Nullstellenbestimmung x+ln(x) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Do 21.08.2014 | | Autor: | Samyy |
| Aufgabe | | Diskutiere mögliche Lösungen von $x+ln(x)=0$ für $x>0$. |
Hallo,
die Funktion $f(x)=x+ln(x)$ ist für $x>0$ streng monoton wachsend mit Bild [mm] $(-\infty,\infty)$. [/mm] Somit gibt es schonmal genau eine Lösung zu obiger Gleichung.
Leider konnte ich aber mit 'elementaren' Rechenoperationen die Gleichung nicht nach x umstellen, d.h. in die Form x=(…) bringen, wobei die rechte Seite nicht mehr von x abhängt.
Meine Frage lautet: Kann man eine Lösung mit elementaren Rechenoperationen bestimmen? Falls nein, wie kann man eine Lösung sonst bestimmen?
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Diskutiere mögliche Lösungen von [mm]x+ln(x)=0[/mm] für [mm]x>0[/mm].
> Hallo,
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> die Funktion [mm]f(x)=x+ln(x)[/mm] ist für [mm]x>0[/mm] streng monoton
> wachsend mit Bild [mm](-\infty,\infty)[/mm]. Somit gibt es schonmal
> genau eine Lösung zu obiger Gleichung.
Ja.
> Leider konnte ich aber mit 'elementaren' Rechenoperationen
> die Gleichung nicht nach x umstellen, d.h. in die Form
> x=(…) bringen, wobei die rechte Seite nicht mehr von x
> abhängt.
> Meine Frage lautet: Kann man eine Lösung mit elementaren
> Rechenoperationen bestimmen? Falls nein, wie kann man eine
> Lösung sonst bestimmen?
Es ist überhaupt nicht danach gefragt eine Lösung zu bestimmen - es steht nicht "Löse" sondern "diskutiere".
Nun ist diskutiere nicht sonderlich präzise, vielleicht habt ihr euch auf eine spezielle Bedeutung geeignet, ich würd das so interpretieren das man die ungefähre Lage der Lösung bestimmen soll. (du hast ja bereits bestimmt, dass es nur eine Lösung ist)
Mit algebraischen Umformungen ist die Gleichung nicht zu lösen, es geht schnell wenn Lambert's W zur Verfügung steht.
> Viele Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Do 21.08.2014 | | Autor: | Samyy |
Vielen Dank für die Information, dass algebraische Umformungen nicht zum Ziel führen.
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Hallo,
es dürfte doch hier jedem klar sein, dass das nicht analytisch lösbar ist.
Von daher zwei Vorschläge (ohne Anspruch auf Vollständigkeit):
- Newton-Verfahren
- LambertW-Funktion
Beides sind letztendlich numerische Verfahren. Recherchiere selbst!
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Fr 22.08.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Du hast bereits richtig erkannt, dass die Abbildung
[mm] $f\colon\IR_{>0}\to\IR\colon x\mapsto x+\ln(x)$
[/mm]
offenbar steng monoton wachsend ist. Mit der Stetigkeit
von [mm] $f\$ [/mm] und zum Beispiel
[mm] $f(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}-1<0$ [/mm] und $f(1)=1>0$
können wir mit Hilfe des Zwischenwertsatzes eine Nullstelle
eingrenzen. Mit deiner Argumentation weiter oben erhalten
wir die Existenz genau einer Nullstelle und sind fertig.
Numerische Methoden helfen hier natürlich um eine möglichst
genaue Approximation zu erhalten.
Die Labertsche W-Funktion ist hier interessant, da wir die
Nullstelle sofort hinschreiben können und es sich sogar um
einen speziellen Wert handelt - die Omega-Konstante. Wir
erhalten demnach als Nullstelle
[mm] x_N=e^{-W(1)}=e^{-\Omega}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Fr 22.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
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> Die Labertsche W-Funktion ist hier interessant, da wir die
> Nullstelle sofort hinschreiben können und es sich sogar
> um
> einen speziellen Wert handelt - die Omega-Konstante. Wir
> erhalten demnach als Nullstelle
>
> [mm]x_N=e^{-W(1)}=e^{-\Omega}.[/mm]
>
Oder einfacher: [mm]x_N=W(1)=\Omega}\approx{0,567143}[/mm].
Gruß RMix
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