ \red{-} \ x_N\right)$ [/mm] durchführt. Und das ergibt mit $+1_$ :
$[x-(+1)] \ = \ (x-1)$
> Ich habe es gerde mit x-1 durch gerechnet - klappt mit der
> Polynomdivision.
Na siehste.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
wenn ich die Sache mit x-1 durchrechne bekomme ich [mm] x^2 [/mm] - 10x +25 raus.
mit Hilfe der p-q Formel rechne ich dann x1 und x2 aus.
+5 +/- Wurzel aus [mm] 5^2-25
[/mm]
Im Ergebnis kommt dann für x1 und x2 5 raus, weil unter der Wurzel 25-25 gerechnet wird. Oder muss ich bei der p-q Formel unter der Wurzel [mm] -5^2 [/mm] rechnen.
Dann hätte ich zwei unterschiedliche x1 und 2 Punkte.
Aus den negativen -10x gehe ich ja auch mit umgekehrten Vorzeichen in die Formel.
Danke - Klaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo Loddar
Erst einmal ----- Vielen Dank!!!!!!!!!
ich habe aber nochmal ein Frage zu deiner Ausage
"Weil man die Polynomdivision durch den Term $ [mm] \left(x \ \red{-} \ x_N\right) [/mm] $ durchführt. Und das ergibt mit $ +1_ $ :
$ [x-(+1)] \ = \ (x-1) $"
Kannst du mir hier noch mal einen Info geben ---- bedeutet dies, dass immer mit einen x - negative Zahl (in unserem Fall eben die 1) die Polynomdivision durchgeführt wird?
Danke Klaus
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Hallo Klaus,
> Hallo Loddar
>
> Erst einmal ----- Vielen Dank!!!!!!!!!
>
> ich habe aber nochmal ein Frage zu deiner Ausage
>
> "Weil man die Polynomdivision durch den Term [mm]\left(x \ \red{-} \ x_N\right)[/mm]
> durchführt. Und das ergibt mit [mm]+1_[/mm] :
>
> [mm][x-(+1)] \ = \ (x-1) [/mm]"
>
> Kannst du mir hier noch mal einen Info geben ---- bedeutet
> dies, dass immer mit einen x - negative Zahl
Nicht [mm] $x-\text{negative Zahl}$, [/mm] sondern $x-Nullstelle$ !!
> (in unserem
> Fall eben die 1)
Ja, und die 1 ist ja die bekannte die Nullstelle!
x-Nullstelle = x-1
> die Polynomdivision durchgeführt wird?
Das hat mit positiv oder negativ nix zu tun.
Wenn du eine Nullstelle [mm]\blue{x_N}[/mm], egal ob positiv oder negativ, gefunden hast, machst du für die Polynomdivision den Schritt
[mm]f(x):(x\red{-}\blue{x_N})=...[/mm]
Und hier ist [mm]\blue{x_N=+1=1}[/mm], also [mm]f(x):(x\red -\blue{1})[/mm]
Du teilst immer durch [mm](x-Nullstelle)[/mm]
>
> Danke Klaus
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
OK --- jetzt habe ich es.
Ich habe noch jedoch eine Frage zur p-q Formel.
Wenn ich [mm] 3x^4 [/mm] + [mm] 12x^2 [/mm] = 0 lösen möchte, dann nutze ich die bioquadratische Gleichung.
Dann habe ich [mm] -3z^2 [/mm] +12z bzw. [mm] z^2 [/mm] + 4z
Jetzt habe ich ja in der p-q formel kein p [mm] (x^2 [/mm] +px +q) wobei x jetzt ja z ist
Bedeutet dies, dass ich z 1 und 2 mit -4/2 +/- Wurzel aus [mm] 4/2^2 [/mm] rechne? ... ohne ein q zu haben?
Danke – Klaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
Hey,
was ist denn die bioquadratische Gleichung?
Also bei der vorliegenden Gleichung würde ich einfach [mm] x^{2} [/mm] ausklammern, sodass du
[mm] x^{2} [/mm] * [mm] (3x^{2} [/mm] + 12) erhälst. Von diesem Schritt aus müsstest du [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] selber bestimmen können, in dem du dir überlegst, wann a * b = 0 ist.
mfg,
zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
T´schuldigung .... ich meinte biquadratisch
ich habe es mal durch gerechnet (mit der p-q) formel und bekomme
x1 und x2 = 0
x2 und x3 = 2 raus
dir kann kann ich mit dem ausklammern nicht folgen .... wie meinst du das?
Danke - Klaus
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Hallo
du möchtest [mm] 3x^4+12x^2=0 [/mm] lösen, Gleichung durch 3 teilen [mm] x^4+4x^2=0
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] ausklammern, [mm] x^2 [/mm] ist als Faktor in [mm] x^4 [/mm] und [mm] x^2 [/mm] enthalten, somit
[mm] x^2(x^2+4)=0
[/mm]
ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist
[mm] x^2=0 [/mm] somit x=0
[mm] x^2+4=0
[/mm]
[mm] x^2=-4 [/mm] hat keine relle Lösung
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo
danke für die Antwort. Das mit dem Ausklammern verstehe ich.
das ein x =0 sein muss verstehe ich auch
$ [mm] x^2=-4 [/mm] $ hat keine relle Lösung ...... versteh ich leider nicht.
