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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Derrec |
| Aufgabe 1 | Weisen Sie die folgende Aussage nach: das Polynom
[mm] X^3 [/mm] + [mm] 6X^2 [/mm] − 8 hat keine Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] . |
| Aufgabe 2 | Prüfen Sie, ob das angegebene Polynom irreduzibel in [mm] \IQ [/mm] [X] ist.
a) [mm] X^3 [/mm] − [mm] 2X^2 [/mm] + 6
b) [mm] X^3 [/mm] − [mm] 3X^2 [/mm] − 3X − 4.
c) [mm] X^3 [/mm] + [mm] 9X^2 [/mm] − 17X + 1
d) [mm] 8X^3 [/mm] − 1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Zu Aufgabe 1 :
Das ist ja eig kein Problem. Ich kenne das so, dass man jeden ganzen Teiler der konstanten nimmt - also in diesem Fall die -8 - und in die Gleichung einsetzt.
Soll also heißen, dass ich die 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8 und -8 einsetzte und schaue, ob die Gleichung 0 wird. Ist es nicht der Fall, so hat das Polynom keine Nullstelle.
Nun aber zu Aufgabe 2:
Dieses [mm] \IQ [/mm] [X] steht doch für die rationalen Zahlen oder? Also für einen Körper beschreibt ja das [X] dahinter noch.
Irreduzibel bedeutet, soweit ich weiß, dass es keine Nullstellen hat. Wie kann ich das nun nachweißen?
Es wäre echt nett wenn ihr mir helfen könntet.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Fr 22.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Weisen Sie die folgende Aussage nach: das Polynom
> [mm]X^3[/mm] + [mm]6X^2[/mm] − 8 hat keine Nullstellen in [mm]\IZ[/mm] .
> Prüfen Sie, ob das angegebene Polynom irreduzibel in [mm]\IQ[/mm]
> [X] ist.
> a) [mm]X^3[/mm] − [mm]2X^2[/mm] + 6
> b) [mm]X^3[/mm] − [mm]3X^2[/mm] − 3X − 4.
> c) [mm]X^3[/mm] + [mm]9X^2[/mm] − 17X + 1
> d) [mm]8X^3[/mm] − 1
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
> Hallo.
>
> Zu Aufgabe 1 :
> Das ist ja eig kein Problem. Ich kenne das so, dass man
> jeden ganzen Teiler der konstanten nimmt - also in diesem
> Fall die -8 - und in die Gleichung einsetzt.
> Soll also heißen, dass ich die 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8 und
> -8 einsetzte und schaue, ob die Gleichung 0 wird. Ist es
> nicht der Fall, so hat das Polynom keine Nullstelle.
>
> Nun aber zu Aufgabe 2:
> Dieses [mm]\IQ[/mm] [X] steht doch für die rationalen Zahlen oder?
> Also für einen Körper beschreibt ja das [X] dahinter noch.
> Irreduzibel bedeutet, soweit ich weiß, dass es keine
> Nullstellen hat. Wie kann ich das nun nachweißen?
> Es wäre echt nett wenn ihr mir helfen könntet.
>
> MfG
Hallo, ich würde annehmen, dass [mm] X=\bruch{p}{q} [/mm] (mit ganzen und teilfremden Zahlen p und q) gilt und mit dieser Annahme entweder eine Lösung oder einen Widerspruch finden.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Derrec |
| Aufgabe | Also meinst du einfach für jedes X = p/q einsetzten?
Und wie ist das nun mit [mm] \IQ [/mm] [X]. Geht es da um die rationalen Zahlen eines Körpers? |
Wie soll ich das dann eig lösen wenn ich p/q einsetzte?
bei a) wäre es dann ja:
[mm] (p/q)^3 [/mm] - 2 [mm] (p/q)^2 [/mm] + 6 = 0
Wie soll das lösbar sein? Bitte helft mir...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Fr 22.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also meinst du einfach für jedes X = p/q einsetzten?
> Und wie ist das nun mit [mm]\IQ[/mm] [X]. Geht es da um die
> rationalen Zahlen eines Körpers?
> Wie soll ich das dann eig lösen wenn ich p/q einsetzte?
>
> bei a) wäre es dann ja:
> [mm](p/q)^3[/mm] - 2 [mm](p/q)^2[/mm] + 6 = 0
>
> Wie soll das lösbar sein? Bitte helft mir...