Was meins du damit?
Danke Klaus
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> [mm]x^2=-4[/mm] hat keine relle Lösung ...... versteh ich leider
> nicht.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Gleichung [mm] x^2=-4 [/mm] hat keine Lösung, weil es keine Zahl gibt, welche quadriert -4 ergibt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
ja das ist wohl so ...... ich sitze schon zu lange und lerne.
Eine Aufgabe habe ich aber noch, welche mich auch ganz mürbe macht.
[mm] 3x^5 [/mm] - [mm] x^4 [/mm] - [mm] 2x^3 [/mm] = 0
geh ich die auch über das ausklmmern an? also
[mm] x^3 [/mm] x [mm] (3x^2 [/mm] -x -2) = 0
[mm] x^3 [/mm] = 0
[mm] 3x^2 [/mm] -x -2 =0
[mm] 3x^2 [/mm] = x+2
x = Wurzel aus x+2/3 ........ hier hänge ich
VIELEN DANK - Klaus
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> ja das ist wohl so ...... ich sitze schon zu lange und
> lerne.
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> Eine Aufgabe habe ich aber noch, welche mich auch ganz
> mürbe macht.
>
> [mm]3x^5[/mm] - [mm]x^4[/mm] - [mm]2x^3[/mm] = 0
>
> geh ich die auch über das ausklmmern an?
Hallo,
ja.
> also
>
> [mm]x^3[/mm] *[mm](3x^2[/mm] -x -2) = 0
Ja.
Dann ist
>
> [mm]x^3[/mm] = 0
> oder es ist
> [mm]3x^2[/mm] -x -2 =0
Diese beiden Gleichungen sind nun zu lösen.
Die erste ist sehr leicht.
Die zweite ist eine quadratische Gleichung,
Du kannst sie mit der abs-Formel (Mitternachtsformel, ggf. nachschlagen), oder, wenn Du sie umgeformt hast zu [mm] x^2-\bruch{1}{3}x-\bruch{2}{3}, [/mm] mit der pq-Formel lösen. Oder mit quadratischer Ergänzung - aber ich glaube, das magst Du nicht so.
Achtung, Achtung: das Lösen von quadratischen Gleichungen mußt Du unbedingt lernen! Es gehört zur Grundausstattung.
LG Angela
> [mm]3x^2[/mm] = x+2
>
> x = Wurzel aus x+2/3 ........ hier hänge ich
>
> VIELEN DANK - Klaus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo noch mal
Vielen Dank für die Hilfe aus dem Forum.
Ich habe jetzt noch mal eine neue Aufgabe durchgerechnet und möchte das Ergebnis hier noch mal zum Check einstellen.
Ich hoffe ich habe alle hinweise der Beiträge richtig umgesetzt
(2x +3) x [mm] (2x^2 [/mm] -4x +2) = 0
a*b=0
2x + 3 = 0
x = -3/2
x1 = -1,5
[mm] 2x^2 [/mm] -4x + 2 = 0 I:2
[mm] x^2 [/mm] -2x +1 = 0
auflösen mit pq Formel
x2,3 = 2/2 +/- Wurzel aus [mm] (2/2)^2 [/mm] – 1
x2,3 = 1 +/- Wurzel aus 1 – 1
x2,3 = 1 +/- 0
x2 = 1
x3 = 1
ist eine doppelte Nullstelle.
Danke Klaus
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Hallo emsapfel,.
> Hallo noch mal
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> Vielen Dank für die Hilfe aus dem Forum.
>
> Ich habe jetzt noch mal eine neue Aufgabe durchgerechnet
> und möchte das Ergebnis hier noch mal zum Check
> einstellen.
>
> Ich hoffe ich habe alle hinweise der Beiträge richtig
> umgesetzt
>
> (2x +3) x [mm](2x^2[/mm] -4x +2) = 0
>
> a*b=0
>
> 2x + 3 = 0
> x = -3/2
> x1 = -1,5
>
> [mm]2x^2[/mm] -4x + 2 = 0 I:2
> [mm]x^2[/mm] -2x +1 = 0
>
> auflösen mit pq Formel
>
> x2,3 = 2/2 +/- Wurzel aus [mm](2/2)^2[/mm] – 1
> x2,3 = 1 +/- Wurzel aus 1 – 1
> x2,3 = 1 +/- 0
> x2 = 1
> x3 = 1
>
> ist eine doppelte Nullstelle.