Nun, du multiplizierst mit [mm] $q^3$ [/mm] durch, dann erhaelst du [mm] $p^3 [/mm] - 2 [mm] p^2 [/mm] q + 6 [mm] q^3 [/mm] = 0$, also [mm] $p^3 [/mm] = 2 [mm] p^2 [/mm] q - 6 [mm] q^3$. [/mm] Damit ist $q$ ein Teiler von [mm] $p^3$.
[/mm]
Wenn du annimmst, dass $p$ und $q$ teilerfremd sind, dann muss $q = [mm] \pm [/mm] 1$ sein, also [mm] $\frac{p}{q} \in \IZ$. [/mm] Das heisst: wenn es schon Nullstellen gibt, dann liegen diese in [mm] $\IZ$ [/mm] (und sie sind Teiler von 6).
So, und wie geht's nun weiter? Du hast bei Polynomen von Grad 3 ueber [mm] $\IQ$ [/mm] zwei Moeglichkeiten:
1) zeige, das es keine Nullstelle in [mm] $\IQ$ [/mm] hat; das geht wie oben.
2) du benutzt Eisenstein oder das Reduktionskritierum um zu zeigen, dass es in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] irreduzibel ist, und benutzt dann das Lemma von Gauss (oder wie es bei euch auch heisst) und folgerst, dass es auch in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] irreduzibel ist.
Bei a) bietet sich Eisenstein an, bei b) und c) die Nullstellen, und bei d) eventuell das Reduktionskriterium.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Derrec |
| Aufgabe | b) [mm] X^3 [/mm] − [mm] 3X^2 [/mm] − 3X − 4.
c) [mm] X^3 [/mm] + [mm] 9X^2 [/mm] − 17X + 1
d) [mm] 8X^3 [/mm] − 1 |
Sorry, das ich da sogar nocheinmal nachhaken muss, aber ich will es ja verstehen.
Bisher hat er mir viel Aufschluss gegeben. Aber schau, wenn ich das immer so mache mit X=p/q dann würde bei:
a) irreduzibel
b) [mm] p^3 [/mm] = [mm] 3p^2 [/mm] q + [mm] 3pq^2 [/mm] + [mm] q^3 [/mm] herauskommen, also irreduzibel, da q [mm] p^3 [/mm] teilt. Und das nur geht, wenn sie nicht teilerfremd sind
c) [mm] p^3 [/mm] = [mm] -9p^2 [/mm] q - [mm] 17pq^2 [/mm] + [mm] q^3 [/mm] herauskommen, also irreduzibel, da q [mm] p^3 [/mm] teilt. Und das nur geht, wenn sie nicht teilerfremd sind
d) [mm] 8x^3 [/mm] = 1
x = [mm] \wurzel[3]{8} [/mm] heruaskommen, also nicht irreduzibel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 So 24.05.2009 | | Autor: | Derrec |
| Aufgabe | | Könnt ihr mir nicht weiter helfen? Ist das richtig, was ich sagte oder nicht? |
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der letzten aufgabe ware x=2 besser und dann das polynom x-2 als Teiler angeben, bei den anderen hast du q teilt p oder q=1 du musst also noch ausschliessen, dass Loezungen aus [mm] \IZ [/mm] vorkommen, (oder sie finden, wie in a)
Gruss leduart
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Aufgabe 1:
Du hast schon Recht:
Eine ganzzahlige Nullstelle des Polynoms müsste ein Teiler (+ oder -) der 8 sein.
Begründung am Beispiel:
13 kann z.B. keine Nullstelle sein, da [mm] 13^3 [/mm] ein Vielfaches von 13, [mm] 6*13^2 [/mm] ebenfalls ein Vielfaches von 13 und ihre Summe auch ein Vielfaches von 13 ist. Zieht man nun 8 von einer 13-er-Zahl ab, kann man nie 0 erhalten. So verhält es sich mit allen ganzen Zahlen: Will eine davon Nullstelle sein, so muss sie +-8 oder +-4 (8 ist auch eine 4-er-Zahl)oder +-2 (8 ist auch eine 2-er-Zahl)oder +-1 (8 ist auch eine 1-er-Zahl) sein.
ABER: Natürlich kann das Polynom eine andere Nullstelle besitzen, die dann aber keine natürliche Zahl sein könnte (z.B. 2/3 oder [mm] \wurzel{17}. [/mm] Tatsächlich hat jedes Polynom 3. Grades mindestens eine Nullstelle, denn der Graph muss ja von [mm] -\infty [/mm] nach [mm] +\infty [/mm] oder umgekehrt und daher die x-Achse schneiden.
Aufgabe 2:
Schau dir mal das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein an (Wikipedia).
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