>
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danke Klaus
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
Es wird gerad schon bearbeitet, von daher nur eine kleine Anmerkung von mir:
[mm] 3x^{4} [/mm] + 12 [mm] x^{2} [/mm] = 0
[mm] \gdw x^{2}(3x^{2}+12) [/mm] = 0
An der Stelle erkennt man doch, dass die Gleichung erfüllt ist, wenn entweder der 1. Faktor [mm] x^{2} [/mm] = 0 ist oder der 2. Faktor [mm] (3x^{2}+12) [/mm] = 0 ist.
[mm] x_{1} [/mm] lauter daher [mm] x_{1}=0 [/mm] und für [mm] x_{2} [/mm] musst du diese Gleichung [mm] (3x^{2}+12) [/mm] = 0 berechnen.
mfg,
zjay
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und warum
> muss ich mit -1 rechnen, wenn +1 die Nullstelle ist?
nun, Du hast da ein Polynom, schreiben wir [mm] $P(x)\,$ [/mm] dafür und Du willst
wissen, wann [mm] $P(x)=0\,$ [/mm] gilt. Der Grund, warum man Polynomdivision
macht, wenn man die Nullstelle/n berechnen will,ist ja unter anderem
dieser:
Man will schreiben [mm] $P(x)=P_r(x)*(x-x_N)\,.$ [/mm] wobei man das "'Rest'-Polynom
[mm] $P_r$ [/mm] ja mittels Polynomdivision errechnet (es hat einen niedrigeren Grad
als das Ausgangspolynom)".
Die Darstellung
[mm] $$P(x)=(x-x_N)*P_r(x)$$
[/mm]
hat doch eben den Vorteil:
Wenn man dann [mm] $x=x_N$ [/mm] einsetzt, sieht man sofort an dem Ausdruck
rechterhand:
[mm] $$(x-x_N)*P_r(x)\,,$$
[/mm]
dass dieser für [mm] $x=x_N$ [/mm] Null wird:
[mm] $$(x_N-x_N)*P_r(x_N)=0*P_r(x_N)=0\,.$$
[/mm]
Deswegen:
[mm] $P_r(x)$ [/mm] berechnet sich durch
[mm] $$P(x):(x\red{\;\,-\,\;}x_N)\,.$$
[/mm]
Natürlich kannst Du auch sagen:
Ich will [mm] $P(x)=(x+\text{x}_N)*P_r(x)$ [/mm] schreiben. Dann wäre aber
[mm] $\text{x}_N$ [/mm] nicht als Nullstelle von [mm] $P\,,$ [/mm] sondern eben als das
Negative einer Nullstelle von [mm] $P\,$ [/mm] aufzufassen. Das heißt, es gilt
dann [mm] $P(\red{\;\,-\,\;\text{x}_N})=0\,,$ [/mm] während vorher ja [mm] $P(x_N)=0$
[/mm]
war.
Deswegen nochmal:
Ist [mm] $P\,$ [/mm] ein (reelles) Polynom einer (reellen) Variablen [mm] $x\,,$ [/mm] und findet
man ein [mm] $x_N$ [/mm] mit [mm] $P(x_N)=0\,,$ [/mm] so berechnet man [mm] $P(x):(x-x_N)\;\;=P_r(x)\,,$
[/mm]
weil man dann [mm] $P(x)=(x-x_N)*P_r(x)$ [/mm] mit einem (Rest-)Polynom [mm] $P_r$ [/mm] (mit
"reduziertem Grad" - in Vergleich zu dem Grad von [mm] $P\,$) [/mm] schreiben kann.
An der Darstellung [mm] $P(x)=(x-x_N)*P_r(x)$ [/mm] erkennt man dann direkt, dass
[mm] $x_N$ [/mm] Nullstelle war.
Und machen wir mal ein einfaches Beispiel:
Wir betrachten [mm] $f(x)=x^2-5x+6\,.$ [/mm] Durch "raten" finden wir, dass [mm] $x_N=2$
[/mm]
eine Nullstelle ist. Rechne nun
[mm] $$f(x):(x-x_N)=(x^2-5x+6):(x-2)=x-3$$
[/mm]
mit Polynomdivision nach. Damit erkennen wir, dass wir schreiben können
[mm] $$f(x)=(x-2)*(x-3)\,.$$
[/mm]
Und jetzt sehen wir: $f(x)=(x-2)*(x-3)$ hat genau die Nullstellen [mm] $x=2\,$
[/mm]
bzw. [mm] $x=3\,,$ [/mm] denn ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens
einer der Faktoren Null wird.
Im Prinzip, wenn man es genau nimmt: Diese Art "Nach und nach die
Nullstellen eines Polynoms finden und Polynomdivision betreiben" ist
eigentlich nichts anderes, als ein Faktorisierungsverfahren für das
Polynom: Es soll/wird am Ende nur noch als ein Produkt von endlich vielen
Faktoren geschrieben werden...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Mi 21.11.2012 | | Autor: | emsapfel |
Hallo Loddar
danke für den Tipp.
also [mm] .....(x^3 [/mm] $ - $ [mm] 11x^2 [/mm] $ + 35x – 25):(x+1)
Habe ich das richtig verstanden?
Danke Klaus
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Polynomdivision